Решение уравнений, содержащих переменную под знаком

Содержание
Определение
Свойства модуля
Уравнение вида |f(x)| = a
Уравнение вида |f(x)| = g(x)
Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|
Метод замены переменной
Метод разбиения на промежутки (по
определению)
8. Уравнение вида |f(x)+g(x)| = |f(x)| + |g(x)| и
9. Уравнения вида |f(x)+g(x)| = f(x) + g(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.Определение
Абсолютной величиной (или модулем)
числа х называется само это число, если оно
положительно
или равно нулю, и
противоположное число, если х отрицательно, то
есть
Геометрическая интерпретация модуля:
число │х│ равно расстоянию от начала координат
до точки, изображающей на числовой оси число х,
|x-a| – это расстояние от точки a до точки x на
координатной оси.
2.Свойства модуля
2)
Свойства модуля:
3)
1)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3. Уравнение вида |f(x)| = a,
а – заданное действительное число.
При решении указанного уравнения могут возникать
случаи:
Если а<0, и тогда уравнение не имеет корней,
поскольку f(x) ≥0;
Если а=0, и тогда уравнение равносильно
уравнению f(x)=0;
Если a>0, и тогда уравнение равносильно
совокупности
уравнений:
Решить уравнение.
х  5х  6
2
Решение. Исходное уравнение равносильно
совокупности двух уравнений:
х1=-6, х2=1,
Ответ: -6;-3;-2;1
х3=-3, х4=-2.
4.Уравнение вида |f(x)| = f(x)
х3  х3
х 3  3 х
х3 0
х3
х 3 0
х3
Ответ : 3;)
Ответ :  ;3
5. Уравнение вида f(x)=g(x)
1 способ решения.
Этот способ – применяется в том случае, когда функция
g(x) проще, чем функция f(x).
Пример. Решите уравнение
Ответ:
2 способ решения уравнения │f(x)│=g(x)
Этот способ – применяется в том случае, когда
функция f(x) проще, чем функция g(x).
Уравнение равносильно совокупности двух систем:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Пользуясь определением модуля, получаем, что
данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Ответ:
6. Уравнение вида │f(x)│=│g(x)│
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
получаем следующее условие равносильности
Пример 4. Решите уравнение
.
Решение: Воспользуемся условием равносильности:
Ответ:
Для решения уравнений, содержащих переменную под
знаком модуля, обычно используют следующие методы:
1) раскрытие модуля, исходя из определения;
2) возведение обеих частей уравнения в квадрат.
3) метод разбиения на промежутки (метод
интервалов).
Третий способ освобождения от модуля – замена
переменной.
-3;
.
,
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Если представить уравнение в виде
Так как обе части этого уравнения неотрицательны, то это
уравнение равносильно следующему уравнению
которое путем преобразований сводится к квадратному
Ответ: -3;
Метод разбиения на промежутки.
Метод разбиения на промежутки применяется при
решении уравнения вида:
где fi(x) (i=1,2,…,n),
функции переменной х.
– заданные непрерывные
Алгоритм метода разбиения на промежутки
1) находят те значения переменной, при которых
входящие в уравнение модули равны нулю;
2) область определения уравнения разбивают этими
точками на промежутки;
3) на каждом из построенных промежутков определяют
знак выражений, стоящих под знаком модуля;
4) на каждом промежутке раскрывают модуль и решают
получаемое уравнение;
5) проверяют, принадлежат ли найденные решения
уравнения
рассматриваемому
промежутку:
если
принадлежат, их включают в ответ, если нет – то
отбрасывают.
Пример 3. Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x
5-2x=0;
х=2,5;
x+3=0
х=-3
(- ;-3)
[-3;+2,5)
[2,5;+ )
5-2х
+
+
-
х+3
-
+
+
[2,5;+ 
)
(- ;-3)
[-3;+2,5)
5-2х-х-3-2+3х=0
0х=0
5-2x+x+3-2+3x=0 2х-5+х+3-2+3х=0
2х=-6
6х=4;
х-любое число
х=-3
(- 
;-3)
Ответ: (- ;+3]
[-3;2,5)
x=2/3 [2,5;+
)
Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
При возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо
найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию.
Пример 4. Решите уравнение: |x+4|=2x-10.
Возведем в квадрат обе части уравнения
х2 +8x+16=4x2 -40x+100
3x2 -48x+84=0 /3
х2 -16x+28=0
х1=14, х2=2
Найдём ОДЗ:
2x-10 0;
2x  10 ;
х  5.
x1=14  [5;+ ), х2=2  [5;+ )
Ответ:14
3. Метод введения новой переменной
Пример 6. Решите уравнение: х2 -5|x|+6=0.
Пусть |x |=t,тогда
|x|2 =x2 =t2 ,тогда уравнение примет вид:
t2 -5t+6=0
t1=2, |x |=2, x1,2= 2
t2=3, |x |=3, x3,4= 3
Ответ:
2,
3.
Пример 7. Решите уравнение:
(x-2)2 - 8|x-2|+15=0.
Пусть |x-2|=t ,|x-2|2 =(x-2)2 =t2 ,
тогда уравнение примет вид: t2 -8t+15=0, D=16-15=1
.
t1=3, t2=5.
t1=3, |x-2|=3, x1=5, x2=-1.
t2=5, |x-2|=5, x3=7, x4=3.
Ответ: -1; 3; 5; 7.
Уравнения вида
Пример 3. Решите уравнение:
Перепишем уравнение в виде:
Сумма модулей равна сумме подмодульных
выражений. Это возможно только в том случае, когда
оба подмодульных выражения неотрицательны:
Ответ:
Спасибо за внимание!
Разработка учителя математики
ГБОУ СОШ №4 им. Жака-Ива Кусто
Самариной Татьяны Константиновны