Случайная величина (СВ) 1 Случайная величина (СВ) • СВ – количественная характеристика случайного явления. • Случайной называется такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, • причем заранее неизвестно, какое именно. 2 Случайная величина (СВ) • Обозначение СВ: X ,Y , Z • а ее возможные значения – соответствующими малыми буквами с индексами. • Напр., возм. знач. СВ X: x1, x2,...,xn • Для нас важно то, что результаты любых измерений являются случайными величинами. 3 Случайная величина (СВ) • Каждое значение СВ есть случайное событие. • Все возможные значения СВ составляют полную группу событий. • Различают СВ двух типов – дискретные (ДСВ) и непрерывные (НСВ) 4 Случайная величина (СВ) • Дискретная (ДСВ) - такая СВ, возможные значения которой: • 1) принимают отдельные изолированные значения; • 2) их все можно указать заранее численно, если их число конечно. 5 Случайная величина (СВ) • Например, • ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах; • Ее возможные значения : 0, 1, 2, 3. • Число возможных значений ДСВ может быть конечным и бесконечным. 6 Случайная величина (СВ) • Непрерывная (НСВ) - такая СВ, возм. значения которой: • в принципе нельзя указать заранее численно; • можно указать лишь границы ее изменения, • т.е. отрезок, на котором находятся все ее возможные значения. 7 Случайная величина (СВ) • Например, НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень; • ее возм. значения ограничены размерами мишени. • Или НСВ Y – результаты многократных измерений одной величины; • ее возм. значения непрерывно изменяются в пределах точности измерительного прибора • Число возможных значений НСВ всегда8 бесконечно. Случайная величина (СВ) • Важнейшей и исчерпывающей характеристикой СВ является: • закон распределения вероятностей ее значений. 9 Закон распределения СВ • Рассмотрим ДСВ X с n возможными значениями x1 ,x2 , ...,xn . • Они составляют полную группу событий. • Каждое из них СВ может принять с некоторой вероятностью, т.е.: P( X x1 ) p1 , P( X x2 ) p2 , • ........................... P( X xn ) pn . 10 Закон распределения СВ • В результате опыта эта СВ обязательно примет только одно из этих значений. • Если указать численно значения вероятностей pi, то • тем самым будет задан закон распределения вероятностей СВ или просто – закон распределения СВ. 11 Закон распределения СВ • Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями xi и соответствующими им вероятностями pi. • Про СВ говорят, что она подчинена данному закону распределения. 12 Способы задания закона распределения ДСВ • 1. Численный способ – в виде ряда распределения xi pi x1 x2 … p1 p2 ... n p i 1 i xn pn 1 13 Способы задания закона распределения ДСВ • 2. Графический способ – в виде многоугольника распределения: • Он строится по данным ряда распределения 14 Способы задания закона распределения ДСВ • 3. Аналитический способ – в виде формулы, позволяющей вычислять вероятности отдельных значений СВ • в зависимости от самих этих значений. 15 • Напр., формула Бернулли задает биномиальный закон распределения ДСВ X, где: • X = k – число появлений события в n испытаниях. • Возможные значения этой СВ • k = 0,1, 2 ,…, n , • а вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли: • Pk n C p q k n k n k . 16 • Имея аналитическое выражение закона распределения СВ, всегда можно получить ряд распределения. • Так ряд распределения для биномиального закона: k 0 1 2 p P0( n ) P1( n ) P2( n ) • При этом всегда • ... n ... Pn( n ) n P k 0 k( n ) 1 . 17 Способы задания закона распределения НСВ • Для НСВ нельзя составить ряд распределения, как для ДСВ, • так как в принципе невозможно перечислить все ее возможные значения, • принадлежащие отрезку [ a, b ] . 18 Способы задания закона распределения НСВ • Однако внутри этих границ разные интервалы значений СВ имеют в общем случае разные вероятности: p1 p2 ... pn 19 Способы задания закона распределения НСВ • Поэтому для НСВ: • имеет смысл только вычисление вероятностей попадания в соседние интервалы • и не имеет смысла вычисление вероятностей отдельных ее значений 20 Способы задания закона распределения НСВ • Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона ее распределения. • Это должен быть такой способ, который позволял бы легко вычислять вероятности ее попадания в отдельные интервалы. • Такому требованию отвечает т.н. функция распределения вероятностей • или просто – функция распределения 21 СВ. Способы задания закона распределения НСВ • Функция распределения СВ F(x) • и связанная с нею плотность вероятности f(x) • – две формы аналитического задания закона распределения НСВ 22 Функция распределения вероятностей • Понятие функции F(x) распределения СВ вводится в виде вероятности случайного события, • состоящего в том, что СВ X примет значение левее точки x на числовой оси, т. е. F( x ) P( X x ) P( X x ) 23 Функция распределения вероятностей F( x ) P( X x ) P( X x ) • где x – некоторая текущая переменная, с изменением которой меняется и значение функции F(x): 24 Функция распределения вероятностей • Определение. • Функцией распределения СВ называется вероятность того, что СВ X примет значение меньше заданного x . • Ее называют также интегральным законом распределения • или интегральной функцией. 25 Свойства функции распределения • 1. F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т. е. . 0 F( x ) 1 • т.к. F(x) определена как вероятность случайного события, а вероятность не может быть отрицательной. 26 Свойства функции распределения • 2. Вероятность появления СВ в интервале [ , ) , полузамкнутом справа, равна разности значений функции распределения в концах этого интервала, т. е. • P( X ) F( ) F( ) . 27 Свойства функции распределения • Доказательство. Выберем на числовой оси две точки и и рассмотрим события: • A X , B X , C X . • Очевидно, что A BC . 28 Свойства функции распределения • По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать: • P( A ) P( B ) P( C ) или P( C ) P( A ) P( B ) ,т.е. P( X ) P( X ) P( X ) F ( ) F ( ) • поскольку P( X ) F ( ) ,а P( X ) F ( ) согласно определению функции распределения как F( x ) P( X x ) . 29 Свойства функции распределения • Замечание. Если будем неограниченно уменьшать участок [ , ) , полагая, например, что , • то в пределе получим вероятность того, что СВ примет отдельное значение : P( X ) • Если в точке функция имеет разрыв (ДСВ), то этот предел равен значению скачка функции F( x ) в точке . 30 Свойства функции распределения • Если же функция F( x ) в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю. • Т.о., для НСВ вероятность любого конкретного значения равна нулю, т. е. • P( X x ) 0. 31 Свойства функции распределения • 3. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. • F( x2 ) F( x1 ) при . • Это свойство вытекает из свойства 2. 32 Свойства функции распределения • 4. 33 • Функция распределения вероятностей существует как для НСВ, так и для ДСВ – это универсальный способ задания закона их распределения. 34 • Для ДСВ функция распределения имеет вид: • , • где неравенство под знаком суммы означает, • что суммирование распространяется на все те значения xi СВ, которые меньше заданного x . 35 Задача • Производятся два выстрела по мишени. • Вероятность попадания при одном выстреле p = 0.3. • Построить функцию распределения числа попаданий. 36 Решение • Имеем ДСВ X число попаданий при 2 х выстрелах. • Построим для нее ряд распределения, учитывая, что все возможные значения этой СВ равны 0, 1 и 2, а вероятности этих значений получим по формуле Бернулли: k k n k q 1 p 0.3 • , где P C p q k( n ) n 37 Решение • Ряд распределения: k 0 1 2 pi 0.49 0.42 0.09 p1 P( X 0 ) C 0.3 0.7 0.49 0 2 0 2 p2 P( X 1 ) C 0.3 0.7 0.42 1 2 1 1 p3 P( X 2 ) C 0.3 0.7 0.09 2 2 2 0 38 Решение • Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений в таблице и построим график функции распределения. 39 Решение График функции № x 1 0 F( 0 ) pi 0 2 pi 0.49 1 F( 1) x 1 3 4 F( x ) F( x ) P( X x ) x 0 2 F( 2 ) pi p1 p2 0.91 x2 2 k 0 1 2 pi 0.49 0.42 0.09 F( 2 ) pi p1 p2 p3 1 x2 40 • График функции распределения любой ДСВ величины есть всегда прерывная ступенчатая линия • Сумма ординат всех скачков равна единице. 41 • С увеличением числа возможных значений СВ и уменьшением интервалов между ними • число скачков становится больше, а сами скачки меньше, • – ступенчатая линия становится более плавной. • ДСВ постепенно приближается к НСВ, • а ее функция распределения – к непрерывной функции. 42 • График функции F(x) любого закона распределения вероятностей имеет одинаковый внешний вид: • 43 Задача • Дана функция распределения НСВ: при x 1 0 F( x ) 0.25( x 1 ) при 1 x 5 1 при x 5 • Найти вероятность попадания СВ в интервал [ 1,2 ) и построить график функции распределения. 44 Решение • Вероятность попадания СВ в интервал найдем по формуле • P( X ) F( ) F( ) , • т. е. • P( 1 X 2 ) F( 2 ) F( 1 ) . 0.25( 2 1 ) 0.25( 1 1 ) 0.25 45 Решение • Для построения графика найдем: xi 0 1 2 3 4 5 6 F ( xi ) 0 0 0.25 0.5 0.75 1 1 46 Решение • Построим график: 47 Плотность распределения (плотность вероятности) • Понятие плотности вероятности – функция f ( x ) – вводится только для НСВ • и определяется как: f ( x ) F ( x ). 48 Плотность распределения (плотность вероятности) • Функция f ( x ) характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ в данной точке. • Поэтому ее и называют плотностью распределения или плотностью вероятности, а также дифференциальным законом распределения СВ. 49 Плотность распределения (плотность вероятности) • Кривая, изображающая плотность вероятности, называется кривой распределения. • Кривая распределения для разных законов имеет разную форму, • Это более наглядно отражает различие между законами. 50 Плотность распределения (плотность вероятности) • Например: • Но, несмотря на различие графиков, общие свойства функции f ( x ) одинаковы для всех законов распределения. 51 Свойства плотности вероятности • • • 1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е. f ( x ) 0 , т.к она определена как производная от неубывающей функции F( x ) . Геометрически это свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс. 52 Свойства плотности вероятности • 2. x F( x ) f ( x )dx • что очевидно из определения функции распределения: F( x ) P( X x ) P( X x ) 53 Свойства плотности вероятности • Геометрически на графике функции f ( x ) функция F ( x ) численно равна площади: 54 Свойства плотности вероятности • 3. Вероятность попадания СВ на участок [ , ) равна P( X ) f ( x )dx 55 Свойства плотности вероятности • Геометрически эта вероятность численно равна площади криволинейной трапеции с основанием . 56 Свойства плотности вероятности • Положив x и x dx , получим узкий прямоугольник, площадь которого называется элементом f ( x )dx вероятности. 57 Свойства плотности вероятности • 4. f ( x )dx 1 . • Это свойство следует из свойства 2 и из того, что F( ) 1 . 58 Свойства плотности вероятности • Геометрически это означает, что вся площадь, между кривой распределения и осью абсцисс, равна единице: 59 Задача • СВ подчинена закону распределения с плотностью вероятности 0.5 sin x при 0 x f(x) при x 0 и x 0 • 1. Построить график плотности; • 2. Вычислить вероятность попадания СВ на участок от 0 до 0.25 ; • 3. Найти функцию распределения СВ 60 Решение • 1. Для построения графика найдем ряд значений функции f ( x ) : xi 0 0.25 0.5 0.75 f ( xi ) 0 0.35 0.5 0.35 0 61 Решение • Построим график плотности 62 Решение • 2. Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле • , P( X ) f ( x )dx • где 0 , а 0.25 : 63 Решение P( 0 x 0.25 ) 0.25 0.5 sin xdx 0 0.25 0.5 0.25 sin xdx 0.5cos x 0 0 0.5( 0.707 1 ) 0.147. 64 Решение • 3. Найдем функцию распределения по формуле x F( x ) f ( x )dx 65 Решение • Получим: x F( x ) x f ( x )dx f ( x )dx 0 x 0.5 sin x dx 0.5cos x 0 x 0 0.5(cos x cos0 ) 0.5( 1 cos x ) 66 Решение • И окончательно: ï ðè x 0 0 f ( x ) 0.5( 1 cos x ) ï ðè 0 x 1 ï ðè x 67