Дифференциальные уравнения первого порядка

{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка - уравнения с
разделенными и разделяющимися переменными - однородные дифференциальные уравнения - линейные
дифференциальные уравнения - метод Бернулли - метод Лагранжа - уравнение Бернулли - уравнения, не
разрешенные относительно производной – пример }
Задача отыскания решения дифференциального уравнения
dy
 f ( x ,y )
dx
удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x0 ) = y0 , называется
задачей Коши.
Теорема
Если функция f - правая часть
дифференциального уравнения
dy/dx = f(x,y) непрерывна в некоторой
замкнутой области D плоскости xoy и имеет в
этой области ограниченную частную
производную дf(x,y)/дy, то каждой внутренней
точке области D соответствует, и притом
единственное, решение, удовлетворяющее
Огюстен Луи Коши
(Augustin Louis Cauchy)
заданным начальным условиям.
1789 – 1857
Геометрически это означает, что через каждую точку M0 (x0,y0) области D
проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого
уравнения.
Данная теорема называется теоремой существования и единственности
решения дифференциального уравнения
y
y  ( x )
M0 (x0,y0)
dy
 f ( x ,y )
dx
D
x
o
y  ( x )
y ( x0 )  y0
y ( x 0 )   ( x0 )
d ( x )
 f ( x ,  ( x ))
dx
@
Решить дифференциальное уравнение первого порядка, при
заданных начальных условиях
dy
 xy y ( 0 )  1
dx
y
Решение
dy
dy
 xy 
 xdx 
dx
y
2
dy
 y   xdx 
x
ln | y | 
 ln C  y 
2
y ( 0 )  1  Ce 0  1
x2
Ce 2
y 
M(0,1)
x2
e2
o
x
Пусть дано дифференциальное уравнение,
разрешенное относительно производной
dy/dx = f(x,y). Это уравнение для каждой точки
M(x,y) определяет значение производной dy/dx,
т.е. определяет угловой коэффициент касательной
к интегральной кривой, проходящей через эту
точку. Таким образом, рассматриваемое
дифференциальное уравнение дает совокупность
направлений или, как говорят, определяет поле
направлений (поле линейных элементов).
Задача интегрирования такого уравнения, с
геометрической точки зрения, заключается в
нахождении кривых, направление
касательных к которым совпадает с
направлением поля линейных элементов в
dy
соответствующих точках.
dx
M
 f ( x , y )  tg o  f ( xo , yo )
Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:
M ( x ) dx  N ( y ) dy  0
Решение: прямое интегрирование -
 M ( x ) dx   N ( y ) dy
C
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
M1 ( x ) N1 ( y ) dx  M2 ( x ) N2 ( y ) dy  0
Решение: приведение к виду уравнения с разделенными переменными
путем деления обеих его частей на произведение N1 (y) M2 (x)
M1 ( x )
N2 ( y )
dx

 M2 ( x )
 N1 ( y ) dy  C
@
Решить дифференциальное уравнение
dy
1  y2

dx
2 xy
Решение
dy
1  y2
2 ydy
dx




2
dx
2 xy
x
1 y
2 ydy
 1  y2 
dx
x 
d(1  y2 )
dx
2




ln
|
1

y
|  ln | x |  ln C 

2
x
1 y
1
2

Cx
x
(
1

y
) C

2
1 y
Уравнение M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 называется однородным
дифференциальным уравнением первого порядка, если функции M(x,y)
и N(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения:
M ( tx ,ty )  t n M ( x , y ), N ( tx ,ty )  t n N ( x , y )
Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x,y) = F(v) ,
где v = y/x, то оно называется однородным дифференциальным
уравнением первого порядка.
Решение: для приведения к уравнению с разделяющимися переменными
используется подстановка
y
dy
dv
dv
 y  xv
x
v  x
 v  F (v )
dx
dx
dx
x
dv
dx
dv
dx
dv


 F (v )  v  x
 F ( v )  v  ln | x |  C
F (v )  v
x
v 
@
Решить дифференциальное ( y 2  3 x 2 ) dx  2 xydy  0 , y ( 1 )  2
уравнение
Частное решение
Решение
y
v 
 dy  xdv  vdx 
x
 x 2 (v 2  3 )dx  2 x 2v( xdv  vdx )  0 
xy 2  x 3  3
( 2 2  1 2 )1  C
C 3
2vdv
3 dx
2vdv
dx

 0  2
 3
C
 ( 3v  3 )dx  2v( xdv )  0  2
x
x
v 1
v 1
2
ln( v 2  1 )  3 ln x  ln C
Общий интеграл
( y2  x 2 )x  C
Уравнение y   P ( x ) y  Q ( x ) , где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные
функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если функция Q(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным, в
противном случае - линейным неоднородным.
Метод Бернулли
Якоб Бернулли
(Jacob Bernoulli)
1654 - 1705
Применим подстановку y = u(x) v(x), где u(x) – новая неизвестная
функция, v(x) – произвольная функция, которую подчиним
некоторому условию
y   ( uv )   u v  uv  u v  u ( v   P ( x ) v )  Q ( x )
dv
 P ( x ) dx
v  P( x ) v  0
 P ( x ) dx v  e 
v
du   P ( x ) dx
e
 Q ( x )  u   Q ( x ) e  P ( x ) dx dx  c
dx
y  e   P ( x ) dx (  Q ( x ) e  P ( x ) dx dx  c )
Метод Лагранжа решения линейного уравнения
– метод вариации произвольной постоянной
y   P ( x ) y  Q( x )
Сначала решаем однородное уравнение
y   P ( x ) y  0  y  Ce   P ( x ) dx
Полученное решение подставляем в исходное
неоднородное дифференциальное уравнение, варьируя
(считая переменной) постоянную C .
 P ( x ) dx
d ( C ( x )e 
)
 P ( x ) C ( x ) e   P ( x ) dx  Q ( x )
dx
C(x) 

Жозеф Луи Лагранж
(Joseph-Louis Lagrange)
1736 - 1813
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx
C 'e 
 P ( x )C ( x )e 
 P ( x )C ( x )e 

P ( x ) dx
dC
 Q( x ) 
 e
Q( x )
dx
~
P ( x ) dx

Q ( x )e
dx  C
y  e   P ( x ) dx (  Q ( x )e  P ( x ) dx dx  C )
@
Решить дифференциальное уравнение
Метод Лагранжа
Решение
dy
2 xy
dy
2 xdx


0



2
2
dx 1  x
y
1 x
y  C ( x )( 1  x 2 )
y  ( x  C )( 1  x 2 )
dy
2 xy
2


1

x
dx 1  x 2
dy
y 
2 xdx
 1  x2
y  C(1  x2 )
~
dC
(1  x2 )  1  x2  C( x )  x  C
dx
y  C ( 1  x2 )  x  x3
Уравнением Бернулли называется уравнение вида:
y   P ( x ) y  Q( x ) y n
При n = 0 и n = 1 – уравнение становится линейным (неоднородным или однородным)
1 dy
1

P
(
x
)
 Q( x )
n
n 1
y dx
y
1
Уравнение Бернулли приводится к
z
линейному с использованием подстановки y n 1
Уравнение можно представить в виде:
Другой способ решения (Бернулли):
ищем решение в виде U(x)V(x),
на одну из функций накладываем
условие:
dv
 P ( x )v  0
dx


d y 1 n
dz
1  n dy


dx
dx
y n dx
dz
 ( 1  n ) P ( x ) z  ( 1  n )Q ( x )
dx
@
Решить дифференциальное уравнение
x
dv
x
v  0
dx
1
)
2
u
u
x 
 2 ln x
dx
x
x
d(u
du
 u2 
ln x
 x 2 dx
dy
 y  y 2 ln x
dx
Решение
Метод Бернулли
y  uv
x
dv
dx
 

v
x
dv
dx
1
 v   x  v  x
1 du
1
u
u2
x
 xu 2 
 2 ln x
x dx
x
x
x
1
 ln x  1  cx
 
u
x
1
y 
ln x  1  cx
Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно
F ( x ,y ,
y  имеют вид:
dy
) 0
dx
Если в некоторой точке M(xo,yo) уравнение F(xo,yo,p) = 0, где p = y’, имеет n
действительных корней, причем F(x,y,p) со своими первыми производными непрерывна
при x = xo, y = yo p = pi и дF / дx не обращается в ноль, то через точку M проходит n
интегральных кривых.
Если данное уравнение возможно разрешить относительно производной, то оно
распадается на n уравнений рассмотренного ранее вида, решив которые, получим
уравнения n семейств интегральных кривых.
Если уравнение можно представить в виде x   ( y , y  ) или y   ( x , y  ) , то
обозначая y’ = p, и рассматривая p как вспомогательную переменную, после
дифференцирования по y или x получим уравнение относительно dp/dy или dp/dx ,
разрешенные относительно производной. Искомое решение получим в
параметрической форме.
2
@
Решить дифференциальное уравнение
dy  dy 
x y
 
dx  dx 
Решение
dy
 p
dx
x  py  p 2
dy
py
2 p2


2
dp 1  p
1  p2
Линейное неоднородное уравнение
dx
1

dy
p
dp
1
 p  ( y  2p)
p
dy
C  arcsin p
 y  p 

1  p2

 x  py  p 2
