Теория поля

Выполнила: студентка гр.2Г01 Поликанова С.А.
Проверила: доцент кафедры высшей математики Тарбокова Т.В.
Векторное поле определяется векторной
функцией точки
где
- точка пространства,
- ее радиус-вектор.
Электрическое поле вокруг некоторого
заряда;
Магнитное поле вокруг проводника с
током;
Поле скоростей частиц текущей жидкости;
Гравитационное поле.
Поток (П).
Циркуляция (Ц).
Дивергенция (div Ā ).
Ротор или вихрь (rot Ā ).
Линии тока.
При этом поток и циркуляция являются
суммарными (интегральными)
характеристиками, а дивергенция и ротор –
дифференциальными (точечными)
характеристиками поля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.




Потоком векторного поля A  P  i  Q  j  R  k
через какую-либо сторону поверхности( )
называется величина поверхностного интеграла

от скалярного произведения вектора поля
на
A

единичный вектор нормалиn 0 к выбранной
стороне поверхности
 0
П   ( A  n )d
( )
векторного поля хорошо просматривается на
примере поля скоростей частиц текущей
жидкости. При этом, если поверхность свободно
пропускает поток жидкости (сетка), то величина
потока векторного поля через выбранную сторону
поверхности есть количество жидкости, которое
протекает через выбранную сторону поверхности
в единицу времени, т.е. мощность течения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Дивергенцией
векторного


 (или расходимостью)
поля A  P  i  Q  j  R  k в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
называется предел отношения потока векторного
поля через внешнюю сторону поверхности ( ),
окружающей эту точку, к объёму, ограниченному
этой поверхностью, при стягивании объёма в
точку M 0

divA  lim
V 0
 0
 ( A  n )d
( )
V
векторного поля скоростей частиц текущей
жидкости состоит в том, что дивергенция
поля есть количество жидкости, которое
выделяется (или поглощается) в данной
точке пространства в единицу времени.
Другими словами дивергенция есть
удельная мощность векторного поля в
точке.
При этом говорят, что в данной точке находится

источник, если divA  0 ,
сток, если divA  0 ,

Нет ни источника, ни стока, если divA  0 .
Дивергенция поля в точке M 0 вычисляется по
формуле
  P Q R 

divA  


 x y z  M 0
Дивергенция поля есть постоянная величина, не
зависящая от координат точки.
краткая запись формулы Остроградского:
 0

(
A

n
)
d


div
A

dv


( )
(V )
Поток вектора через внешнюю сторону
замкнутой поверхности равен суммарной
мощности источников и стоков внутри
данной поверхности
 0

П   ( A  n )d   divA  dv
( )
(V )
Если величина потока вектора через внешнюю
сторону замкнутой поверхности положительна,
то внутри этой поверхности преобладают
источники (выделяется больше, чем
поглощается, и излишки вытекают наружу).
Если величина этого потока отрицательна, то
внутри поверхности преобладают стоки
(выделяется меньше, чем поглощается, и идёт
приток извне).
Если величина равна нулю, то внутри
поверхности источники и сток уравновешивают
друг друга по мощности, либо их там вовсе нет.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Циркуляцией векторного поля вдоль
замкнутого гладкого контура (L) называется
величина криволинейного интеграла от
скалярного произведения
вектора
поля

на элементарный
вектор
A  {P,
Q, R} касательной к

контуру
dl  {dx, dy, dz}
 
Ц   ( A  dl )
( L)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Ротором, или вихрем, векторного поля

A  {P, Q, R} в некоторой точке называется
вектор

i

rotA 
x
P

j

y
Q

k
  R Q P R Q P 
 
,

,
 
z  y z z x x y 
R
С физической точки зрения наличие
ненулевого вектора-ротора силового поля в
точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) характеризует
способность поля совершать работу при
перемещении вдоль замкнутого контура,
охватывающего точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ), а
величина циркуляции по контуру есть
работа силового поля.

( L)

0
A  dl   (rotA  n )d
( )
Циркуляция векторного поля вдоль
положительного направления контура
равна потоку вектора – ротора поля через
любую поверхность, натянутую на данный
контур:
Ц

( L)

0
A  dl   (rotA  n )d
( )