Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Г.В. Аверкова Курс «Высшая математика» Тема 5 «Прямая на плоскости» Вывод общего уравнения прямой на плоскости, его частные случаи, примеры построения прямой по ее общему уравнению. Переход от общего уравнения прямой к уравнению с угловым коэффициентом, геометрический смысл параметров этого уравнения. Уравнение прямой в отрезках. Составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Каноническое и параметрические уравнения. Взаимное расположение двух прямых: угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности. Вывод формулы расстояния от точки до прямой. Пучок прямых. Цели и задачи Цели: – Рассмотреть основные понятия по теме «Прямая на плоскости» Задачи: – Рассмотреть различные способы задания прямой на плоскости – Определить расстояние от точки до прямой – Рассмотреть взаимное расположение двух прямых 2 Теоретический материал Прямая линия – алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая на плоскости задается уравнением первой степени. 1) Общее уравнение (полное) прямой Ax By C 0 n A, B - нормальный вектор плоскости Нормальным вектором прямой, или вектором нормали, называется ненулевой вектор, перпендикулярный прямой. 3 Теоретический материал Общее уравнение прямой в векторной форме r n C 0 r - радиус-вектор точки M ( x, y ) Направляющие косинусы нормального вектора n A, B определяются формулами: 4 cos . A A B cos B A B 2 2 2 2 Теоретический материал 2) Нормальное уравнение прямой x cos y sin p 0 Нормальное уравнение прямой в векторной форме: r n p 0 n cos , sin - единичный вектор нормали p – расстояние от начала координат до прямой Нормирующий множитель 1 A B 2 5 2 Теоретический материал 3) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) перпендикулярно вектору n A, B A( x x0 ) B( y y0 ) 0 4) Уравнение прямой в отрезках x y 1 a b C a , A 6 C b - отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy B Теоретический материал 5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом y kx b k tg b a - угловой коэффициент прямой угол наклона прямой к оси Ox, отсчитываемый в направлении, противоположном часовой стрелке - 6) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом y y 0 k ( x x0 ) 7 s m, n Теоретический материал 7) Каноническое уравнение прямой xx y y m n 0 s m, n - 0 направляющий вектор прямой Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, параллельный прямой 8) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки xx y y x x y y 1 2 8 1 1 2 1 Теоретический материал 9) Параметрические уравнения прямой x x mt, y y nt 0 0 Параметрические уравнения прямой в векторной форме: r r st 0 . 9 r - радиус-вектор точки M ( x, y ) r - радиус-вектор точки M 0 ( x0 , y 0 ) Теоретический материал Расстояние от точки до прямой Если прямая задана нормальным уравнением x cos y sin p 0 , то d d ( M 0 , l ) x0 cos y 0 sin p Если прямая задана общим уравнением Ax By C 0 , то d d (M , l ) 0 10 Ax By C 0 0 A B 2 2 Теоретический материал Угол между двумя прямыми Если прямые заданы общими уравнениями A x B y C 0 , A x B y C 0 , то 1 1 2 1 2 2 n n cos(l , l ) cos(n , n ) n n 1 1 AA BB A B A B 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 Если прямые задаются уравнениями с угловыми коэффициентами y k xb , 1 y k xb , 1 2 2 k k tg (l , l ) 1 k k 2 1 1 2 1 11 2 то Теоретический материал Взаимное расположение двух прямых на плоскости 1) Перпендикулярность AA BB 0 k k 1 2) Параллельность A1 B1 C1 A2 B2 C2 k k 3) Совпадение A1 B1 C1 A2 B2 C2 k k b b 4) Пересечение 12 1 2 1 2 1 1 A x B y C A x B y C 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 y k x b y k x b 1 2 1 2 Ключевые понятия Прямая Нормальный вектор Направляющий вектор Угловой коэффициент Расстояние от точки до прямой Нормирующий множитель Угол между прямыми Параллельность и перпендикулярность 13 Контрольные вопросы Общее уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой по двум точкам Каноническое уравнение прямой Параметрические уравнения прямой Уравнение прямой в отрезках Нормальное уравнение прямой Нормирующий множитель Расстояние от точки до прямой Косинус угла между двумя прямыми Параллельность и перпендикулярность прямых 14 Дополнительная литература 15