Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. ГОУ ВПО Нижегородский Государственный Педагогический Университет. Факультет математики, информатики, физики. Кафедра алгебры и геометрии. «Двойной интеграл и его применение» Выполнила студентка очного отделения, 4 курса Герасимова Д.П. Проверила: Клюева Е.Ю. Нижний Новгород, 2007 Содержание. 1. Теоретический монолог. 2. Калейдоскоп примеров. 3. Лист для заметок. 4. Оценка + Я. 1.Теоретический монолог. Определение двойного интеграла: Пусть F:D→R, D- квадратичная, замкнутая, ограниченная область. Σ- интегральная сумма; { σ(f,τ{Ак})}-для одной и той же точки мн-во интегралов. Определение 1. Число Ј=limd→0σ(f,τ{Ак}), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0:│ Јσ(f,τ{Ак})│<ε D=max(d1,d2,….dn),dk=diamDk,k=1…n.-мелкость дробления Объем цилиндрического тела. Определение двойного интеграла. Рассмотрим задачу об определении объема цилиндрического тела. Цилиндрическим телом будем называть ограниченное плоскостью ХОУ, цилиндрической поверхностью с образующей // осей OZ и плоскостью z=f(x,y) В основании этого цилиндра область D. Если тело разбивается на конечное число частей, то V его будет равен сумме объемов его частей. Пусть поверхность z=f(x,y) ограничивает цилиндрическое тело сверху, при этом f(x,y)≥0 в области D (для всех точек). При этом f(x,y) непрерывна в D, которая представляет собой замкнутую область. Обозначим , через V- объем цилиндра тела. Разобьем цилиндрическое тело на n-частей произвольным образом, где на каждой из этих площадок строится цилиндр и рассматривается значение функции в этой точке. D: ∆S1, ∆S2 ∆Si ∆Sn P1 P2 Pi Pn f(x1,y1) f(x2,y2) f(xi,yi) f(xn,yn) f(P1) ∆S1 f(P2) ∆S2 f(Pi) ∆Si f(Pn) ∆Sn Vn=∑ f(Pi) ∆Si (1), Где Рi- точка с координатами (хi,yi) Эта сумма является интегральной суммой для функции f(x,y) в области D . Геометрически это есть объем ступенчатого тела состоящего из n-частичных объемов. Рассмотрим последовательность с законом (1). Vn1, Vn2, Vnk (2) Теорема существования двойного интеграла: Если функция f(x,y)непрерывна в замкнутой областиD, то предел последовательности (2)интегральных сумм существует, если тах{∆Si}→0 и n→∞. Этот предел один и тот же для любой последовательности вида (1), т.е. он не зависит ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек Pi внутри площадок разбиения. Определение: Предел к которому стремиться n-ая интегральная сумма (1) при n→∞ и при стремлении тах{∆Si}→0 называется двойным интегралом от функции Р(х,у) по области D. limn→∞Vn=limтах{∆Si}→0∑f (хi,yi )∆Si=∫∫f(x,y)ds=∫∫f(x,y)dxdy ds=dxdy Свойства двойных интегралов. 1. Двойной интеграл зависит от подынтегральной функции и области интегрирования и не зависит от обозначения переменных интегрирования. f ( x, y)dxdy f (u, v)dudv D D 2. Двойной интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме двойных интегралов этих слагаемых ( f g )dxdy fdxdy gdxdy D D D 3. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла cf ( x, y)dxdy c f ( x, y)dxdy D D 4. Если область интегрирования D представляет собой прямую сумму областей, D1 u D2 (D=D1+D2),то f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy D D1 D2 5. Если во всех точках области D значение функции f(x,y)≥g(x,y) (в точках области D), то f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy D D 6. Если функция f(x,y)=1 во всех точках области D,то dxdy S D D 7. Если функция f(x,y) ограничивается наибольшими и наименьшими значением во всех точках области D m f ( x, y ) M , то mS D f ( x, y)dxdy MS D D M,m-наиб.,наим. значение ф-ии в области D. 8. Теорема о среднем значении f ( x, y)dxdy f (c)S D D Т.е. в области D найдется некоторая точка С(α,β), что двойной интеграл будет равен произведению значения функции в этой точке на площадь области D. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах Пусть область В такова, что она ограничена следующими линиями: Причем функции непрерывны на [a,b] Предполагается, что область В правильная, т.е. всякая прямая параллельная оси ОУ имеет с границей области D не > 2-x точек пересечения. Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение: 2 ( x ) D f ( x, y )dy dx - двукратный интеграл от функции f(x,y) в области a 1 ( x ) b D. Теорема: двойной интеграл от непрерывной функции f(x,y) по правильной области D= двукратному интегралу от этой функции по области D. Двойной интеграл в полярных координатах f ( x, y)dxdy D x cos y sin D: Разобьем область D на частичные области ∆Si линиями ρ=const и φ=const, частичные области будут прямоугольные, криволинейными, ограниченные дугами окружностями и их радиусами. 1 i i 2 i 1 i2 i 1 i2 i 1 i2 i i i i 1 i2 i 2 2 2 2 2 i i i i 2 Обозначим i i i' S i i' i i 2 Выбираем на этом среднем радиусе точку i xi , yi S i xi i' cos i yi i' sin i D n f ( x, y)dxdy lim f ( i' cos i , i' sin i ) S i f ( cos , sin )dd i 1 D Т.о. формула перехода от прямоугольных координат к полярным, выглядит следующим образом. f ( x, y)dxdy f ( cos , sin )dd D D Как расставляются пределы интегрирования в полярных системах координат: 1. если полюс находится вне области D 1 2 D: 1 2 2 2 f ( cos , sin )dd d f cos , sin d D 1 1 2. если полюс находится внутри области D причем область D ограничена прямой 0 2 D: 0 2 0 0 d f ( , )d 2.Калейдоскоп примеров. 1. Переменить порядок интегрирования 1 3 y 0 dy 2 dy x 2 2 3 3 x 2 0 f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy dx f ( x, y )dy 0 0 0 y 1 2y x 3 y D: 2 0 x2 D1: ; x 0 y 2 2 x3 0 y 3 x D2: В любом интеграле в прямоугольной системе координат можно поменять порядок интегрирования. 2. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями z=0, z=1-y, y=x2 V= f ( x, y)dxdy (1 y)dxdy D D 1 x 1 2 x y 1 D: 1 1 dx (1 y)dy 1 x 2 1 y 12 dx( 1 ) x2 1 2 1 1 x 2 2 1 1 dx x 4 2 x 2 1 dx 2 2 1 1 1 1 2 1 x5 x3 8 2 x 1 2 5 3 15 1 5 3 3. Вычислить площадь области ограниченной кривыми. y=-x2+4; 2x-y+1=0; S D dxdy D 2x+x4-4+1=0 x1=-3, x2=1 x2+2x-3=0 3 x 1 D: 2 2x 1 y x 4 x2 4 x3 1 S D dx dy dx y dx x 4 2 x 1 x 2 x 3 dx x 2 3x 2 x 1 3 3 3 2 x 1 3 3 3 1 2 1 3 9 9 9 10 3 3 1 1 x2 4 1 2 1 2 4. Вычислить объем тела ограниченного следующими поверхностями z2=4x – параболический цилиндр параллельный ОУ x2+y2=2x – круговой цилиндр с образующей параллельной OZ 2 x -2x+1+y2=1 ( x-1)2+y2=1 V 2 4 xdxdy D x cos y sin 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 D: 2 0 2 cos 2 2 2 d 2 cos 2 cos 2 2 cos d 4 d cos 2 0 5 5 2 2 cos 0 2 5 5 8 2 32 2 cos 2 2 cos 2 d 5 2 5 1 sin d sin 2 2 2 32 2 sin 2 32 2 1 1 32 2 4 128 2 sin 1 1 5 3 5 3 3 15 15 3 2 3.Лист для заметок. 1. Лекции по высшей математики. Под ред. Герасимовой А.П., изд. Н.-Н.2006г. 4.Оценка + Я. Работа оказалась не очень сложной, мною было рассмотрено определение двойного интеграла, его свойства, вычисление объема цилиндрического тела, вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах, двойной интеграл в полярных координатах. Интересно было бы еще рассмотреть применение двойных интегралов к задачам механики. Работа была интересная и поучительная.