Решения заданий 1-го тура по математике отраслевой

Решения заданий 1-го тура по математике
отраслевой предметной Олимпиады вузов Росрыболовства
11 класс.
Задача 1. Вычислить: arccossin 4 .
Решение:
Воспользуемся тождеством arccoscos x   x , где 0  x   .
 
 
 


arccossin 4  arccos cos  4    arccos cos 4     4  .
2 
2

 2
 
Задача 2. Найти сумму всех натуральных чисел, входящих в область
определения функции y  4 x 2  5x  4  x  4  x 2 .
Решение:
Область определения функции находим из условия
x  5 x  4  x  4  x 2 . Это условие равносильно совокупности систем
2
x 2  5x  4  0

1  17 
2
,0 не
неравенств: 1)  x  4  x  0
, решение которой x  
2
 2


2

 x  5 x  4  x  4  x
содержит натуральных чисел.
x 2  5x  4  0


2
1  17
2)  x  4  x  0
, решение которой x    ,
2
 2
2

 x  5 x  4   x  4  x




не содержит
натуральных чисел.
x 2  5x  4  0
 1  17 

2
3)  x  4  x  0
, решение которой x  2, 2  содержит


 2
2
 x  5 x  4  x  4  x
натуральное число 2.
x 2  5x  4  0
 1  17 

2

x

4

x

0
x

, 3 содержит

4)
, решение которой
 2

 2
2

 x  5 x  4   x  4  x
натуральное число 3.
Ответ: 2+ 3=5.
Задача 3. При каких значениях параметра a уравнение 9
не имеет решений?
x
 23
x
a 0
Решение:
Выполним замену переменной t  3  1 , так как x  0 . В этом случае
нам нужно решить задачу: при каких значениях параметра а уравнение
t 2  2t  a  0 не имеет решений t  1 . Такая ситуация возможна, если
1) D  0 или 4  4a  0 , откуда a  1;  .
2
2) Корни уравнения t  2t  a  0 принадлежат промежутку t  1 .В этом
x
2
случае функция f t   t  2t  a имеет общие точки с осью t только на
2
промежутку t  1 . Так как ветви параболы f t   t  2t  a направлены
вверх, то данная ситуация равносильна системе условий
или
4  4 a  0

1  2  a  0 .
 1  1

D  0

 f 1  0
t
 вершины  1
Откуда находим, a  3; 1 .
Объединяя полученные результаты, получаем ответ a   3; .
Задача 4.
Из четырёхугольной призмы вырезали треугольную
пирамиду, высота и площадь основания которой на 60% и на 10%
соответственно меньше высоты и площади основания призмы. Сколько
процентов составляет объём полученной пирамиды от объёма призмы?
Решение:
Объём призмы V=S·h, где S и h - площадь основания призмы и её высота.
Объём пирамиды
1
Vпирамиды   0,4S  0,9h  0,12V , что составляет 12% от объёма призмы.
3
Задача 5. Вычислить тангенс угла между касательными, проведёнными к
графикам функций y  3  5 x и y  7 
1
в точках с абсциссой x0  1 .
x2
Решение:
Так как угловой коэффициент касательной – это тангенс угла наклона
касательной к оси 0Х, то тангенс острого угла между касательными найдём
k 2  k1
по формуле tg  1  k  k .
2
1
1
y  3  5 x ; y   5 4 ;
5 x
y 7
k1  
1 y  2
;
; k2  2 .
x3
x2
1
5  11
tg 
2
3 .
1
5
2
1
5
.
Решения заданий 1-го тура по математике
отраслевой предметной Олимпиады вузов Росрыболовства
10 класс.
Задача 1. Средний возраст 6 игроков хоккейной команды 23 года. Во время
игры один из игроков был удалён с поля. Средний возраст оставшихся на
поле игроков стал равен 24 года. Сколько лет игроку, удалённому с поля?
Решение:
Сумма возрастов всех игроков до удаления игрока равна 23·6=138, после
удаления 24·5=120. Следовательно, игроку, удалённому с поля, 18 лет.
Задача 2. Найти значение выражения
a2  2  2 a2 1  a2  2  2 a2 1 .
Решение:
2
2
a 2  2  2 a 2  1  a 2  2  2 a 2  1   a 2  1  1   a 2  1  1 




a 2 1 1 
a 2 1 1  2
2

cos
x

cos
y


3
Задача 3. Пусть x; y  − решение системы 
. Найти значение
sin x  sin y   4

3
выражения cosx  y  .
Решение:
x y
x y 2

2 cos 2 cos 2  3
Преобразуем уравнения системы 
, откуда получим
2 sin x  y cos x  y   4
2
2
3

x y
tg
 2,  x  y  2arctg 2  2n, n  Z .
2
Подставим это значение суммы переменных в первое уравнение системы:
x y 2
x y
1
1
2 cos arctg 2  n   cos

 cos

 cosx  y   .
2
3
2
9
5
Задача 4. Найти сумму всех натуральных чисел, входящих в область
определения функции y  4 x 2  5x  4  x  4  x 2 .
Решение:
Область определения функции находим из условия
x 2  5 x  4  x  4  x 2 . Это условие равносильно совокупности систем
x 2  5x  4  0

1  17 
2
,0 не
неравенств: 1)  x  4  x  0
, решение которой x  
2
 2


2

 x  5 x  4  x  4  x
содержит натуральных чисел.
x 2  5x  4  0


2
1  17
2)  x  4  x  0
, решение которой x    ,
2
 2
2

 x  5 x  4   x  4  x




не содержит
натуральных чисел.
x 2  5x  4  0
 1  17 

2
x

4

x

0
x


2,
 содержит
3)
, решение которой
2 

 2
2

 x  5 x  4  x  4  x
натуральное число 2.
x 2  5x  4  0
 1  17 

2
4)  x  4  x  0
, решение которой x   2 , 3 содержит
 2
2


 x  5 x  4   x  4  x
натуральное число 3.
Ответ: 2+ 3=5.
Задача 5. В треугольник вписана окружность. Прямые, соединяющие
центр окружности с вершинами, делят треугольник на части с площадями
120, 104, 112. Найти радиус вписанной окружности.
Решение:
Обозначим через r, a, b, c, соответственно, радиус вписанной окружности и
336
длины сторон треугольника. Тогда полупериметр p  r , длины сторон
a
240
208
224
, b
, c
. Записываем формулу Герона и находим, что r=8.
r
r
r
Решения заданий 1-го тура по математике
отраслевой предметной Олимпиады вузов Росрыболовства
9 класс.
Задача 1. Семья состоит из мамы, папы и троих детей. Средний рост детей
120 см. Средний рост родителей 170 см. Определите средний рост всех
членов этой семьи.
Решение:
Средний рост всех членов этой семьи равен
120  3  170  2
 140
5
см.
Задача 2. При каких значениях параметра а окружность x 2  y 2  8 и
прямая x  y  a пересекаются в двух точках?
Решение:
Выразим из уравнения прямой у, и подставим в уравнение окружности.
2
x 2  a  x   8  0 . Это уравнение имеет два корня, если его дискриминант
больше нуля. То есть 16  a 2  0  a   4; 4 .
Задача 3. Решить уравнение:
x  1  x  5  x  9    x  157  3200 .
Решение:
Левая часть уравнения – есть сумма арифметической прогрессии с первым
членом a1  x  1 и разностью d  4 .
a n  x  157  n  40 . Используя формулу для нахождения суммы первых п
x  1  x  157
 40  3200 .
членов арифметической прогрессии, находим, что
2
Откуда х=1.
Задача 4. Одна мельница может смолоть 38 ц. пшеницы за 6 часов, вторая –
96 ц. за 15 часов, третья – 35 ц. за 7 часов. Как распределить 133 тонны
пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и
того же времени?
Решение:
Пусть x, y, z – количество пшеницы, которое должны смолоть в данной
ситуации первая, вторая, третья мельницы.
Производительности мельниц равны v1 
искомое время, тогда
x
 38 96 35 
   t  1330
 
 6 15 7 
38
96
35
, v2 
, v3 
6
15
7
 t  75 ч.
. Пусть t ч. –
Следовательно,
38
95
35
 75  475 ц; y 
 75  480 ц; z 
 75  375 ц.
6
15
7
Задача 5. В треугольнике АВС угол А равен 44  , биссектрисы углов В и С
пересекаются в точке F. Найти величину угла СFВ.
Решение:
Искомый угол равен
180 
180  44
 112
2
градусов.