355 § 6 Поток векторного поля r Пусть вектор a( P) в некоторой области (V) определяет поле линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой жидкости и ( Q) ⊂ (V ) - двусторонняя гладкая незамкнутая ориентированная поверхность. Вычислим W - количество жидr кости, протекающее за единицу времени через поверхность (Q) в направлении n 0 r ( n 0 - единичный вектор к выбранной стороне поверхности). Для решения поставленной задачи воспользуемся алгоритмом составления интегральных сумм. Разобьем поверхность (Q) на n достаточно малых частей ( ΔQ1 ) , ( ΔQ2 ) ,..., ( ΔQn ) . Выберем точки Pi ∈( ΔQi ) , i = 1, n , и вычислим a( Pi ) . Будем считать элементарную поr верхность ( ΔQ ) i плоской, а значение a( Pi ) постоянным на всей поверхности ( ΔQi ) . r Тогда количество жидкости ΔWi , протекающее через поверхность ( ΔQi ) за единицу времени в направлении вектора n 0 ( Pi ) , будет приближенно численно равно объему r цилиндра с площадью основания Δqi и образующими, равными a( Pi ) . Высота этого r цилиндра равна проекции вектора a( Pi ) на направление вектора нормали n 0 ( Pi ) . r r Просуммируем по всем участкам ( ΔQi ) , получаем приближенное равенство n n r r r W ≈ ∑ npnr 0 a( Pi )Δqi = ∑ a ( Pi ), n 0 ( Pi ) Δqi i =1 i =1 ( ) (13) Для получения точного равенства найдем предел при условии, что λ → 0 . Получаем n r r r r W = lim ∑ a ( Pi ), n 0 ( Pi ) Δqi = ∫∫ (a , n ) dq λ →0 i =1 ( ) ( Q) r r Определение Потоком Π векторного поля a = a( P) через ориентированную поверхность (Q) называется число, равное значению поверхностного интеграла втоr r рого рода ∫∫ (a , n )dq . (Q) Для потока приняты обозначения: 356 def def r r r r → Π = ∫∫ ( a , n ) dq = ∫∫ npnr 0 adq = ∫∫ ⎛⎜ a , dq⎞⎟ ⎝ ⎠ ( Q) → ( Q) (14) ( Q) r где dq = n 0 dq . Термин "поток" употребляется независимо от физического смысла векторного r поля. Поток вектора зависит от стороны поверхности (на направление вектора n 0 . Рассмотрим физическое толкование понятия "поток" в случае замкнутой поверхности. Будем считать, что поверхность (Q) состоит из двух частей ( Q1 ) и ( Q2 ) , через которые жидкость соответственно втекает и вытекает. r Поток Π вектора a( P) через внешнюю сторону замкнутой поверхности (Q) будет равен сумме двух поверхностных интегралов второго рода, т.е. сумме двух потоков ( ) r r Π = ∫∫ a , n 0 dq = ( Q) ∫∫ ( a , n )dq + ∫∫ ( a , n )dq = Π r r0 ( Q1 ) r r0 ( Q2 ) r r 1 + Π2 Поток Π 1 < 0 , так как угол между векторами a( P) и n 0 тупой. Поток Π 2 > 0 т.к. угол острый. Поток Π1 выражает количество жидкости, которое поступает за единицу времени в часть пространства, ограниченное замкнутой поверхностью, а Π 2 - соответствующее количество жидкости, которое вытекает. Если Π > 0 то жидкости вытекает больше, чем поступает и, следовательно внутри поверхности (Q) находится источник. Если Π < 0 , то внутри поверхности (Q) находятся стоки. 357 В точке М1 находится источник, а в точке М2 – сток. Для вычисления потока применяют также метод сведения поверхностного интеграла 2 рода к поверхностному интегралу 1 рода. Пусть незамкнутая (Q) пересекается любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке и проектируется на плоскость Oxy в область Dxy . В этом случае dq = (D ) z = f (x, y) . xy ( ) Как уже известно элемент площади такой поверхности dxdy . Следовательно вычисление потока приводит к двойному интегралу cos γ r r a, n 0 ) ( r r0 Π = ∫∫ ( a , n ) dq = ∫∫ dxdy . (15) ( Q) ( D ) cos γ z= f ( x, y) xy Уравнение поверхности (Q): z − f ( x , y ) = 0 можно рассматривать как уравнение экви- потенциальной поверхности U = z − f ( x , y ) = U ( x , y , z ) , следовательно, вектор n 0 может быть найден через градиент этого поля: ∂Ur ∂U r ∂U r i+ j+ k gradU ∂x ∂y ∂z r0 r n =± gradU =± =± 2 2 ⎛ ∂ U⎞ ⎛ ∂ U⎞ ⎛ ∂ U⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ⎝∂x⎠ ⎝∂z⎠ ⎝∂y⎠ 2 = r r r U x′ i + U y′ j + U z′ k (U ′ ) + (U ′ ) + (U ′ ) 2 2 x y 2 z В этой формуле знак зависит от стороны поверхности (Q), а cos γ - это коэффициент r при орте k : cos γ = ± U z′ (U ′ ) + (U ′ ) + (U ′ ) 2 2 x y z 2 358 r Если угол между осью Oz и вектором нормали n 0 острый то в формуле берем знак "+", и знак "-" в противном случае. Замечание: если поверхность (Q) удобнее проектировать на плоскость Oyz или Oxz, то будем пользоваться формулами Π= ∫∫ (D ) yz ( ar, nr ) 0 cos α ∫∫ Π= dydz ; ( ar, nr ) 0 cos β ( Dxz ) x =ϕ ( y , z ) r r dxdz y =ψ ( x , z ) r Пример Вычислить поток вектора a = y 2 j + zk через часть поверхности z = x 2 + y 2 , отсеченную плоскостью z = 2 в направлении внешней нормали. Для решения задачи удобно воспользоваться формулой (15). В нашем случае U = U (x, y, z) = z − x 2 − y 2 . Тогда r r r r r r − 2xi − 2 yj + k 2xi + 2 yj − k r0 n =− = 1 + 4x 2 + 4 y 2 1 + 4x 2 + 4 y 2 Перед дробью поставили минус т.к. угол γ - тупой. 1 cos γ = − 1 + 4x 2 + 4 y 2 , dq = 2y3 − z ( ar, nr ) = 0 искомый поток ( ) r r Π = ∫∫ a , n 0 dq = ( Q) ∫∫ ( 2 y ( Dxy ) 3 −z dxdy = 1 + 4x 2 + 4 y 2 dxdy; cos γ 1 + 4x 2 + 4 y 2 ) 2 z=x + y 2 dxdy = , ∫∫ ( 2 y ( Dxy ) 3 ) − x 2 − y 2 dxdy Полученный двойной интеграл удобно вычислять в полярных координатах (т.к. область интегрирования круг радиуса 2 и с центром в начале координат). Π= ∫∫ ( 2r (D ) xy 3 sin ϕ − r )rdrdϕ = 3 2 2π 2 ∫ dϕ ∫ ( 2 r 0 0 4 sin 3 ϕ − r 3 )dr = −2π . 359 §7 Дивергенция векторного поля r r В поле a = a( P) , P ∈(V ) , выберем точку Р, принадлежащую области ( ΔV ) ⊂ (V ) , границей которого служит замкнутая поверхность ( ΔQ) ⊂ (V ) , и рассмотрим отношение r r ⎞ ⎛r ∫∫ ( a, n )dq ∫∫ ⎜⎝ a( P), dq⎟⎠ → 0 ( ΔQ ) Δv = ( ΔQ ) Δv . (16) Формулы (16) можно трактовать как средний расход жидкости в точке Р в единицу времени. r r Независимо от физического истолкования вектора a = a ( P) введем скалярную характеристику векторного поля в точке r r Определение Дивергенцией векторного поля a = a ( P) в точке Р или расходиr мостью, обозначаемой diva( P) , называется величина равная пределу отношения поr r тока векторного поля a = a ( P) через замкнутую поверхность ( ΔQ) к величине объема, ограниченного этой поверхностью, при условии Δv → 0 , т.е. при условии, что ( ΔQ) стягивается в точку Р: → ⎛⎜ ar( P) , dq ⎞⎟ ∫∫ ⎝ ⎠ r def ( ΔQ ) diva( P) = lim r Δv → 0 ( ΔQ→ P ) (17) Δv r r При diva( P) > 0 в точке Р источник; при diva ( P) < 0 - сток. Если diva ( P) = 0 в точке Р нет ни источника ни стока. Определение дивергенции (17) инвариантно относительно выбора системы координат, однако в прямоугольной системе координат при задании векторного поля r r r r равенством a( P) = X ( x , y , z ) i + Y ( x , y , z ) j + Z( x , y , z ) k дивергенция определяется по формуле ∂ X ( P) ∂ Y ( P) ∂ Z( P) r diva( P) = + + ∂x ∂y ∂z (18) r r r Пример Найти дивергенцию векторного поля a ( P) = y 2 i − ( x 2 + y 2 ) j + z( 3 y 2 + x ) k r в точках P1 ( − 2;1;−2), P2 ( 7;0;1), P3 ( 0;0;0) Имеем X ( x , y , z ) = y 2 , Y ( x , y , z ) = −( x 2 + y 2 ), Z( x , y , z ) = z (3 y 2 + x ); ∂X ∂Y ∂Z ≡ 0, = −2 y , = 3y 2 + x, ∂x ∂y ∂z ∂ Y ( P1 ) ∂ Y ( P2 ) ∂ Y ( P3 ) = −2, = 0, = 0, ∂y ∂y ∂y 360 ∂ Z ( P1 ) ∂ Z ( P2 ) ∂ Z ( P3 ) = 1, = 7, = 0. ∂z ∂z ∂z Тогда, согласно формуле (18) r r r diva( P1 ) = 0 − 2 + 1 = −1, diva( P2 ) = 0 + 0 + 7 = 7, diva( P3 ) = 0 + 0 + 0 = 0. Таким образом поле в точке P1 имеет сток, в точке P2 источник. Основные свойства дивергенции: r r 1. divc = 0, c = const; r r r r 2. div (αa ± βb ) = αdiva ± βdivb , α , β ∈ R ; r r r 3. div(Ua ) = Udiva + ( a , gradU ); r r r 4. div(Uc ) = ( c , gradU ), c = const . Докажем 4 свойство r r r r ∂ ( Uc) ∂ ( Uc) ∂ ( Uc) r ∂ U r ∂ U r ∂ U + + =c +c +c div (Uc ) = = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎛ r ⎛ ∂ U r ∂ U r ∂ U r⎞ ⎞ r = ⎜c,⎜ i+ j+ k ⎟ ⎟ = ( c , gradU ) . ∂y ∂ z ⎠⎠ ⎝ ⎝∂x