На тему: Треугольники Выполнили: Ученицы 9б класса МСОШ Якубова Анастасия, Симушкина Вероника Руководитель: Радченко Л.А ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДЫ СВОЙСТВА ТЕОРЕМЫ ЗАДАЧИ НЕВЕРОЯТНО, НО ФАКТ!!! ТРЕУГОЛЬНИК – ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТРЁХ ТОЧЕК, СОЕДИНЁННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ ОТРЕЗКАМИ ТОЧКИ – ВЕРШИНЫ. ОТРЕЗКИ – СТОРОНЫ. ٠ ٠ ٠ ДОМОЙ ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ОСТРОУГОЛЬНЫЕ ТУПОУГОЛЬНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ РАВНОБЕДРЕННЫЕ ДОМОЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАВНОСТОРОННИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПОДОБНЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ ДОМОЙ об отношении площадей подобных треугольников о средней линии треугольника Пифагора ДОМОЙ отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S:S่=K ДОКАЖЕМ? в меню СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В M А 1 2 N С Теорема: средняя линия ∆ ll одной из его сторон и = ½ этой стороны. Докажем? в меню MN – средняя линия. BMN и BAC ~ по 2 признаку подобия, поэтому 1 = углу 2 и MN = ½ АС. В M А 1 2 N С ДОМОЙ в меню ∆ АВС подобен А่В ่С ่. Так как угол А равен углу А ่ => S:S1=AB*AC:A ่B ่* A ่C ่. По формулам имеем: АВ:A ่B ่=k , S:S่=K AC:A ่่่่С ่=k А ่ А ДОМОЙ в меню С В С В Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. b a c a c b Достроим треугольник до квадрата со стороной a+ b так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна b (a +b)² c b a С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников. Площадь каждого из равна Площадь квадрата a b c ½ab. S=4*½ ab+c²= 2ab+c² Таким образом, (a+b)²=2ab+c², откуда c²=a²+b². ДОМОЙ в меню В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. с²= а²+b² c b a Докажем? в меню Равнобедренный ∆ - треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны – боковые стороны. Третья сторона – основание основание ДОМОЙ в меню Углы при основании равны. Биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. ДОМОЙ ДОМОЙ В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. A 12 3 4 B D C Докажем? в меню В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. A 1 2 4 3 B D C Докажем? в меню Рассмотрим равнобедренный ∆ ABC с основанием BC и докажем, что углы B и C равны. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC. A ∆ ABD = ∆ ACD (AB = AC по условию, AD общая сторона, углы 1 и 2 равны, так как AD – биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что углы B и C равны. Теорема доказана. 1 2 4 3 B D C ДОМОЙ в меню A 12 3 4 B D ABC – равнобедренный ∆ с основанием BC. AD - его биссектриса. Из = ∆ ABD и ACD => точка D – середина стороны BC, AD – медиана треугольника ABC. Так как углы 3 и 4 смежные и = , то они прямые. => отрезок AD является также высотой треугольника ABC. Теорема доказана. C Мы установили, что биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому : 1. высота = биссектриса = медиана. в меню ДОМОЙ Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол M тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника. Решим ещё? ДОМОЙ Начертите прямую а и отметьте точки A и B, лежащие по разные стороны от неё. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. Решим ещё? ДОМОЙ Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника. Решим ещё? ДОМОЙ ДОМОЙ ДОМОЙ ДОМОЙ Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы. Решим ещё? ДОМОЙ Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а . С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. Решим ещё? ДОМОЙ Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым б) прямым в) тупым Решим ещё? ОТВЕТ? ДОМОЙ Решим ещё? ДОМОЙ В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. Решим ещё? ДОМОЙ Докажите, что в равнобедренных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Решим ещё? ДОМОЙ Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС в 2 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС. Решим ещё? ДОМОЙ Отрезки АС и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ∆ АВС = ∆ СDА. Решим ещё? ДОМОЙ Теорема. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 , угол А равен углу А1, угол В равен углу В1. Докажем, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Пусть k = АВ/A1B1 2.Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол A – прямой, угол B = 30 градусов и, значит, что угол C = 60 градусам. Докажем, что AC = ½ BC Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD. B Получим треугольник BCD в котором B = D = 60, поэтому DC = BC. Но AC = ½ DC. Следовательно, AC = ½ BC, что и требовалось доказать. C A 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет AC равен половине гипотенузы BC. Докажем, что угол AC = 30 градусам. Положим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу, поэтому каждый из них равен 60 градусам. В частности, угол DBC = 60 градусам. Но угол DBC = 2 углам ABC. Следовательно, угол ABC = 30, что и требовалось доказать. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, раны, то такие треугольники подобны. В В1 АВ/A1B1=AC/A1C1 А С А1 С1 В Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В1 А С А1 АВ/A1B1=BC/B1C1=CA/C1A1 С1 Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S : S` = R² S` S Докажем? – это треугольники, у которых 2 угла равны соответственно, а стороны пропорциональны сходственным сторонам. ДОМОЙ в меню ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ: Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Признаки равенства треугольников: 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Практика ! ДОМОЙ ДОМОЙ ДОМОЙ ДОМОЙ "магическая таблица" И-ЦЗЫН отражает самые сокровенные тайны Природы, ОНА ЯВЛЯЕТСЯ ТОЙ САМОЙ МАТРИЦЕЙ, с которой Природа штампует Все и Вся. ДОМОЙ