Плакаты для практических занятий5

ДИНАМИКА
СООРУЖЕНИЙ
ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ МАССАМИ
Основные предпосылки
и гипотезы
1. Рассматриваются линейно
деформируемые системы.
2. Исходное состояние – равновесие
при статических (квазистатических)
воздействиях.
3. Определяются динамические
составляющие характеристик
напряжённо- деформированного
состояния системы.
4. Сопротивление движению учитывается
по модели вязкого трения.
Плоский динамический изгиб
прямолинейного стержня
с распределённой массой
x
A(x), I(x)
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
соб
пр
~ ( x)
 ρ ( x)  A ( x)  m
пр
~ ( x) – собственная масса стержня
m
соб
~ ( x)
m
пр
– присоединённая масса
Рабочие гипотезы
• Динамический изгиб стержня считается независимым
от влияния других видов деформаций ( кручения,
растяжения-сжатия, сдвига ).
• Инерция поворота масс при изгибе не учитывается.
Свободное изгибное движение
прямолинейного стержня
с распределённой массой
x
A(x), I(x)
y
v(x,t)
0
ПСР
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
соб
пр
~ ( x)
 ρ ( x)  A ( x)  m
пр
Задача:
определить функцию v(x,t),
описывающую движение
центра тяжести
произвольного сечения
с абсциссой х.
x
Решение кинетостатическим методом
Сопротивление
y вязкой среды
qf (x,t)
dx
v(x,t)
0
Q(x,t)
ПСР
x
x
dx
qf (x,t)
qin (x,t) –
интенсивность
сил инерции
qin (x,t)
M ( x, t )
dx
x
Q( x, t )
Q( x, t ) 
dx
x
M ( x, t ) 
M(x,t)
Уравнения состояния элемента dx
1. Уравнения равновесия (статика)
dx
Sm = 0,
Q(x,t) q (x,t)
M ( x, t )
f
M ( x, t ) 
dx
S
y
=
0.
x
M(x,t) qin (x,t)
Q( x, t )
Q( x, t ) 
dx
x
M ( x, t )
 Q( x, t ) ,
x
Q( x, t )
 qin( x, t )  q f ( x, t )
x
Уравнения состояния элемента dx
1. Уравнения равновесия (статика)
dx
Разрешающее
Q(x,t) q (x,t)

M
(
x,
t
)
f
M ( x, t ) 
dx уравнение равновесия:
x
2
 M ( x, t )
 qin( x, t )  q f ( x, t )
2
x

Q
(
x,
t
)
M(x,t) qin (x,t) Q( x, t ) 
dx
x
3. Физические зависимости
2

Закон
~ ( x) v ( x, t )
2. Уравнение совместности
q
(
x,
t
)


m
in
t 2
перемещений и деформаций инерции
(геометрия)
2

1  v ( x, t )
r( x, t )
x 2
Модель
v ( x, t )
q
(
x,
t
)


k
(
x
)
Фойгта
f
f
t
Закон Гука
при изгибе
1  M ( x, t )
r ( x, t ) EI ( x )
Дифференциальное уравнение
свободного изгибного движения
прямолинейного стержня
переменной жёсткости
с неравномерно распределённой массой
(сопротивление вязкой среды –
по модели Фойгта)
2
2

v
(
x,
t
)

v ( x, t )
v ( x, t )


 EI ( x )
~
 m ( x)
 k f ( x)
0
2 
2
2

t
x 
x
t

2
– уравнение в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами
Частные случаи
дифференциального уравнения
свободного изгибного движения
прямолинейного стержня
1. Стержень постоянной жёсткости
EI(x) = const = EI
~ ( x) 2v ( x, t ) k f ( x) v ( x, t )
4v ( x, t ) m

*

*
0
4
2
EI
EI
t
x
t
2. Стержень постоянной жёсткости EI
~ ( x)  const  m
~
с равномерно распределённой массой m
без учета демпфирования (внешнего и внутреннего трения)
~ 2v ( x, t )
4v ( x, t ) m

*
0
4
2
EI
x
t
~
IV
m
 ( x, t )  0
v
или v ( x, t ) 
EI
(А)
Общее решение уравнения (А)
по методу Фурье:

v ( x, t )   v j ( x ) sin(  j t  0 j )
j 1
Частный случай –
собственные изгибные колебания:
v ( x, t )  v( x) sin(t  0 )
Дифференциальное уравнение амплитуд прогибов
при собственных изгибных колебаниях
прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учета демпфирования:
2
~
v ( x)  k v ( x)  0 (В), где k  4 m
IV
4

Характеристическое уравнение
дифференциального уравнения (В):
r4 – k4 = 0
r1 = k , r2 = – k , r3 = ki , r4 = – ki
Решение дифференциального уравнения (В):
v(x) = C1e kx + C2e –kx + C3 cos kx +C4 sin kx
Линейное преобразование постоянных интегрирования:
C1  C1  C2 ; C2  C1  C2
v ( x)  C1 ch kx  C2 sh kx + C3 cos kx + C4 sin kx
~
~
~
~
v ( x )  C1 Akx  C2 Bkx  C3 Ckx  C4 Dkx
Балочные функции А.Н. Крылова:
Akx = (ch kx + cos kx)/2
Bkx = (sh kx + sin kx)/2
Ckx = (ch kx – cos kx)/2
Dkx = (sh kx – sin kx)/2
Свойства функций Крылова:
1. При х = 0: A0 = 1, B0 = C0 = D0 = 0
2. Правило дифференцирования функций:
Akx
Dkx
*k
Ckx
Bkx
Функция амплитуд прогибов
при собственных колебаниях – в форме
метода начальных параметров
y
Q0
q0
v0
qin (x)
M0
0
v(x)
ПСР
x
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я п р и х = 0:
1) статические
2) кинематические
Q0
M(0) Sm = 0 M(0)=M
0
dx
Sy = 0 Q(0) = Q0
M0
Q(0)
v(0) = v0
q(0) = q0
x
~
C1  v0
θ
~
C2  0
k
M
~
C3  2 0
k EI
Q
~
C4  3 0
k EI
Функция амплитуд прогибов
при собственных колебаниях – в форме
метода начальных параметров
y
Q0
q0
v0
qin (x)
M0
0
v(x)
ПСР
x
x
Bkx M 0 Ckx Q0 Dkx
v ( x )  v0 Akx  q0

 2 
 3
k
EI k
EI k
Функции амплитуд характеристик НДС
при собственных колебаниях – в форме
метода начальных параметров
Bkx M 0 Ckx Q0 Dkx
v ( x )  v0 Akx  q0

 2 
 3 ;
k
EI k
EI k
M 0 Bkx Q0 Ckx
dv( x )
q( x ) 
 v0kDkx  q0 Akx 


 2 ;
dx
EI k
EI k
d 2v( x )
dq( x )
M ( x )  EI
 EI

2
dx
dx
Bkx
2
 EIv0k C kx  EIq0kDkx  M 0 Akx  Q0 
;
k
dM ( x )
d 3v( x )
Q( x ) 
 EI

3
dx
dx
3
2
 EIv0k Bkx  EIq0k C kx  M 0kDkx  Q0 Akx
Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
y
qin (x)
Q0
q0
v(x)
v0 M0
0
ПСР
x
x
Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
y
aF , a M = 0
Q0
q0
R
v0 M0
0
Реакция внешней
линейной связи
F
J
qin (x)
aF , aM
F
Сила инерции
точечной массы
M
v(x)
ПСР
x
x
R
M
J
Реакция внешней
угловой связи
Инерционный момент
неточечной массы
Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
I
y
Q0
q0
Продолжение vI(x)
qin (x)
aF , aM
F
v0 M0
0
vII(x)
II
vI(x) M
x
Dv(x)
ПСР
v(x)
x
Dv (x) = vII(x) – vI(x) =
Bk( x -a) DM0 Ck ( x -a ) DQ0 Dk( x -a)
 Dv0 Ak( x -a)  Dq0




2
k
EI
EI
k
k3
Из условий на границе х = а
Dv0 = 0, Dq0 = 0, DM0 = M, DQ0 = F
( а = aF , aM )
Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
Ck ( x -aM ) F Dk ( x -aF )
M
Dv( x) 



2
3
EI
EI
k
k
Bkx M 0 Ckx Q0 Dkx
v ( x )  v0 Akx  q0

 2 
 3 
k
EI k
EI k
C k ( x - aM )
Dk ( x -aF )
M
F




2
EI
EI
k
k3
Основные уравнения и уравнение частот
собственных колебаний по МНП
Граничные условия (ГУ)
Кинематические ГУ
R
M
v(aR) = – R/cD
q(aM) = M/cq
cD
cq
aR
aM
Q0
M0
Cтатические ГУ
Q(lк) Fк
M(0)
M(lк)
Sm=0
S y=0
Q(0)
dx
dx Mк
Основные
уравнения
МНП:
f*W=0
Кинематические ГУ записываются для точек, где имеются внешние связи.
Правила: 1.
2. Статические ГУ – уравнения равновесия двух элементов dx по концам стержня.
Основные уравнения и уравнение частот
собственных колебаний по МНП
f*W=0
v0
q0
W = M0
Q0
[R]
f11 f12 …f1k …f1n
f21 f22 …f2k …f2n
n
f=
(n * n)
.....................
fi1 fi2 … fik … fin
......................
f = f(k)
fn1 fn2 …fnk …fnn
Решение основных уравнений МНП
1. Тривиальное решение: W = 0 –
2. Нетривиальное решение: W  0
( условие существования
собственных колебаний )
Уравнение частот
собственных колебаний
по МНП:
Det ( f ) = 0
Спектр частот собственных колебаний
и главные формы колебаний
Det ( f ) Поиск корней частотного уравнения
4
j
k2
0
k1
Определение частот
собственных колебаний
kj
k
k EI
kj  ωj 
,
~
m
j  1, 
Выявление главных форм колебаний
kj  f
– числовая матрица;
1  f W  f  β  0 ( W = 0 )
k
W
Wk
W 1   v0 /Wk 
W 2   q0 /Wk 
W         ; Wi  Wi /Wk ;
 Wi  Wi /Wk 
     
Wk = 1
Wn  Wn /Wk 
1
2
Вынужденное изгибное движение
прямолинейного стержня
с распределённой массой
y
aM
aq
aF
F (t)
M (t)
q (x,t)
v(x,t)
0
ПСР
x
x
Решение кинетостатическим методом
y
dx
aM
aq
aF
F (t)
q (x,t)
M (t)
q (x,t)
qf (x,t)
qin (x,t)
qf (x,t) qin (x,t)
0
x
v(x,t)
ПСР
x
Решение кинетостатическим методом
dx
Q (x,t)
q (x,t)
M(x,t)
qf (x,t)
qin (x,t)
M ( x, t )
M ( x, t ) 
dx
x
Уравнения
равновесия
(статика)
Q( x, t )
Q( x, t ) 
dx
x
Sm = 0,
S y = 0.
Разрешающее
уравнение равновесия:
2 M ( x, t )
 q( x, t )  qin( x, t )  q f ( x, t )
2
x
Дифференциальное уравнение
вынужденного изгибного движения
прямолинейного стержня
переменной жёсткости
с неравномерно распределённой массой
(сопротивление вязкой среды –
по модели Фойгта)
2
2

v
(
x,
t
)

v ( x, t )
v ( x, t )


~
 EI ( x)
 m ( x)
 k f ( x)
 q( x, t )
2 
2
2

t
x 
x 
t
2
– неоднородное уравнение
в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами
Частный случай – дифференциальное
уравнение вынужденного изгибного
движения прямолинейного стержня
переменной жёсткости
с неравномерно распределённой массой
без учета сопротивления вязкой среды

2
x
2
 v ( x, t )  ~
 v ( x, t )

EI ( x) x 2   m ( x) t 2  q( x, t )
2
2
– неоднородное уравнение
в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами
Решение дифференциального
уравнения
v(x,t) = v(x,t)+ v*(x,t)
v(x,t) – общее решение однородного диф. уравнения
v*(x,t) – частное решение неоднородного диф. уравнения
Для стержня постоянной жёсткости EI
с равномерно распределённой массой
без учета демпфирования (внешнего и внутреннего трения):
~
m
~ 2v ( x, t )
4v ( x, t ) m

*
 q( x, t )
4
2
EI
x
t

v ( x, t )   v j ( x ) sin(  j t  0 j )
j 1
При отсутствии распределённой нагрузки ( q(x,t) = 0 ):
v(x,t) = v(x,t)
Учёт сосредоточенных нагрузок
Статические условия на границе участков
в точке приложения F(t) , M(t)
Q (a – dx, t)
M(a – dx, t)
i
dx
F (t)
i+1
M (t)
Q (a + dx, t)
M(a + dx, t)
dx
a = aF , aM
Sm = 0,
S y = 0.
Q (a + dx, t) – Q (a – dx, t) = F (t)
M(a + dx, t) – M(a – dx, t) =M (t)
d 3vi 1( x, t )
d 3vi ( x, t )
d 2vi ( x, t )
F (t ) d 2vi 1( x, t )
M (t )


;


3
2
2
EI
EI
dx 3
dx
dx
dx
x  aF
x  aF
x  aM
x  aM
Установившиеся вынужденные изгибные колебания
прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учёта демпфирования
( случай гармонической нагрузки )
F (t) = F
q(x,t)= q(x) * sin F t
M (t) = M
~ ω2
d 4v ( x) m
q ( x)
F

*
v
(
x
)

EI
EI
dx4
v ( x, t )  v ( x) sin F t   v ( x)  v( x)  sin F t
функция прогибов, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению 4
2
~
 v ( x, t ) m  v ( x, t )

*
 q ( x, t )
4
2
EI
x
t

уравнение в амплитудах прогибов v ( x)  v ( x)  v ( x)
Полное Общее
решение
решение
в форме
однородного
метода начальных
уравнения:
параметров:
v ( x)  v0 Akx  q0
~ ω2
m
F
где k 
EI
C
D
Bkx M0 Ckx Q0 Dkx

 2 
 3  M  k( x2-a )   F  k( x3-a ) +
EI
EI
k
EI k
EI k
k
k
M
F
Ak( xconst
Частное решение неоднородного уравнения приqq(x)=
 aq )  :1


4
 0  при 0  x  aq
EI
k
v( x)   q
 k 4 EI  при x  aq
Добавка к прогибам за
B
C
D
q
счёт нагрузки q при x>aq : Δvq ( x1)  Δv0 Akx1  Δθ0 kx1  ΔM0 kx2 1  ΔQ0 kx3 1  4
k
k
k
k EI
Условия в начале участка (при x= aq , x1 = 0):
(
x
=
x
–
a
)
1 3
q
2
d
d
d
Δvq (0)  0; Δθq (0)  Δvq ( x1 )  0; ΔM q (0)  EI 2 Δvq ( x1 )  0; ΔQq (0)  EI 3 Δvq ( x1 )  0
dx
x1  0
dx
dx
x1  0
x1  0
q
Δv0  4  0
Δθ0  0
ΔQ0  0
ΔM0  0
4
k EI

Установившиеся вынужденные изгибные колебания
прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учёта демпфирования
( случай гармонической нагрузки )
F (t) = F
q(x,t)= q(x) * sin F t
M (t) = M
v ( x, t )  v ( x) sin F t   v ( x)  v( x)  sin F t
~ ω2
d 4v ( x) m
q ( x)
F

*
v
(
x
)

EI
EI
dx4
функция прогибов, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению 4
2
~
 v ( x, t ) m  v ( x, t )

*
 q ( x, t )
4
2
EI
x
t

уравнение в амплитудах прогибов v ( x)  v ( x)  v ( x)
Полное решение в форме метода начальных параметров:
v ( x)  v0 Akx  q0
~ ω2
m
F
где k 
EI
C
D
Bkx M0 Ckx Q0 Dkx

 2 
 3  M  k( x2-a )   F  k( x3-a ) +
EI
EI
k
EI k
EI k
k
k
M
4
Основные уравнения МНП:
(из КГУ и СГУ)
v0
q0
W = M0
Q0
[R]
n
f=
(n * n)
f * W + BF = 0
F
q Ak( x aq )  1


EI
k4
f11 f12 … f1k … f1n
B1F
f21 f22 … f2k … f2n
B2F
...............
B3F n
fi1 fi2 … fik … fin f = f (k) BF =
. . . . . . . . . . . . . . . W = – f –1 * BF B4F
[ BRF ]
fn1 fn2 … fnk … fnn
Det ( f )  0
Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 32» )
1. Каковы основные предпосылки и гипотезы теории динамических расчётов
линейно деформируемых систем с распределёнными массами? ( 2 )
2. Какие рабочие гипотезы дополнительно вводятся в теории динамического изгиба
прямолинейных стержней с распределённой массой ( РМ )? ( 3 )
3. Расчётная схема в случае решения кинетостатическим методом задачи о свободных
изгибных колебаниях прямолинейного стержня с РМ. ( 5 )
4. Какие силовые факторы учитываются в статических уравнениях? ( 6 )
5. Как записываются геометрические соотношения? ( 7 )
6. Какие физические зависимости используются в решении задачи? ( 7 )
7. Вывод разрешающего дифференциального уравнения прогибов прямолинейного
стержня с РМ в общем случае свободного изгибного движения. ( 6 – 8 )
Частные случаи. ( 9 )
8. Как получается дифференциальное уравнение амплитуд прогибов стержня
постоянного сечения с равномерно распределённой массой в случае собственных
изгибных колебаний? ( 10 ) Какой вид имеет его решение? ( 11 )
9. Представление решения в балочных функциях Крылова. ( 11 )
Каковы свойства функций Крылова? ( 12 )
10. Выражения амплитуд динамических прогибов, углов поворота сечений, изгибающих
моментов и поперечных сил при собственных колебаниях в форме метода начальных
параметров ( МНП ). ( 15 ) , ( 19 )
11. Как учитывается в выражениях амплитуд характеристик напряжённо-деформированного состояния ( НДС ) стержня влияние сосредоточенных сил и моментов в произвольных точках стержня? ( 19 ) Какими могут быть по физическому смыслу эти сосредоточенные воздействия при собственных колебаниях? ( 17 )
*)
Только в режиме «Показ слайдов»
Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 33» )
12. Из каких условий получаются основные уравнения метода начальных параметров
в задаче о собственных изгибных колебаниях прямолинейного стержня с РМ? ( 20 )
13. Какие граничные условия стержня учитываются и по какому правилу
они записываются? ( 20 )
14. Каковы варианты решения системы основных уравнений МНП и какой из них
используется для получения уравнения частот собственных колебаний? ( 21 )
15. Сколько корней имеет уравнение частот и почему? ( 22 )
16. Сколько главных форм и соответствующих частот собственных колебаний имеет
стержень с распределённой массой? ( 22 )
17. Как определяется главная форма, соответствующая некоторой частоте собственных
изгибных колебаний? ( 23 )
18. Чем отличается расчётная схема прямолинейного стержня с РМ в случае вынужденного
изгибного движения от схемы в задаче о собственных колебаниях? ( 23 – 24 )
19. Как получается разрешающее дифференциальное уравнение прогибов прямолинейного
стержня с РМ в общем случае вынужденного изгибного движения? ( 24 – 26 )
Его частные случаи. ( 27 )
20. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения вынужденных
колебаний? ( 28 )
21. Уравнение в форме метода начальных параметров для амплитуд динамических прогибов при установившихся изгибных колебаниях прямолинейного стержня постоянного
сечения с равномерно распределённой массой от вибрационных воздействий. ( 30 )
22. Основные уравнения метода начальных параметров в случае установившихся вынужденных изгибных колебаний стержня от вибрационных воздействий – получение
уравнений и их использование для определения амплитуд характеристик НДС. ( 31 )
*)
Только в режиме «Показ слайдов»