10. Скалярное произведение векторов

11
12
Угол между векторами
1
10 А
2
В
a
9
b
a
b
a b= a
3
О
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
8
a
4
7
5
Угол между векторами
равен a
6
a
и
b
Угол между векторами
b
a
Градусная мера угла a не
зависит от выбора точки О,
от которой откладывают
a
О2
векторы
aиb
b
a
a
a
b
О1
Обоснуем это с помощью
рисунка.
Найти углы между векторами.
f
a
d 30
b
c
a
a b=
300
a c = 1200
d
0
f
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О.
Найдите углы между векторами.
0
АВ, АС = 45
С
В
0
АВ, DА = 90
OА, OB = 900
О
OА, OС = 180
А
0
D
0
АC, BD = 90
0
АD, DB = 135
0
АO, OC = 0
№ 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О,
диагональ ВD равна стороне ромба.
Найдите углы между векторами.
С
 ВDC  р / ст
0
АВ, АD = 60
0
АВ, DА = 120
BА, AD = 1200
В
О
D
OC, OD = 90
0
АB, DC = 00
А
АB, CD = 1800
Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a  b = a  b cos(a b )
0
a b = 900
b
a  b = a  b cos 900
=0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a  b = 0 , то векторы a
Обратно: если
перпендикулярны.
и
b
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
ab =0 
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a  b cos a > 0
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a  b > 0  a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a  b cos a < 0
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a  b < 0  a b > 900
Если
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a  b cos 00 = a  b
Если
a
b
a b = 1800
-1
a  b cos1800 = – a  b
a a = 00
a
aa =
1
a  a cos 00 = a  a
Скалярное произведение
aa
скалярным квадратом вектора
=
a
2
называется
a
и обозначается
a2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2
=
a
2
Определите знак
скалярного произведения.
c b < 0
b
n
aa > 0
350
c
ab > 0
ac = 0
a
a n < 0
c n = 0
b n < 0
Скалярное произведение в физике
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
F
j
M
N
работа A постоянной силы F при
перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F  MN cos j
A = F  MN
 АВC  р / ст., МN  средняя линия
В
Найти скалярное произведение векторов
2
M
2

 MB cos MN, MB =
= 2  2 cos 60 = 4  1 = 2
2
MN MB = MN
N
0
А
4
С

 CA cos MN, CA =
= 2  4 cos 180 = 8  (-1) = –8
MN CA = MN
0

 CB cos NM, CB =
= 2  4 cos 60 = 8  1 = 4
2
NM CB = NM
0
 АВC  р / ст., D  средина АС
В
Найти скалярное произведение векторов

CB  BC = – BC  BC = – BC
CB CB = CB2 = CB 2 = 42 =16
4
2
А
С
D

AC CB = AC


– BC 2 = – 42 = –16
CB
cos AC, CB = 4  4 cos 1200 =

1
= 16 (– cos 600) = 16 (– ) = – 8
2

AC BD = 0
=
т.к. AC ^ BD
Заполните пропуски, чтобы получилось верное
высказывание
…0
АС, СВ = 90
1500
АВ, СА = …
А
300
АВ, СВ = 60
…0

6
т.к. CВ ^ СА
0
CВ CА = …


АВ ВА = …
– BА BА = – BА2 =
В
С
– BА 2 = – 62 = –36
Маленький тест

ВС ВА =
1
2
9 3
9
ВС

ВА
ПОДУМАЙ
!
cos ВС, ВА = 6  3 cos 600 = 18  12
В
600
ВЕРНО!
6
300
3
18
Проверка
ПОДУМАЙ
!
С
А
Скалярное произведение векторов
АС и ВА : отрицательно, т.к. угол между
векторами тупой
В
ВЕРНО!
1
2
3
6
отрицательно;
ПОДУМАЙ
!
равно нулю;
положительно.
Проверка (2)
300
С
ПОДУМАЙ
!
А
Скалярное произведение координатных векторов
i
и
j
: равно нулю, т.к. угол между
векторами прямой
y
1
1
ПОДУМАЙ
!
j
2
–1
3
0
ПОДУМАЙ
!
ВЕРНО!
Проверка
О
x
i
1
Скалярный квадрат вектора
ВЕРНО!
1
i
равен:
Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
1
2
–1
3
0
Проверка
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
i2= i
2
= 12 = 1
a  b = 12,
12
a = 33,
то векторы a и b :
b = 4,
4
Если
ВЕРНО!
1
сонаправлены;
2
перпендикулярны;
3
a  b = a  b cos a b
12 = 3  4 cos a b
ПОДУМАЙ
!
противоположно направлены.
cos a b = 1
0
a
b
=
0
ПОДУМАЙ
!
Проверка (4)
если
a
b
x  y = –20
–20, x = 44,
то векторы x и y :
y = 5,
5
Если
x  y = x  y cos x y
1
2
3
ПОДУМАЙ
!
–20 = 4  5 cos x y
сонаправлены;
ПОДУМАЙ
!
перпендикулярны;
ВЕРНО!
противоположно направлены.
Проверка (4)
cos x y = –1
x y = 1800
если
x
y
m и n, если
m = 5, n = 6.
Найдите угол между векторами
m n = –15,
1
2
3
500
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
600
1200
ВЕРНО!
Скалярное произведение ненулевых
векторов отрицательно тогда и только
тогда , когда угол между векторами тупой
Проверка
a  b = 12
12,
Если
a = 33,
b = 8,
8
то угол между векторами
a
1
равен:
a  b = a  b cos a b
ПОДУМАЙ
!
12 = 3  8 cos a b
b
и
300
2
600
3
1200
ВЕРНО!
cos a b =
ПОДУМАЙ
!
Проверка (3)
1
2
a b = 600