Глава 2. Системы дифференциальных уравнений Задачи, приводящие к понятию системы ДУ Некоторое вещество A разлагается на два вещества P и Q. Скорость образования каждого из этих веществ пропорциональна количеству не разложенного вещества. Пусть x и y – количества вещества P и Q, образовавшихся к моменту t. Определить закон их изменений, зная, что в 3c начальный момент x=0, y=0, а через 1 час x где c – первоначальное количество вещества A. 8 y c 8 Решение. Пусть c – первоначальное количество вещества A. К моменту t количество неразложившегося вещества А равно (с – x – y). Тогда согласно условиям задачи скорости образования веществ P и Q: dx dt k1 (c x y ) dy k (c x y ) 2 dt где k1 и k2 – коэффициенты пропорциональности скорости образования каждого из веществ P и Q, x=x(t), y=y(t) – искомые функции, описывающие закон изменения количества веществ P и Q. Не останавливаясь на методах решения систем дифференциальных уравнений, запишем общее решение: x C1 C2 e ( k1 k2 )t k1 ( k1 k 2 ) t y c C e C1 2 k2 Используя начальные условия: при t=0, x=0 и y=0, определим С1 и С2. k2 c C1 k k 1 2 C k 2 c 2 k1 k 2 Подставляя значения констант в общее решение, получим законы изменения x и y в виде k2 c ( k1 k 2 ) t x 1 e k1 k 2 y k1 c 1 e ( k1 k2 )t k1 k 2 c 3c y Из дополнительных условий задачи ( x , t=1) можно найти k1 и k2. 8 8 3 k1 ln 2 4 k2 1 ln 2 4 Окончательно имеем: c t x 1 2 4 y 3c 1 2t 4 1 0.749 x( t ) y ( t) График искомых функций x(t) и y(t) демонстрирует характер образования веществ P и Q в процессе химической реакции разложения вещества А. 0.5 0 0 0 5 0 t 10 10 ОПР 1. Совокупность уравнений F1 ( x, y1 , y1 ,, y1( m1 ) , y 2 , y 2 ,, y 2( m2 ) , y n , y n ,, y n( mn ) ) 0, ( mn ) ( m1 ) ( m2 ) F ( x , y , y , , y , y , y , , y , y , y , , y ) 0, 2 1 1 1 2 2 2 n n n F ( x, y , y ,, y ( m1 ) , y , y ,, y ( m2 ) , y , y ,, y ( mn ) ) 0, 1 1 1 2 2 2 n n n n (1) где x – независимая переменная, y1(x), y2(x), …, yn(x) – искомые функции, F1, F2, …Fn – известные функции, называется системой дифференциальных уравнений n-го порядка. Замечание. Всегда будем предполагать, что число уравнений системы равно числу неизвестных функций. Системы дифференциальных уравнений, в которых число уравнений меньше числа искомых функций, называются уравнениями Монжа. Такие уравнения рассматриваются в более полных курсах математики. Система, разрешенная относительно старших производных всех входящих в нее функций, называется канонической y1( m1 ) f1 ( x, y1 , y1 ,, y1( m1 1) , y 2 , y 2 ,, y 2( m2 1) , y n , y n ,, y n( mn 1) ), ( m2 ) ( mn 1) ( m1 1) ( m2 1) y f ( x , y , y , , y , y , y , , y , y , y , , y ), 2 2 1 1 1 2 2 2 n n n y ( mn ) f ( x, y , y ,, y ( m1 1) , y , y ,, y ( m2 1) , y , y ,, y ( mn 1) ). n 1 1 1 2 2 2 n n n n (2) §1. Нормальная система дифференциальных уравнений ОПР 2. Каноническая система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, называется нормальной системой дифференциальных уравнений. d y1 d x f1 ( x, y1 , y2 , ... , yn ) d y2 f 2 ( x, y1 , y2 , ... , yn ) dx d yn d x f n ( x, y1 , y2 , ... , yn ) (3) Здесь x – независимая переменная, yi(x) – искомая система функций, fi(x) – заданные в некоторой области функции. Число уравнений системы (3) называется ее порядком. Представим систему функций выражения (3) в виде векторов y1 y2 y ... y n d y1 d x d y 2 dy dx dx ... d yn dx f1 f2 f ... f n Тогда система (3) может быть записана в компактной векторно-матричной (или просто матричной) форме: dy f(x, y) dx (4) Решением системы на интервале (a,b) называют n-мерный вектор y = y(x) или совокупность n функций y1(x), y2(x), …, yn(x) которая при подстановке в систему (3) будет обращать каждое уравнение системы в тождество на интервале (a,b). Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится также, как для одного уравнения: найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям y1 ( x0 ) y10 , y 2 ( x0 ) y 20 , , y n ( x0 ) y n 0 (5) Теорема 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в некоторой области D (n+1) – мерного пространства 1) функции f i ( x, y1 , y 2 ,, y n ) непрерывны 2) имеют в этой области ограниченные частные производные по переменным y1 , y 2 ,, y n fi M , (i, j 1, n) yi то для любой фиксированной точки M 0 ( x0 , y10 , y 20 ,, y n 0 ) области D существует, и притом единственное, решение y1 1 ( x), y 2 2 ( x), , y n n ( x) системы (3), определенное в некоторой окрестности точки x0, и удовлетворяющее условиям (5). y1 1( x, C1 , , Cn ) Совокупность n функций y2 2 ( x, C1 , , Cn ) , зависящих от x и yn n ( x, C1 , , Cn ) ОПР 3. n произвольных постоянных С1, С2, … Сn, называется общим решением системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях постоянных С1, С2, … Сn, она обращает все уравнения системы (3) в тождество (определяет решение системы); 2) по заданным начальным условиям (5) можно однозначно определить постоянные С1, С2, … Сn. Частным называется решение, полученное из общего решения при конкретных постоянных Сi. Теорема 2. Всякое дифференциальное уравнение n-го порядка y ( n ) f ( x, y, y , y ,, y ( n1) ) может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой n-го порядка. Теорема 3. (метод исключения переменных. ) Всякая нормальная система n-го порядка может быть заменена эквивалентным ей дифференциальным уравнением n-го порядка.