Лекция 3 Представление гармонических колебаний и монохроматических волн в комплексном виде можно выбрать и: Комплексная амплитуда у скалярной волны означает наличие начальной фазы и медленно-меняющейся фазы. Комплексное число + комплексно сопряжённое = удвоенной действительной части. Для всех линейных операций (суммирование, интегрирование, вычитание, дифференцирование, использование граничных условий и т. д., но не умножение и возведение в степень) можно не писать комплексно сопряженной части т.е. вместо действительного выражения использовать комплексную запись для поля E( r ,t) Достоинство комплексного представления колебательных и волновых процессов состоит в простоте обращения с показательной функцией по сравнению с тригонометрическими функциями. Если в конечном результате отделить действительную часть (удвоив амплитуду) от мнимой, то получится тот же результат, что и при использовании тригонометрических функций. Векторный характер электромагнитных волн ( векторные волны ) Поскольку напряженность электрического поля - величина векторная, то и ЭМВ - величина векторная. Если A - вещественная величина, то это уравнение плоской монохроматической линейно поляризованной волны. Если A -комплексная, то поляризация эллиптическая. Математическое отступление Вектор в прямоугольной системе координат a ax i a y j az k скалярное произведение векторов a ax i a y j az k b bx i b y j bz k ab a x bx a y b y a z bz векторное произведение a b i k j a a a b b b x y z x y z Определитель матрицы i k j a a a b b b x y z x y z x 33 ( a y b z a z b y )i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k [] [] [] [] [] [] = + - - + [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] - Ротор i rot (V ) x j y k z V V V x y z Дивергенция V x V y V z div (V ) x y z Градиент U x U y U z grad (U ) i j k x y z Поперечность ЭМВ. Ортогональность E и H Рассмотрим плоские волны в диэлектрике: i ( t k r ) E E0 e H H0 e i ( t k r ) Уравнение Максвелла для плоских волн: E E E E E x y y z x z rot E i j k z z x y y x i E j k a a a b b b x y z x y z ( a y b z a z b y )i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k Уравнение Максвелла для плоских волн: i rot x E x Ex j y Ey k z Ez E z E y y z X E z ( ik y ) E y ( ik z ) i( E y k z E z k y ) i [ E k ] x E z E0 z e i [ t ( k x x k y y k z z )] . E E E E E x y y z x z rot E i j k z z x y y x E Ex Ey Ez div E iE k x y z т.к. Ex iE x k x x и т.д. Таким образом rot E i [ E k ] и div E i E k а E i E t Уравнения Максвелла имеют вид: i [ H k ] i E c i H k 0 i [ E k ] i H c k i E k 0 v c n n Уравнения Максвелла имеют вид: i [ H n ] i E c c Hn 0 [ H n ] E Уравнения Максвелла имеют вид: i [ E n ] i H c c [E n] H En 0 Отсюда следует, что E и, Hn т.е. перпендикулярны направлению распространения волны E и, Hn Таким образом, ЭМВ - волны поперечные. Итак, E H взаимно перпендикулярные векторы. n ,E ,H образуют правовинтовую систему. n ,E ,H образуют правовинтовую систему. , т.е. отношение E H численных значений векторов E и H от времени не зависит, т.е. эти векторы обладают одинаковыми фазами. В бегущей ЭМВ векторы E и H изменяются синхронно. Энергия, переносимая ЭМВ Найдем количество энергии, которое протекает в 1 сек через площадку в 1 см, которая перпендикулярна направлению распространения волны n . Для этого построим на площадке параллелепипед (цилиндр), ось которого параллельна n . Тогда количество энергии, которое протекает через основание параллелепипеда (цилиндра) в 1 сек, равно энергии содержащейся в части параллелепипеда (цилиндра) длиной Следовательно, поток энергии S uv , где u плотность энергии (энергия в единице объёма). E2 E u 4 4 c v H EH 4 c c 2 S uv EH E 4 4 c S uv n [E H] 4 ( 1) Вектор Умова-Пойтинга S совпадает с n только в изотропной среде c c 2 2 21 S E0 cos ( t kz ) E0 [ 1 cos 2( t kz )] 4 4 2 Вектор Умова-Пойтинга S изменяется от значения S min 0 до S max c 2 E0 4 Таким образом, поток энергии колеблется с удвоенной частотой по сравнению с E и H около среднего значения c 2 S E0 8 принимая положительные значения (включая S 0 ). c 2 S E0 8 Поток энергии пропорционален квадрату амплитуды поля ЭМВ. Это общее и очень важное соотношение, на котором фактически основывается возможность регистрации ЭМВ различными приёмниками. Практически все приёмники света в той или иной степени инерционны. Поэтому они регистрируют среднее значение квадрата амплитуды поля 2 E0 (квадратичный детектор). Световое давление Поскольку свет электромагнитная поперечная волна, то падая на поверхность проводника (зеркально отражающего или поглощающего тела), он должен производить следующие действия: электрический вектор, лежащий в плоскости освещенной поверхности, вызывает ток в направлении этого вектора j E магнитное поле световой волны действует на возникший ток по закону Ампера (сила Лоренца) так, что направление действующей силы совпадает с направлением распространения света: 1 Fл [ j H ]Fл [ EH ], Fл c c S Таким образом, взаимодействие между светом и отражающим или поглощающим его телом приводит к возникновению давления на тело. Сила давления зависит от интенсивности света. Для случая, когда световые лучи образуют параллельный пучок, давление p по вычислению Максвелла равняется плотности световой энергии u (тело поглощает всю энергию, абсолютно чёрное тело) pu Если часть энергии отражается, то давление увеличивается в (1 R) раз, так как при отражении света, вектор E снова вызывает ток, а вектор H действует на ток и появляется сила, направленная в ту же сторону (так как при отражении вектора развернулись) p u( 1 R ) где R коэффициент отражения тела, для идеального зеркала R=1 p=2u Примеры • 1. Для силы, с которой солнечные лучи в яркий день давят на чёрной поверхности, Максвелл вычислил величину 0,4 мГ. • 2. Опыты П. Н. Лебедева (18991900 гг.). Он с точностью порядка 20% измерил величину, рассчитанную Максвеллом. Он использовал очень чувствительные крутильные весы в сосуде с откаченным воздухом. Свет воспринимался тонкими и лёгкими крылышками. Примеры • 3. Оценим давление света от лазерного импульса длительностью u и мощностью Р=1МВт Примеры • 4. Левитация это управление движением малой частицы с помощью лазерного пучка вопреки силе тяжести. Расчет сделан для эритроцита. полностью поглощается частицей. В принципе можно организовать не только удержание, но и движение частиц Лазерный пинцет.