Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 1. Определение векторного поля. 2. Векторные линии. 3. Поток векторного поля. 4. Дивергенция векторного поля. 1. Определение векторного поля. О п р е д е л е н и е 1. Стационарным векторным полем называется пространство R n (или его часть – область Q ), в каждой точке M которого определена векторная функция r r r r a = a (M ) = a (r ) , r где r – радиус-вектор точки M . Другими словами, каждой точке M поставлен в соответствие r r некоторый вектор a = a (M ) . Пример. Векторными полями могут служить поле скоростей движущейся жидкости, гравитационное поле, электростатическое поле, поле градиентов некоторого скалярного поля, магнитное поле и др. В пространстве R 3 в случае декартовой прямоугольной сисr r темы координат векторная функция a = a (M ) , M (x; y; z ) , определяется тремя скалярными функциями – проекциями вектора r a (M ) на оси координат: r r r r r a = a (M ) = X (M )i + Y (M ) j + Z (M )k или r r r r r a = a (M ) = X ( x; y; z )i + Y (x; y; z ) j + Z (x; y; z )k . (1) Будем считать, что X (M ) , Y (M ) , Z (M ) непрерывными функциями координат точки M , имеющими непрерывные частные производные первого порядка. Тогда векторная функция r r a = a (M ) называется непрерывно дифференцируемой в области Q . Основными характеристиками векторного поля являются: векторные линии, поток и дивергенция, циркуляция и вихрь. 237 2. Векторные линии. О п р е д е л е н и е 2. Векторной (силовой) линией векторноr r го поля a = a (M ) называется линия, для которой в каждой ее r точке M вектор a (M ) направлен по касательной к данной линии. Пример. Векторными линиями могут служить линии тока движущейся жидкости. В электростатическом поле векторными линиями являются его силовые линии, в магнитном поле – линии, соединяющие северный и южный полюсы, в поле gradU – линии, ортогональные к эквипотенциальным поверхностям скалярного поля U = U (M ) , и т.д. r r r r Если r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k – уравнение векторной линии Γ векторного поля (1), то вектор r r r r d r = dx ⋅ i + dy ⋅ j + dz ⋅ k в каждой точке направлен по касательной к Γ и потому коллиr неарен вектору a (M ) . Поэтому их проекции пропорциональны dx dx dx . (2) = = X (x; y; z ) Y (x, y, z ) Z (x, y, z ) Таким образом, система дифференциальных уравнений (2) определяет векторные линии поля (1). Она может быть записана в нормальной форме: dy Y (x, y , z ) dz Z (x, y, z ) , . (3) = = dx X (x, y , z ) dx X (x, y , z ) Общий интеграл системы (3) имеет вид ⎧ϕ1 (x, y, z ) = c1 , ⎨ ⎩ϕ 2 (x, y, z ) = c2 . С геометрической точки зрения, это два семейства поверхностей, которые в совокупности определяют искомые векторные линии. Если в некоторой области Q для системы уравнений (3) выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, то через каждую точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) проходит единственная векторная линия 238 ⎧ϕ1 (x, y , z ) = ϕ1 (x0 , y0 , z0 ), ⎨ ⎩ϕ 2 (x, y , z ) = ϕ 2 (x0 , y0 , z0 ). Пример. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника, по которому проходит ток силой I . Р е ш е н и е . Выберем направление оси Oz , совпадающее с направлением тока I . В этом случае вектор напряженности магr r r r 2 r r нитного поля H = 2 I × r , где I = I ⋅ k – вектор тока; r – ради- ρ ус-вектор точки P(x; y; z ) ; ρ – расстояние от оси проводника до точки M . Найдем r r r i j k r r r r I × r = 0 0 I = − yI ⋅ i + xI ⋅ j , x y z r r правлении n ( n – единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности). Разобьем поверхность Ω на n достаточно малых частей Ω1 , Ω 2 , ... , Ω n , площади которых обозначим ∆S1 , ∆S 2 , ... , ∆S n со- ответственно. Выберем точки M i ∈ Ω i , i = 1, n . В виду малости r поверхности Ω i будем считать ее плоской, а значение a (M i ) постоянным для любой точки M i ∈ Ω i . При таких предположениях количество жидкости ∆Π i , протекающей через, поверхr ность ∆Ω i за единицу времени в направлении a (M i ) , будет приближенно численно равно объему цилиндра с площадью осr нования ∆S i и образующими, равными a (M i ) . Высота этого цилиндра равна проекции вектора a(M i ) на направление нормаr ли n (M i ) (рис.1). r 2I r r 2I H = − 2 y⋅ i + 2 x⋅ j. ρ ρ Система дифференциальных уравнений векторных линий (2) имеет вид dx dy dz = = . −y x 0 Отсюда ⎧ x 2 + y 2 = c1 , ⎧ xdx + ydy = 0, и ⎨ ⎨ ⎩dz = 0, ⎩ z = c1 , где c1 ≥ 0 . Таким образом, векторными линиями магнитного поля бесконечного проводника являются окружности с центрами на оси Oz . Рис.1. Суммируя соответствующие выражения по всем элементарным поверхностям Ω i , i = 1, n , получаем приближенное значение количества жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность Ω : n n r r r Π ≈ ∑ пр nr ( M i ) a (M i )∆S i = ∑ (a (M i ) ⋅ n (M i ))∆S i . (4) 3. Поток векторного поля. r Пусть вектор a (M ) в некоторой области Q определяет поле линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой жидкости и Ω ⊂ Q – двусторонняя гладкая незамкнутая ориентированная поверхность. Вычислим Π – количество жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность Ω в на- Для определения точного значения этого количества жидкости необходимо увеличивать число поверхностей ∆Ω i , уменьшая их диаметры. За точное значение Π принимается предел суммы (4) при условии λ → 0 , где λ – наибольший из диамет- 239 240 i =1 i =1 ров ∆S i , i = 1, n . Выражение (4) является интегральной суммой для функции r r a = a (M ) по ориентированной поверхности Ω . Предел суммы (4) при λ → 0 , если он существует, конечен и не зависит от способа построения этой суммы, определяет поверхностный интеr r грал второго рода от векторной функции a = a (M ) , описывающей поле линейных скоростей движущейся жидкости: n r r r r = lim ∑ (a (M i ) ⋅ n (M i ))∆S i = ∫∫ a ⋅ n dS . λ →0 i =1 Ω r r О п р е д е л е н и е 3. Потоком ∏ векторного поля a = a (M ) через ориентированную поверхность Ω называется число, равr r ное значению поверхностного интеграла второго рода ∫∫ a ⋅ n dS : r r Π = ∫∫ a ⋅ n dS . Ω Ω Термин «поток» для введенной скалярной характеристики векторного поля употребляется независимо от физического r смысла a (M ) . Поток вектора зависит от выбора стороны поr верхности (направления вектора n ); ему присущи и другие свойства, которыми обладает поверхностный интеграл второго рода. Физический смысл потока. Выберем внешнюю сторону r r замкнутой поверхности Ω (рис.2), помещенной в поле a = a (M ) линейных скоростей движущейся несжимаемой жидкости. Будем считать, что Ω состоит из двух частей Ω1 и Ω 2 , через которые жидкость соответственно втекает и вытекает из объема, ограниченного поверхностью Ω . Рис.2. r Поток ∏ вектора a (M ) через внешнюю сторону замкнутой поверхности Ω будет равен сумме двух поверхностных интегралов второго рода, т.е. сумме двух потоков r r r r r r ∏ = ∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫ a ⋅ n dS + ∫∫ a ⋅ n dS = ∏1 + ∏ 2 . Ω Ω1 Ω2 r r Поток ∏1 < 0 , так как угол между векторами a и n на поверхности Ω1 – тупой. Поток Ω 2 > 0 , так как указанный угол на поверхности Ω 2 – острый. Поток ∏1 выражает количество жидкости, поступающей в часть пространства, ограниченную замкнутой поверхностью Ω , за единицу времени, ∏ 2 – соответственно количество вытекающей из него жидкости. Суммарный поток ∏ = ∏1 + ∏ 2 выражает алгебраическую сумму количеств поступающей и вытекающей жидкости. Если ∏ > 0 , то жидкости вытекает больше, чем поступает, следовательно, внутри поверхности Ω имеются источники. Если ∏ < 0 , то внутри поверхности Ω имеются стоки, ибо вытекает меньше жидкости, чем поступает. r r r Пример. Вычислить поток вектора a = y 2 j + z ⋅ k через часть поверхности z = x 2 + y 2 , отсеченную плоскостью z = 2 в направлении внешней нормали (рис.3). Р е ш е н и е . В данном случае любая прямая, параллельная 241 242 оси Oz , пересекает данную поверхность Ω в единственной точке (кроме осей Ox и Oy ). Значит, поверхность правильная. Предварительно найдем U = U (x, y, z ) = z − x 2 − y 2 . ( = ∫∫ ⎡ 2 y 3 − z ⎢⎣ G z= x2 + y2 ( ) ⎤ dxdy = 2 y 3 − x 2 − y 2 dxdy = ∫∫ ⎥⎦ G ⎡ x = r cos ϕ , ⎤ ⎢ ⎥ 3 3 2 = ⎢ y = r sin ϕ , J = r , ⎥ = ∫∫ 2r sin γ − r rdrdϕ = . ⎢ ⎥ G ⎣0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ⎦ ( 2π = ∫ dϕ 0 2 ∫ (2r 4 ) ) sin 3 ϕ − r 3 dr = −2π . 0 4. Дивергенция векторного поля. r r В поле a = a (P ) , выберем точку P , принадлежащую области ∆Q ⊂ Q объема ∆V , границей которой служит замкнутая поверхность ∆Ω ⊂ Ω . Отношение r r ∫∫ a ⋅ n dS Рис.3. Тогда единичный нормальный вектор r ⎛ −1 2x 2y n =⎜ ; ; ⎜ 1 + 4x2 + 4 y 2 1 + 4x2 + 4 y 2 1 + 4x2 + 4 y 2 ⎝ π (Знак «–» взят потому, что 2 cos γ < 0 .) Имеем: dS = Искомый поток r r ∏ = ∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫ Ω 1 + 4x2 + 4 y 2 , dxdy = 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy , cos γ r r a⋅n = 2 y3 − z 1 + 4x2 + 4 y 2 2 y3 − z 2 1 + 4x + 4 y 2 243 ∆Ω ⎞ ⎟. ⎟ ⎠ ≤ γ ≤ π , и, следовательно, 1 cos γ = − Ω ) . ⋅ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy , (5) ∆V называется средним расходом жидкости через поверхность ∆Ω . Когда ∆V будет стремиться к нулю (при этом поверхность ∆Ω стягивается в точку P ), средний расход жидкости будет характеризовать расход жидкости в точке M ∈ Q в единицу времени. Определение 4. Дивергенцией (расходимостью) r r r diva (M ) векторного поля a = a (M ) в точке P называется скалярная величина, равная пределу отношения потока векторного r r поля a = a (M ) через замкнутую поверхность ∆Ω к величине ∆V объема, ограниченного этой поверхностью, при ∆V → 0 r r a ⋅ n dS ∫∫ r div a (M ) = lim ∆Ω , (6) ∆V →0 ∆V С учетом физического смысла потока векторного поля дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока, «исходящего» из точки P , т.е. мощность находяr щегося в точке P источника: при div a (M ) > 0 или стока при r r div a (M ) < 0 . Если diva (M ) = 0 , то в точке P нет ни источника, 244 ни стока. В случае декартовой системы координат дивергенция векторного поля r r r r a(M ) = X (x, y, z )i + Y (x, y, z ) j + Z (x, y, z ) k определяется формулой r ∂X (M ) ∂Y (M ) ∂Z (M ) div a (M ) = + + , (7) ∂x ∂y ∂z Пример. Найти дивергенцию векторного поля r r r r r 2 2 2 2 a = a(x, y, z ) = y ⋅ i − x + y ⋅ j + + z 3 y + x ⋅ k в точках M 1 (− 2;1;−2) , M 2 (7;0;1) , M 3 (0;0;0) . Р е ш е н и е . Заданное поле определено на всем пространстве 3 R . Для решения задачи воспользуемся формулой (5). Найдем частные производные от функций, являющихся координатами r вектора a (M ) , и их значения в точках M 1 , M 2 и M 3 : ( ) ( ( ) ) ( ) X ( x, y , z ) = y 2 , Y ( x , y , z ) = x 2 + y 2 , Z ( x , y , z ) = z 3 y 2 + x , ∂X ≡0, ∂x ∂Y (M 3 ) ∂Y ∂Y (M 2 ) ∂Y (M 1 ) = −2 y , = −2 , =0, = 0, ∂y ∂y ∂y ∂y ∂Z (M 3 ) ∂Z (M 1 ) ∂Z (M 2 ) ∂Z = 3y2 + x , = 1, =7, =0. ∂z ∂z ∂z ∂z Тогда r r diva (M 1 ) = 0 − 2 + 1 = −1 , diva (M 2 ) = 0 + 0 + 7 = 7 , r diva (M 3 ) = 0 + 0 + 0 = 0 . Таким образом, данное поле в точке M 1 имеет сток, в точке M 2 – источник, а в точке M 3 нет ни источника, ни стока. Теорема 1 (Остроградского–Гаусса). Если векторная функr r ция a = a (M ) непрерывно дифференцируема в области Q , ограниченной замкнутой поверхностью Ω , то поток векторного r r поля a = a (M ) через поверхность Ω в направлении внешней нормали равен тройному интегралу по области Q от дивергенции этого векторного поля 245 r r r ∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫∫ diva dxdydz . Ω (8) Q Данная теорема является аналитическим выражением теоремы Остроградского-Гаусса в векторной форме. Для практических приложений удобно скалярное представление ее правой части ⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞ r r ∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz . Ω V Пример. Используя теорему Остроградского – Гаусса, вычислить поток векторного поля r 2 xz (1 + y ) + 1 + y 2 r ⎞ r r ⎛ x2 y ⎟ + a = ⎜⎜ yz ⋅ i + x ⋅ y ⋅ j− ⋅k 6 2 arctg 2 ⎟ 1+ y2 ⎝1+ y ⎠ через внешнюю сторону поверхности z = 1 − x 2 − y 2 , расположенную над плоскостью Oxyz . Р е ш е н и е . Для того чтобы можно было применить теорему Остроградского–Гаусса, «замкнем» снизу данную поверхность частью плоскости Oxy , ограниченной окружностью x 2 + y 2 = 1 . Пусть Q – пространственная область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью Ω , состоящей из парабои круга Ω 2 на лоида вращения Ω1 = (x; y; z ) z = 1 − x 2 − y 2 { } плоскости Oxy (рис.4). Рис.4. 246 r Найдем diva (M ) : r 2 xy 2x 2 x(1 + y ) ∂X ∂Y ∂Z diva (M ) = + = + − ≡ 0. + 2 2 ∂x ∂y ∂z 1 + y 1+ y 1+ y2 На основании формулы Остроградского Гаусса поток ∏ через замкнутую поверхность Ω равен нулю. С другой стороны, обозначим через ∏1 и ∏ 2 потоки через поверхности параболоида и круга соответственно. Тогда по свойству аддитивности r r r r ∏ = ∏1 + ∏ 2 = ∫∫ a ⋅ n1 dS + ∫∫ a ⋅ n2 dS = 0 . Ω1 Ω2 Следовательно, искомый поток r r r r ∏1 = ∫∫ a ⋅ n1 dS = − ∫∫ a ⋅ n2 dS . Ω1 Ω2 На поверхности Ω 2 r r r x2 y r ⋅ i + 2 x ⋅ arctg y ⋅ j −k . a= 1+ y2 r r r r Поскольку n2 = −k , то a ⋅ n2 = 1 . Таким образом, ∏1 = − ∫∫ dS = −π ⋅ 12 = −π . Ω2 Вопросы для самоконтроля 1. Какое поле называется стационарным векторным поле? 2. Дайте определение векторных линий. 3. Что называется потоком векторного поля? В чем состоит физический смысл потока? 4. Что называется дивергенцией векторного поля? В чем состоит физический смысл дивергенции? 5. Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса в векторной форме. 247