Решение показательных уравнений Ткачева М.Н., МБОУ «ШКОЛА №58» г. Рязань

Решение показательных
уравнений
11 класс
Ткачева М.Н.,
МБОУ «ШКОЛА №58» г. Рязань
http://aida.ucoz.ru
Девиз: «Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями. Однако
уравнения, по–моему, гораздо важнее.
Политика существует только для данного
момента, а уравнения будут существовать
вечно. И решать их нужно правильно».
Альберт Энштейн
Устно
• представить в виде степени с основанием
2: 32; 0,5; 1;
• вычислить ; 10 ;
• сколько точек пересечения имеют графики
функций у = 2х и у=16, у= 5-х и у= 0,2;
у=3х и у = 7х.
http://aida.ucoz.ru
Определение.
Показательными называются уравнения,
содержащие переменную в показателе степени.
Теорема. Если а > 1, а ≠1, то уравнение
а f( x ) = a g (x ) равносильно уравнению
f( x ) = g (x ).
1. Если b ≤ 0, то уравнение а f( x ) = b
решений не имеет.
Пример.
5 х + 1 = - 5 решений нет;
5х+1= 0
решений нет.
2. Уравнение а f( x ) = 1 равносильно
уравнению f ( x ) = 0 ( а f( x ) = а 0
равносильно уравнению f ( x ) = 0 ).
Пример.
24х +1 = 1,
24х +1 = 20 ,
4х +1 = 0,
х = - 1 : 4,
х = - 0,25.
3. Уравнение
уравнению
а f( x ) = an равносильно
f ( x ) = n.
Пример:
а) 7 х = 7 2 ,
х = 2.
б) 7 х = 49,
7 х = 7 2, х = 2
в) 7 3х – 2 = 7 – 2, 3х – 2 = - 2, 3х = 0, х= 0
г) 7 2х =
, 7 2х = 7 - 2 ,
2х = -2 ,
х = -1
.
4. Уравнение а f( x ) = b f (x ) равносильно уравнению
, значит f ( x ) = 0.
Пример.
32х-1 = 52х-1
2х-1=0,
х=
5. Показательные уравнения,
сводящиеся к линейному с помощью
вынесения общего множителя за скобки
Пример 1. 3х+1 + 3х =108, т.к. 3х+1 = 3х ∙3 ,
то уравнение можно записать в виде
3∙ 3х + 3х = 108; вынесем за скобки
общий множитель 3х, получим
3х ( 3 + 1) = 108 ,
4∙ 3х = 108 ,
3х = 27 ,
3х = 33,
х = 3.
6 х + 1 +35∙ 6 х -1 = 71,
вынесем за скобки наименьший множитель
6 х -1 ,
т.к. 6 х + 1 = 6 х-1 ∙ 6 2 ,
то получим 6 х -1 ( 6 2 + 35) = 71,
6 х -1 ∙ 71= 71,
6 х -1 = 1,
х-1 = 0,
х = 1.
Пример 2.
Пример 3. 2х+1 + 2х-1 +2х = 28,
вынесем за скобки наименьший множитель
2 х -1 ,
получим , 2х-1 ( 22 + 1 +2 ) = 28
2х-1 ∙7 = 28,
2х-1 = 4,
2х-1 = 22 ,
х-1 = 2,
х=3.
Пример 4. 51-х +
+
= 155 ,
5 1-х +
+
= 155, вынесем
общий множитель 5-х за скобки ,
получим
5 – х ( 5 + 52 +1) = 155,
5 – х ( 5 + 25 +1) = 155,
5 – х ∙31 = 155,
5 – х = 5,
-х = 1,
х = -1.
Пример 5. 73-х - 72 –х = 25 –х – 23 –х ,
7∙ 72-х - 72 –х = 8∙ 22 –х – 2∙ 22 –х ,
72-х (7 - 1) = 22 –х (8 – 2),
72-х ∙6 = 22 –х ∙6,
72-х = 22 –х,
2-х=0,
х=2.
5. Показательные уравнения,
сводящиеся к квадратному
Рассмотрим уравнение в общем виде
Аа2х + Вах + С =0
Пусть ах= t и а2х = t2,
тогда Аt2 + Вt + С =0 – квадратное
уравнение.
Пример 1.
4х – 5 ∙2х +4=0,
4х = 22х = (2х)2;
пусть 2х = t и 22х = t2,
тогда t2-5 t +4 =0, t1=4, t2=1
если t1=4, то 2х = 4, х=2;
если t2=1, то 2х = 1, х=0.
Ответ: 0; 2.
Пример 2.
пусть
тогда
t1=
,
=
= 1,
х= 0.
Ответ: 0.
+ 13t -12 = 0,
t2= 1,
решения нет;
7. Однородные показательные уравнения
.
Рассмотрим уравнение А
Разделим почленно на
Получим уравнение
пусть
Получим уравнение
Пример.
разделим на
Тогда
, получим уравнение
, пусть
, t1 = 1, t2=
, х= 0 ;
, х= -1.
Ответ: -1; 0.
,
, тогда
8. Задание. Определите, каким методом будем
решать каждое уравнение
1) 5х+3 - 3∙5х+1 – 10 ∙5х = 4
2)
3) 3∙ 4х - 5∙6х + 2∙ 9х = 0
Методы решения показательных
уравнений :
• Метод приведения степеней к одному
основанию
• Вынесение общего множителя за скобки
• Метод замены переменной
• Метод почленного деления
( однородные уравнения )
«Метод решения хорош,
если с самого начала мы
можем предвидеть – и в
последствии
подтвердить это, - что,
следуя этому методу,
мы достигнем цели» .
Лейбниц
Сегодня на уроке я повторил
Сегодня на уроке я узнал
Сегодня на уроке я научился
Спасибо
за
урок