Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Дифференциальные
уравнения
Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеют вид: y   py   qy  f (x )
Решение этих уравнений основано на
следующей теории.
Th: Общее решение линейного
неоднородного дифференциального
уравнения выражается суммой его
частного решения и общего
решения соответствующего
линейного однородного уравнения.
y  y00  y *
Рассмотрим способ нахождения
частного решения неоднородного
уравнения, ограничиваясь
решением таких неоднородных
уравнений второго порядка, у
которых правая часть является
многочленом, т.е. Р(х), или
показательной функцией Аекх.
Для отыскания частного решения
у* будем применять метод
неопределенных коэффициентов,
причем у следует искать в таком
же виде, какой имеет Р(х) или Аекх.
I. Подбор частного решения у*, когда правая
часть – многочлен.
а) если Р(х) – многочлен и q≠0, то у*
следует искать в виде многочлена такой
же степени
# Р(х) = 2х + 3 или х, то у* : Ах + В
Р(х) = х2 или (x2+1) или (x2 + x — 1), то
y*: Ах2 + Вх + С
При этом коэффициенты многочлена
находятся из системы линейных
алгебраических уравнений, которые
получатся при подстановке в
дифференциальное уравнение
предполагаемого многочлена и его
производных.
#
у" - 2у' - 3у = 2х нач. усл.: у(0) = 0
у'(0) = 1
у* = Ах + В
у*' = А; у*" = 0
-2А — 2Ах — 3В = 2х
 A  1
 2 A  2
 A  1 
;
2


 2 A  3B  0  3B  2  B 
3

2
y*   x 
3
k2 — 2k — 3 = 0
D = 4 + 12 = 16
24
k1 
3
2
k2 = -1
yoo = C1 e-x + C2 e3x
2
y  C1e  C2 e  x 
3
x
3x
y' = -C1e-x + 3C2e3x — 1
2

2
C1    C2


C

C


0
 1

3
2
;
3

4


 C1  3C2  1  1 4C2  2
3

1

1

C2  3
C2 
3


C   2  1 C1  1
 1
3 3
y  e
x
1 3x
2
 e x
3
3
б) q = 0 (при этом
характеристическое уравнение
имеет один нулевой корень), то в
многочлене, для частного решения
у*, вводится множитель х.
Это значит, что вместо А берется
Ах, вместо Ах + В — Ах2 + Вх
вместо
Ах2 + Вх + С — Ах3 + Вх2 + Сх т.
в) если р = 0 и q = 0, то в многочлен у*
вводятся множитель х2.
# y" – 2y' = 24x
k2 – 2k = 0
q=0
k (k – 2) = 0
у* = Ах2 + Вх
k = 0, k = 2
y*' = 2Ах + В
Y = C1 + C2e2x
y*" = 2А
2А — 4Ax — 2В = 24х
 4 A  24  A  6  A  6



2 A  2 B  0  A  B  B  6
у* = -6х2 – 6х
y = -6x2 – 6x + C1 + C2e2x
II. Подбор частного решения у* когда правая
часть – показательная функция.
а) если в правой части задана
показательная функция aebx, то
частное решение y* следует искать
в виде Aebx.
б) если характеристическое
уравнение, соответствующее
однородному уравнению, имеет
корень x = b, то частное решение
следует искать в виде y* = Axebx.
в) если правая часть – сумма
функций различного вида, то
частное решение составляется в
виде суммы функций
соответствующих каждому
слагаемому.
# x2 + e-x = f(х)
y* = Ax2 + Bx + C + Me-x
Каждое слагаемое проще
определяется отдельно!
# y" – 3y' – 4y = 9e2x
k2 – 3k – 4 = 0
D = 9 + 16 + 25
35
k1 
4
2
k2 = -1
Y = C1e-x + C2e4x
y* = Ae2x
y*' = 2Ae2x
y*" = 4Ae2x
4Ae2x – 6Ae2x – 4Ae2x = 9e2x
-6A = 9
9
1
A    1
6
2
1 2x
x
4x
y  1 e  C1e  C 2 e
2
Примечание: в каких случаях применим метод
подбора частного решения
1) f ( x )  Aex
2) f ( x )  A cos x  B sin x
3) f ( x )  Pn ( x )
4) f ( x )  Pn ( x )e
x
5) f ( x )  Pn ( x ) cos x  Qm ( x ) sin x
6) f ( x )  e ( A cos x  B sin x )
x
Пример. Решить уравнение
y   y  xe x  2e  x
y   y  0
k2 1  0
k1, 2  i
yоо  C1 cos x  C2 sin x
у*  u1  u2  ( Ax  B )e x  Ce  x
u  ( Ax  B )e x  Ce  x
u  Ae x  ( Ax  B )e x  Ce  x
u  2 Ae x  ( Ax  B )e x  Ce  x
u  u  2 Ae x  ( 2 Ax  2 B )e x  2Ce  x  xe x  2e  x
A  0,5
B  0,5
C 1
Метод вариации произвольных постоянных
Ищем решение в виде:y=C1(x)y1+C2(x)y2
Причем y1 и y2 найдены ранее