Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические
уравнения и неравенства
спасибо Драгуновой Елене Юрьевне за возможность
использования ее презентации в работе с
обучающимися
Решение простейших
тригонометрических уравнений.
Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
07.05.2016
3
1. Найти координаты точки М,
лежащей на единичной окружности и
соответствующей числу

3
3
2
3

2
1
2


3
2. Дана точка М с абсциссой ½.
Найдите ординату этой точки;
укажите три угла поворота, в
результате которых начальная точка
(0;0) переходит в точку М
М
3
2

7
 2 
3
3

3

1
2
5
 2  
3
3
2. Дана точка М с абсциссой -½.
Найдите ординату этой точки;
укажите три угла поворота, в
результате которых начальная точка
(0;0) переходит в точку М
М
3
2
1

2
2
3
2
8
 2 
3
3
2
26
 8 
3
3
Решите уравнение
2
cos x 
2

4
х
2
2

4
х


4
 2п, п  Z

4
 2п, п  Z
Решите уравнение
5
6
3

2
5

6
3
cos x  
2
5
х
 2п, п  Z
6
5
х
 2п, п  Z
6
Решите уравнение
1
?
cos x  1
cos x  1
cos x  0
cos x  1,5
cos x  10
-1
?
3
cos x 
5
Арккосинусом числа а
называют такое число из
промежутка
[0;π ], косинус которого
у
π-arccos a
1
arccos а
равен а
х
π
-а
0
а
-1
arccos (-a)= π -arccos a
0
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
1)
1
а 1
1
1
x
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет решений.
1
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
2)
1
а 1
1
0

cos х = 1
х = 2πk
1
0
cos х = -1
х = π+2πk
кZ
1
Частные
решения
x
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
3) а
=0
x

2

1 2
1
0
1
x
 n n  Z


2
Частное
решение
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
4)
y
1
а 1
arccos а
Корни, симметричные
относительно Оx могут  1
быть записаны:
а
x
arccos a  2k
х
 arccos a  2k
или
х = ± arccos a+2πk
1
-arccos а
1
Общее решение
Уравнение cos х = a называется
простейшим тригонометрическим уравнением
Решается с помощью единичной окружности
х1
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
a
0
-1
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр из
этой точки к окружности
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные числа– решения
уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-х1
х   х1  2n
nZ
Подводим
итоги
При
а 1
а=1
а=0
а = -1
cos x = a
Решений нет
Частные решения
(единичная окружность!!!)
1  a  0
0  a 1
Общее решение
х   arccos a  2n, n  Z
arccos a     arccos a
1) Имеет ли смысл выражение
3
arccos
4
2) Может ли arccos
12

13

7
a принимать значение
13
12
3) Вычислите
arccos(1)
arccos
4
arccos
3
arccos(0,7)

2
arccos 2
3
arccos
2
2
arccos(
)
2
arccos(0,5)
arccos 
1. Сколько серий решений имеет уравнение:
cos x  2
cos x  1  2

cos( 2 x  )  0
4
cos x  0
cos x  1
4
cos x  
3
2. Вычислить
1
arccos
2
arccos

2
4
arccos(  )
3
1
arccos(  )
2
2
arccos
2
3
arccos(  )
2
cos( x 

)3
2
cos x  0,2
2 cos x  3
arccos 0
arccos( 1)
arccos
2
3
3. Вычислить
cos(arccos 0.2) 
2
cos(arccos ( ) 
3
3
cos cos(  arccos ) 
4

1
sin(  arccos ) 
2
3
4
sin(arccos ) 
5
4. Вычислить
5 arccos(cos

)
10
3 arccos(cos 2) 
8
arccos(cos ) 
7
arccos(cos 4) 
Самостоятельная работа
Вариант 1
Вариант 2
1
1. Вычислить
3
a ) arccos
a ) arccos( 
)
2
2
2
б) сos(arccos 0,6)
б) sin(arccos
)
2
2. Решить уравнение
2
а) cos x  
2
б ) cos 2 x  0,2
в ) cos( x 

)0
4
г ) 2 cos 2 x  3
1
а ) cos x 
2
б ) 2 cos x  0,3
в ) cos( x 

) 1
3
г ) cos x cos 2 x  sin 2 x sin x  1

2
3

1 2

3
1 2
0
-1
2
3
0 
1
2
1

2

1
-1
3
2

x

2
 n
2) cos x  1
х  2n
3) cos x  1
x    2n

2
3
1
2

2


0
3


2
3
1

2

 2n
3

x    2n
3
1
2
2
x
 2n
3
2
x
 2n
3
cos x  
3 5
2 3
7 5
3 2
cos x  a, где  1  a  1
x   arccos a  2n, n  Z
1
cos x 
2
x
8
3
2
4
3
 
3 2
-1
3
Частные случаи:
1) cos x  0

x   arccos
x

3
1
 2n;
2
 2n
 1
x   arccos    n;
 2
1

x     arccos   2n;
2

x
2
 2n
3