Двойной интеграл

{ двойной интеграл – двукратный интеграл - пример – замена переменной в двойном интеграле – якобиан
преобразования – вычисление двойного интеграла в полярной системе координат – примеры }
Двойной интеграл
n
f ( x
z
k 1
k
, yk )  k  f ( x1, y1 )  1  f ( x 2 , y 2 )  2  ...  f ( xn , y n )  n
Двойной интеграл
 f ( x , y )d  
S
z = f(x,y)
 f ( x , y )dxdy
0
a
x
 k
f(x,y) S
b

y
lim
n
f ( x
lim
max  k 0
k 1
n 

S
f ( x * k , y * k )  k
Интегральная сумма Римана
lim
*
n
f ( x
max  xk ,  yk 0
k 1
n 
n
m
 x  f ( x , y
max x i ,  y j 0
i 1
m , n 
i
j 1
, y *k )  k
k
j
*
k
, y * k ) x k  y k 
) y j 
 1 ( x )
 b 2 ( x )
  dx   f ( x , y )dy     f ( x , y )dxdy
 ( x )
 a 1 ( x )
a
 1

b
Двухкратный интеграл
Пример
@
Вычислить двойной интеграл:
 x
2
 4 y  dxdy S : 0,3  0, 2
S
y
2
Решение
S
3 x
2


2
2
2
2



 dx 
x
y

2
y




x

4
y
dxdy

x

4
y
dy
dx

0
S
0  0


0
3
3
3


2x
2
 8 x   42
2
x

8
dx


0
 3
0
3


2
3
Двойной интеграл
Объем цилиндроида (цилиндрического бруса)
 2 ( x )

S f ( x , y )d   S f ( x , y )dxdy  a   (x ) f ( x , y )dy dx
 1


(
y
)
d  2

d
S f ( x , y )dxdy  c   (y ) f ( x , y )dx dy
c
 1

a
b
b
z
z = f(x,y)
Теорема Фубини
d b
bd
c a
a c
 f ( x , y )d     f ( x , y )dxdy    f ( x , y )dxdy
S
Свойства двойного интеграла
 af ( x , y )  bg( x , y ) d   a  f ( x , y )d   b  g( x , y )d 
0
S
c
x
S : a , b   c ,d 
y
S
S
S
 f ( x , y )d    f ( x , y )d    f ( x , y )d 
S
S1
S1
d
S2
S2
s  s1  s2
Площадь плоской фигуры - SD   d   dxdy
D
D
Пример
@
Вычислить двойной интеграл:

3
e
dxdy
D

x
,
y
1

y

2
,
y

x

y



D
y
y=2
y=1
x = y3
x
D
D1
x
y
D2
Решение
y3
2
y

D e dxdy  1  y e dx dy  1 e y dy 


y
2
4
2 1
y2
2


e
y
e
e
2
 
 2e 1

  e y y  ye 1 dy  
2
2 
 2
1
1
x
y
2

3
x
y
x
y

x
8  2
 x xy 

y
e dxdy     e dy  dx     e dy  dx
D e dxdy  D e dxdy  




D2
1 3 x
2 3 x
1


x
y
x
y
x
y
2
Второй способ вычисления интеграла неэффективен

Пример
Вычислить

y
e y dxdy
X=8
@
X=2
8 ln x
2 0
S
x
Решение
8 ln x

2 0

e dxdy   

2 
y
8
ln x

0
 ln x 



y
e dy dx    e y
dx 

2 

0 

8
x
2  x  1 dx  2  x
8
2
8
 24
2
Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле определяется отражением T
области R в плоскости uv в область S плоскости xy.
y
(x,y)
y = 2x+3
y = 2x+1
S
Y = 5-x
Y = 2-x
u  y  2x

v  y  x
R
U=3
v
V=5
U=1
x
 x  u -v

3

u  2v
y 
3

V=2
u
R
(u,v)
v
u
S
y
x
Пример
Пусть S – область, ограниченная прямыми линиями
y = 2x + 3, y = 2x + 1, y = 5 - x and y = 2 - x.
Найти преобразование T с отражением области R в
плоскости uv на S, где R – прямоугольная область с
границами, параллельными осям u, v.
Якобиан преобразования
Якобианом преобразования называется определитель:
x
J  u
y
u
(x,y)
R
(u,v)
v
S
y
u
x
v
y
v
J 
( x , y )
( u ,v )
( x , y )
( u ,v )

( u ,v )
( x , y )
x
Замена переменной в двойном интеграле
 f ( x , y )dxdy   f ( x ( u ,v ), y ( u ,v ))
s
R
( x , y )
dudv
( u ,v )
 f ( x , y )dxdy   f ( x ( u ,v ), y ( u ,v ))
s
R
J dudv
1
Пример
 ( x
 2 xy )dxdy
S
Решение
 x  u -v

u  y  2x
3
 

u
 2v
v

y

x

y 
3

( x , y )
( u ,v )

( u ,v )
( x , y )
y = 2x+1
S
Y = 5-x
Y = 2-x
1
J  3
1
3
1
2
1
3 1
3
2
3
J 
2
1
1
1
1

1
3
v
x
V=5
R
V=2
1
( u v )
( u  v )( u  2v ) 1
( u 2  2uv  v 2  2u 2  2uv  4uv  4v 2 ) dudv 
2
) dudv 

27 R
9
9
3
S
R
5
3
3
3
3 5
3




1
v
1
1
1
1
2
3
2
2
2
9u  117 du  3u  117u  
u v   du 
( u 2  v 2 ) dudv     ( u  v ) dv du 
9 12
27 1
9 1 
3
27
9 

R
2
1
3
1 3
u  39u   1 26  78   52
9
9
9
1
2
 ( x  2xy ) dxdy  (
U=3
Вычислить
y = 2x+3
y
y  2 x  1

y  2 x  3
S:
 y 2 x
 y  5  x
U=1
@
2
u
Двойной интеграл в полярной системе координат
y
Преобразование T : отражение области R : r, на S: x,y.
R S
x  r cos 
T :
 y  r sin 
(x,y)
(r,)
r

J 
x
0
Якобиан преобразования: J  r
( x , y )
( r ,  )

cos 
sin 
 r sin 
r cos 
r
d
 f ( x , y ) dxdy   f ( r cos  , r sin  ) rdrd
S
R
R
 g2 (  )
 f ( r ,  ) rdrd  
R
rd rd 
 f ( r ,  ) rd rd 
 g1(  )
0
п.о.
Пример
@
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой r  3  2 sin 
и лежащей вне круга x 2  y 2  4
Решение
1
2  3  2 sin   sin   
r  3  2 sin 
2

7
   
2  r  3  2 sin 
R
6
6
S 
0
2 = 7/6
x y 2
2
2

7/6

 / 6
2

S 
 rd rd 
r 2 3  2 sin 
2

R
R
1 = /6
r 2
 d 
2
d 
7  / 6 3 2 sin 


 /6

rd rd 
2
7/6
7


6
sin


cos
2


d 

2

 / 6 
7 / 6
7
1
11 3 14 
  6 cos   sin 2 


 24.187
2
2
 / 6
2
3