Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма.
высота
высота
высота
Высота параллелограмма.
основание
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр,
проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой,
содержащей основание.
B
C
Дано:
ABCD - параллелограмм
AD - основание
BH - высота
Доказать:
A
D
H
S = AD ∙ BH:
K
Доказательство:
Проведем высоту СК.
Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK
SABCK = SABCD + SDCK
Трапеция ABCK состоит из прямоугольника HBCK и треугольника ABH
т.к.
SABCK = SHBCK + SABH
SABCD + SDCK = SHBCK + SABH
ABH,
SDCK = SABH , то SABCD = SHBCK
SABCD = BC ∙ BH
или
SABCD = AD ∙ BH
ч.т д.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на
высоту.
ЗАДАЧИ.
1.
Дано: параллелограмм
a- основание, a = 15 см.
h- высота , h = 12 см.
s
h
Найти: S
a
Решение:
S=ah
S = 15* 12
S = 180 см2
Ответ:
2.
3.
Дано: S = 34 см2
Решение:
h = 8,5 см
Найти: a
a = S:h
a =34 : 8,5
a = 4 см.
Дано: S = 162 см2
a = 1/2 h
Найти: h
180 см2
Ответ: 4 см.
Решение:
S= a h
162 = h ½ h
½ h2= 162
h2 = 324
h = 18 см.
Ответ: 18 см.
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
• Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту
D
B
Дано:
ABC
AC-основание
BH- высота
Доказать:
A
H
C
SABC =1/2 AC • BH
Доказательство:
Достроим треугольник до параллелограмма ABDC
ABC = CBD по трем сторонам, поэтому
SABC = SCBD = ½ SABDC
SABC = ½ AC • BH .
С Л Е Д С Т В И Я.
1.
b
S = ½ab
а
Площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения его катетов
2.
h
a1
S1
S2
h
a2
½ a1 h
½ a2 h
S1
S2
a1
a2
Если высоты двух треугольников равны, то их площади
относятся как основания.
Задача.
Острый угол параллелограмма равен 300, а высоты, проведённые из
вершины тупого угла, равны 2см. и 3 см.. Найдите площадь
параллелограмма.
Решение:
B
C
2см∙
•
A
H2
300
D
H1
Задача.
B
H2
A
1) BH1 = 2см., BH2 = 3см.
2) BH1 =3см., BH2 = 2см.
1) AB = 4см. S = AB ∙ BH2
S = 4∙ 3 = 12 (см∙ 2)
2) DC = 6см. S = BC ∙ BH1
S = 6 ∙ 2 = 12(см2)
H1
Дано: ABC, AB=16см, BC = 22см,
hc = 11см.
Найти: ha
C
Решение:
SABC = AB ∙ CH2 = ½ 16 ∙11 = 88
SABC = ½ BC ∙ AH1
88 = ½ 22 ∙ha
ha = 2 ∙ 88 : 22
ha = 8
ТЕОРЕМА
C
S
об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы.
Дано: ABC и A1B1C1 SABC = S
B
SA1B1C1= S1
A= A1
C1
Доказать:
S
AB ∙ AC
S1
A1B1 ∙ A1C1
Доказательство:
S1
A1
Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABС
C1
CH – общая высота треугольников ACB и ACB1
B1
S
SAB1C
AB
AB1
B1H1- общая высота треугольников AB1C и AB1C1
A (А )
1
SAB1C
SAB1C1
H
B1
AC
AC1
B
S
SAB1C1
S
S1
AB ∙ AC
AB1∙ AC1
AB ∙ AC
A1B1∙ A1C1
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то
площади этих треугольников относятся как произведения сторон,
заключающих равные углы.
ТЕОРЕМА
о площади трапеции
B
C
H1
Дано: SABCD - трапеция
BC
и
AD
BH -
- основания
высота
Доказать:
SABCD = ½ (AD +BC) BH
A
H
D
Доказательство:
Проведем диагональ
BD.
SABCD = SABD + SBCD
SABD= ½ AD ∙ BH
Проведем в треугольнике
BCD
высоту
DH1
SBCD = ½ BC∙ DH1
SABCD = ½ AD ∙ BH + ½ BC ∙ DH1
так как BH = DH1, то
SABCD = ½ (AD+ BC) BH
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее
оснований на высоту.
Задача.
•
Точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC. Найдите SADE,
если AB= 5см., AC = 6см., AD = 3см., AE = 2см., SABC = 10см2
B
Треугольники ABC и ADE
имеют равные углы ( угол A
общий), поэтому по теореме:
5
D
•
SABC
AB • AC
SADE = AD •AE
3
10
5 •6
=
SADE 3 • 2
A
•
E
2
A
SADE = 2 cм2
6
2
Задача.
B
8
Дано: ABCD –трапеция, D = 300
AB и DC - основания,
AB = 2см., DC = 10см., AD = 8см.
Найти:
SABCD
Решение:
300
D
C
H
10
AH = ½ AD = 8 : 2 ; AH = 4см.;
C
SABCD = ½ (AB + DC) •AH
SABCD = ½ (2 + 10) • 4
SABCD = 24 см2