Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определение производной Производной функции y=f(x) в точке х0 y lim Называется x0 x , если этот предел существует. Производная обозначается f ( x0 ) или f ( x0 ). Таким образом, y( x0 ) =. lim y x 0 x Таблица производных С´=0, где С – константа. (sinx)´=cosx. (xn)´=n.xn-1 где n (cosx)´=-sinx – натуральное число (ax)´=ax∙lna, где 1 (tgx) a>0, a≠1. В 2 cos x частности, (ex)´=ex 1 (logax)´= 1 (ctgx) x ln a , где a>0, a≠1. В sin 2 x частности, 1 (lnx)´=. x (arcsinx)´= (arccosx)´=- 1 1 x2 1 1 x2 (arctgx)´= 1 1 x2 (arcctgx)´=- 1 1 x2 Правила Дифференцирования Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u u+v, u∙v, v . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´, u u v uv . v v2 Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х. Теорема. Если функция u=φ(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем yx yu ux . 1. с´=0 2. 8. (un)´=nun-1∙u´ 9. (ctgu) 10.(arccos u) 3a. (eu)´=eu∙u´ 4. (log a u ) 1 11. 12. u ln a 4a. (ln u ) u 1 u u 5. (sinu)´=cosu∙u´ 6. (cosu)´=-sinu∙u´ 7. (tgu) 1 u 2 cos u 1 (arcsin u ) 3. (au)´=au∙lna.u´ 1 u 2 sin u 1 u 1 2 u u 1 u 1 (arctgu ) u 2 1 u 1 (arcctgu) u 1 u 2 2 13. (chu)´=shu∙u´ 14. (shu)´=chu∙u´ 1 ( thu ) u 15. ch u 2 16. (cthu) 1 u 2 sh u Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β). yt y x xt Пример x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´. 2 xt 3 cos 2 t sin t yt 3 sin t cos t поэтому 2 3sin t cos t 1 yx tgt ( y x )t (tgt)t 2 3 cos t sin t cos 2 t 1 cos t 1 y x 2 4 3 cos t sin t 3 sin t cos t 2 Дифференцирование функций, заданных неявно. Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0. Продифференцируем обе части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и y 2 x y 4 5y x Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x. Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе 1 части равенства по х: ∙y´=lnsinx+x∙ctgx y отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx). Дифференциал функции dy=f´(x)∙dx Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях! Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0 Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b). Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие: f (b) f (a ) f (c) ba Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0 при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда f ( x) f ( x ) lim если существует lim , то существует ( x) ( x) причем : x a f ( x) f ( x) lim lim xa ( x) xa ( x ) x a Пример 2 x lim x x e 2x 2 lim x 0 lim x x e x e Применение производной к исследованию функций Экстремумы функции. Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0) Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум) Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый). Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции. Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат. План исследования функции и построение графика 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Область определения функции. Точки пересечения графика функции с осями координат. Четность, нечетность функции. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты. Невертикальные асимптоты. Интервалы монотонности и экстремумы. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. f ( x ) , периодичность Дополнительные точки, lim x (по мере необходимости). Построение графика. Пример Исследовать функцию x и построить ее график. y 2 x2 4 1. Область определения: (-∞;-2) (-2;2) (2;+∞), так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль. x x 4 2 0 2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0. (0;0) – точка пересечения графика с осями координат 3. 2 x y ( x) 2 y ( x) x 4 - функция четная. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены. 2 2 x x lim 2 lim 2 x2 x 4 , x2 x 4 , 4. 2 x x2 lim 2 lim 2 , x 2 x 4 , x 2 x 4 следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты. 5.Невертикальные асимптоты 2 1 x x x 0 lim lim 2 k lim 2 x x x 4 x ( x 4) x 4 1 2 x x2 1 b lim 2 lim 1 x x 4 x 4 1 2 x следовательно, прямая у=1 – асимптота. 6. 2 x ( x 4) 2 x x 8x y 2 2 2 2 ( x 4) ( x 4) 2 2 у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки. На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+∞) – убывает. Уmax(0)=0. 7. 8 ( x 2 4) 2 8x 2( x 2 4) 2 x 8( x 2 4) 32 x 2 y 2 4 2 3 ( x 4) ( x 4) 8x 2 32 32 x 2 24 x 2 32 2 2 3 ( x 4) ( x 4) 3 у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка. На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет