Основные теоремы дифференциального исчисления

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 10
Основные теоремы
дифференциального исчисления.
Формула Тейлора.
13 ноября 2014 года
Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Огюстен Луи Коши
21.08.1789 – 23.05.1857
Великий французский математик, член
Парижской академии наук, Лондонского
королевского общества, Петербургской
академии наук и других академий.
Разработал фундамент математического
анализа, внёс огромный вклад в анализ,
алгебру, математическую физику и многие
другие области математики. Его имя внесено в
список величайших ученых Франции,
помещённый на первом этаже Эйфелевой
башни.
Теорема Коши
Пусть функции f(x)fи g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и
дифференцируемы в интервале (a;b) . Пусть также при всех
x∊(a;b) производная g’(x) ≠ 0.
Тогда существует такая точка ξ∊(a;b), для которой
f (b)  f (a) f ' (ξ )

g (b)  g (a) g ' (ξ )
Прежде всего отметим, что g(b) ≠ g(a) так как в противном случае по
теореме Ролля должна найтись точка, в которой g’(x)=0, а это
противоречит условию теоремы. Рассмотрим далее вспомогательную
f (b)  f (a)
функцию
 ( x)  f ( x)  f (a) 
( g ( x)  g (a)).
g (b)  g (a)
Эта
функция
удовлетворяет
условиям
теоремы
Ролля,
следовательно, существует такая точка ξ∊(a;b), в которой производная
f (b)  f (a)
этой функции равна нулю
f ' (ξ ) 
g (b)  g (a)
g ' (ξ)  0.
Так как по условию теоремы производная g’(x) ≠ 0, то из последнего
равенства следует формула Коши.
Теорема Коши
Следствие. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на
отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), причем
при всех x∊(a;b) производная g’(x) ≠ 0. Тогда для любых точек
α,β∊(a,b) найдется точка ξ, лежащая между α и β f(т.е. либо
α≤ξ≤β, либо β≤ξ≤α), для которой
f (  )  f ( ) 
f ' (ξ )
( g (  )  g ( )).
g ' (ξ )
(1) α < β По теореме Коши для отрезка [a;b].
(2) α > β По теореме Коши для отрезка [b;a].
(3) α = β Обе части равенства равны нулю.
Теорема Коши
Контрпример: f(x)=x2, g(x)=x3,a = –1, b=1.
f (b)  f (a)
1 1
0

  0,
g (b)  g (a) 1  (1) 1
в то время как
f ' (ξ) 2ξ
2
 2 
 0.
g ' (ξ ) 3ξ
3ξ
Условия теоремы Коши не выполнены: производная функции g(x)
в интервале (–1;1) обращается в нуль (в точке x=0).
Гийом Франсуа Лопиталь
1661 – 02.02.1704
Французский математик, автор первого учебника по
математическому анализу.
Сын богатых родителей, маркиз Лопиталь поступил
сперва в военную службу, но по слабости зрения
вскоре оставил ее и посвятил себя наукам.
Главная заслуга Лопиталя заключается в первом
систематическом изложении математического анализа,
данное им в сочинении «Анализ бесконечно малых» в
1696 г. В этой книге собраны и приведены в стройное
целое отдельные вопросы, разбросанные до того в
разных повременных изданиях, а также приводится
Правило Лопиталя.
Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в
том числе о кривой наименьшего времени ската
(брахистохрона), о кривой, по которой должен
двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий
в равновесии подъемный мост. Решение этих задач
помогло ему стать в один ряд с Ньютоном, Лейбницем
и Якобом Бернулли.
Правило Лопиталя
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в
некотором интервале (a;b). Причем всюду в этом интервале
производная g’(x) ≠ 0. Пусть также при x→a+0 обе функции имеют
пределы, равные нулю. Кроме того
f ' ( x)
 A.
lim
x a  0 g ' ( x)
Тогда также и
f ( x)
 A.
lim
x a  0 g ( x)
Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно
доопределить по непрерывности на промежуток [a;b)[, полагая
f(a)=0f и g(a)=0.
Правило Лопиталя
Проверим определение предела для отношения функций и числа
A. Возьмем положительное число ε. Из определения предела следует,
что существует такой интервал (a;bε), в котором
f ' ( x)
 A  ε.
g ' ( x)
Покажем, что этот же интервал отвечает числу ε в определении
предела и для отношения функций. В самом деле, пусть x∊(a;bε). По
теореме Коши для отрезка [a;x]
f ( x ) f ( x )  f ( a ) f ' (ξ )


.
g ( x ) g ( x )  g ( a ) g ' (ξ )
Так как x∊(a;bε), то также и точка ξ∊(a;bε). В силу выбора интервала
(a;bε)
f ( x)
f ' (ξ )
A 
 A  ε.
g ( x)
g ' (ξ )
Поэтому A является пределом отношения функций приxx→a+0.
Правило Лопиталя
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в
некотором интервале (a;b). Причем всюду в этом интервале
производная g’(x) ≠ 0. Пусть также при x→b–0 обе функции имеют
пределы, равные нулю. Кроме того
f ' ( x)
 A.
lim
x b 0 g ' ( x)
Тогда также и
f ( x)
 A.
lim
x b  0 g ( x)
Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно
доопределить по непрерывности на промежуток (a;b][, полагая
f(b)=0f и g(b)=0.
Правило Лопиталя
Проверим определение предела для отношения функций и числа
A. Возьмем положительное число ε. Из определения предела следует,
что существует такой интервал (aε;b), в котором
f ' ( x)
 A  ε.
g ' ( x)
Покажем, что этот же интервал отвечает числу ε в определении
предела и для отношения функций. В самом деле, пусть x∊ (aε;b). По
теореме Коши для отрезка [x;b]
f ( x) f ( x)  f (b) f ' (ξ)


.
g ( x) g ( x)  g (b) g ' (ξ)
Так как x∊(aε;b), то также и точка ξ∊(aε;b). В силу выбора интервала
(aε;b)
f ( x)
f ' (ξ )
A 
 A  ε.
g ( x)
g ' (ξ )
Поэтому A является пределом отношения функций приxx→b–0.
Правило Лопиталя
Следствие
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в
некотором интервале (x0–δ;x0+δ) кроме, быть может, точки x0. Причем
всюду на этом же множестве производная g’(x) ≠ 0. Пусть также при
x→x0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того
f ' ( x)
 A.
lim
x  x0 g ' ( x )
Тогда также и
f ( x)
 A.
lim
x  x0 g ( x )
Правило Лопиталя
Пример 1. Вычислить
tg x  x
lim
x  0 x  sin x
Решение.
tg x  x
1 / cos2 x  1
lim
 lim

x 0 x  sin x
x 0 1  cos x
2
1  cos x
 lim
 lim(1  cos x)  2
2
x 0 (1  cos x )cos x
x 0
Правило Лопиталя
Пример 2. Вычислить
ch x  cos x
lim
x 0
x2
Решение.
ch x  cos x
sh x  sin x
ch x  cos x
lim
 lim
 lim
1
2
x 0
x 0
x 0
x
2x
2
Правило Лопиталя
Пример 3. Вычислить
lim x ln x
x 0
Решение.
ln x
1/ x
lim x ln x  lim
 lim
  lim x  0
x 0
x 0 1 / x
x 0  1 / x 2
x 0
Правило Лопиталя
Пример 4. Вычислить
Решение.
x
lim x
x   e
x
1
lim
 lim x  0
x   e x
x   e
Правило Лопиталя
Пример 5. Вычислить
Решение.
ln x
lim
x   x
ln x
1/ x
1
lim
 lim
 lim  0
x   x
x   1
x   x
Брук Тейлор
18.08.1685 –
– 29.12.1731
Брук Тейлор родился в деревне Эдмонтон в графстве
Мидлсекс, в восьми милях от Лондона. В 1701г. он
поступил в Кембриджский университет, в колледж СентДжон.
Статьи Тейлора были признаны настолько ценными,
что в 1712г. его избрали членом Королевского общества.
В 1718г. он уходит с поста секретаря Королевского
общества, чтобы освободить время для философской
работы. Он возвращается к увлечениям молодости занимается музыкой и живописью.
В 1730 г. от родов умерла жена Тейлора. Правда
осталась девочка, но Тейлор был неутешен в своем горе.
Его здоровье резко ухудшалось и больше не
восстанавливалось. 29 декабря 1731г. он скончался и был
погребен в Лондоне.
Формула Тейлора
•
•
•
•
•
•
•
Многочлен Тейлора
Форма Пеано
Форма Шлемильха-Роша
Форма Коши
Форма Лагранжа
Табличные разложения
Примеры
Многочлен Тейлора
Пусть функция имеет в данной точке несколько последовательных
производных до порядка n включительно.
Рассмотрим задачу о нахождении многочлена степени n, который
имеет те же значения производных
P(a)  f (a), P' (a)  f ' (a), ... , P ( n ) (a)  f ( n ) (a).
Этот многочлен удобно искать в виде следующего разложения
P( x)  c 0  c1 ( x  a)  c 2 ( x  a) 2  ...  c k ( x  a) k  ...  c n ( x  a) n .
Последовательно дифференцируя, находим
P' ( x)  c1  2c 2 ( x  a)  ...  kc k ( x  a) k 1  ...  nc n ( x  a) n 1.
P" ( x)  2c 2  ...  k (k  1)c k ( x  a) k  2  ...  n(n  1)c n ( x  a) n  2 .
................................
P (k) ( x)  k (k  1)( k  2)...3  2c k  ...  n(n  1)( n  2)...( n  k  1)c n ( x  a) n  k .
................................
P (n) ( x)  n(n  1)( n  2)...3  2c n .
Многочлен Тейлора
Полагая во всех полученных равенствах x=a, получаем
P(a)  c 0 , P' (a)  c1 , ... , P (k) (a)  k!c k , ... , P (n) (a)  n!c n ,
т. е.
P (k) (a)
ck 
(0  k  n).
k!
Полученный многочлен называется многочленом Тейлора
f ( k ) (a)
f ( n ) (a)
k
Tn ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a)  ... 
( x  a)  ... 
( x  a) n .
k!
n!
Остаточный член
Введем остаточный член
rn ( x)  f ( x)  Tn ( x).
Через него заданная функция выражается по формуле
f ( x)  Tn ( x)  rn ( x)
или
f ( k ) (a)
f ( n ) (a)
k
f ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a)  ... 
( x  a)  ... 
( x  a) n  rn ( x).
k!
n!
Частный случай формулы Тейлора при a=0 (он чаще всего и
используется в приложениях) называют формулой Маклорена. В
этом случае она выглядит следующим образом
f ( k ) (0) k
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0)  f ' (0) x  ... 
x  ... 
x  rn ( x).
k!
n!
Форма Пеано
Пусть функция имеет все производные до порядка n–1 включительно
в интервале (a–δ;a+δ), где δ >00и в точке x=a существует производная
порядка n. Тогда
rn ( x)  o(( x  a ) n ).
f ( k ) (a)  Tn(k) (a)  rn( k ) (a)  0 (0  k  n).
Лемма. Пусть функция имеет все производные до порядка n–1
включительно в интервале (a–δ;a+δ), где δ>0 и в точке x=a
существует производная порядка n, причем
Тогда
1) n  1.
f (a)  f ' (a)  ...  f ( n ) (a)  0.
f ( x)  o(( x  a) n ).
f ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a)  o( x  a).
f (a)  f ' (a)  0  f ( x)  o( x  a).
Форма Пеано
F (a)  F ' (a)  ...  F ( n ) (a)  F ( n1) (a)  0
2) Пусть
f ( x)  F ' ( x).
по предположению индукции
f ( x)   ( x)( x  a) n
( ( x)  0 при x  a).
По теореме Лагранжа
F ( x)  F (a)  F ' (ξ )( x  a),
(точка ξ находится между точками x и a). Следовательно
ξa
n 1
F ( x)   (ξ )(ξ  a) n ( x  a )   (ξ )
 ( x  a) .
 xa
n
ξa
n 1

  1,  (ξ )  0 ( x  a)  F ( x)  o(( x  a) ).
 xa
n
Форма Шлемильха-Роша
Пусть заданная функция имеет все производные до порядка n+1
включительно в интервале (a–δ;a+δ), где δ>0 и пусть p > 0. Тогда
существует точка ξ , лежащая между точками x и a, что
p
 x  a  f ( n 1) (ξ)( x  ξ ) n 1

rn ( x)  
.
n! p
 xξ 
Рассмотрим остаточный член как функцию переменной a. Для
удобства эту переменную будем обозначать буквой t.
f ( n ) (t )
F (t )  f ( x)  [ f (t )  f ' (t )( x  t )  ... 
( x  t )n ]
n!
Нетрудно видеть, что
F ( x)  F (a)   F (a)  rn ( x).
Вычислим производную этой функции
Форма Шлемильха-Роша
f ( k 1) (t )
F '(t )  [ f (t )  f '(t )( x  t )  ... 
( x  t ) k 1 
(k  1)!
f ( k ) (t )
f ( n ) (t )
k

( x  t )  ... 
( x  t ) n ]'  [ f '(t )  ( f ''(t )  f '(t ))  ...
k!
n!
 f ( k ) (t )
 f ( k 1) (t )

f ( k 1) (t )
f ( k ) (t )
k 1
k 2 
k
...  
( x  t) 
( x  t)   
( x  t) 
( x  t ) k 1   ...
( k  2)!
( k  1)!
 ( k  1)!
  k!

 f ( n 1) (t )
f ( n ) (t )
f ( n 1) (t )
n
n 1 
...  
( x  t) 
( x  t ) ]  
( x  t )n .
( n  1)!
n!
 n!

Применим к функциям F(t) и φ(t)=(x–t)p теорему Коши
 f ( n 1) (ξ )( x  ξ ) n
p
 rn ( x) 
(

(
x

a
)
),
p 1
 p ( x  ξ ) n!
F ' (ξ )
F ( x)  F (a) 
( ( x)   (a )),
 ' (ξ )
( x  a)
f
rn ( x) 

( x  ξ ) p 1
p
n 1
p
 x  a  f ( n 1) (ξ )( x  ξ ) n 1
(ξ )( x  ξ )

, rn ( x)  
.
n! p
n! p
 xξ 
n
Форма Коши
Пусть заданная функция имеет все производные до порядка n+1
включительно в интервале (a–δ;a+δ), где δ>0. Тогда существует точка
ξ, лежащая между точками x и a, что
f ( n 1) (ξ )
rn ( x) 
( x  ξ ) n ( x  a).
n!
В формуле Шлемильха-Роша
p
 x  a  f ( n 1) (ξ)( x  ξ ) n 1

rn ( x)  
.
n! p
 xξ 
выберем p=1. Получим формулу Коши.
Форма Лагранжа
Пусть заданная функция имеет все производные до порядка n+1
включительно в интервале (a–δ;a+δ), где δ>0. Тогда существует
точка ξ, лежащая между точками x и a, что
f ( n1) (ξ)
rn ( x) 
( x  a) n1.
(n  1)!
В формуле Шлемильха-Роша
p
 x  a  f ( n 1) (ξ)( x  ξ ) n 1

rn ( x)  
.
n! p
 xξ 
Выберем p=n+1. Получим формулу Лагранжа.
Табличные разложения
(1) Разложение функции ex в нуле.
f ( k ) ( x)  e x ,
f ( k ) (0)  1.
Локальная формула (форма Пеано):
x 2 x3
xn
e  1  x    . . .   o( x n ).
2 6
n!
x
Форма Коши:
x 2 x3
x n eξ
e  1  x    . . .   ( x  ξ ) n x.
2 6
n! n!
x
Форма Лагранжа:
x 2 x3
xn
eξ
e  1 x    ...  
x n1.
2 6
n! (n  1)!
x
Табличные разложения
(2) Разложение функции sin x в нуле.
k 

f ( k ) ( x )  sin  x 
,
2 

f ( k ) (0)  sin
k
2
.
Локальная формула (форма Пеано):
x3
(1) n1 x 2 n1
sin x  x   . . . 
 o( x 2 n ).
6
(2n  1)!
Форма Коши:
x3
(1) n 1 x 2 n 1 sin( ξ 
sin x  x   . . . 

6
(2n  1)!
 ( 2 n 1)
2
)( x  ξ ) 2 n x
(2n)!
Форма Лагранжа:
 ( 2 n 1)
2 n 1
x3
(1) n 1 x 2 n 1 sin( ξ  2 ) x
sin x  x   . . . 

.
6
(2n  1)!
(2n  1)!
.
Табличные разложения
(3) Разложение функции cos x в нуле.
k 

f ( k ) ( x )  cos  x 
,
2 

f ( k ) (0)  cos
k
2
.
Локальная формула (форма Пеано):
x2
(1) n x 2 n
cos x  1   . . . 
 o( x 2 n1 ).
2
(2n)!
Форма Коши:
 ( 2 n 2)
2 n 1
x2
(1) n x 2 n cos(ξ  2 )( x  ξ) x
cos x  1   . . . 

.
2
(2n)!
(2n  1)!
Форма Лагранжа:
 ( 2 n 2)
2n2
x2
(1) n x 2 n cos(ξ  2 ) x
cos x  1   . . . 

.
2
(2n)!
(2n  2)!
Табличные разложения
(4) Разложение функции ln(1+x) в нуле.
k 1
(

1
)
(k  1)!
f ( k ) ( x) 
,
k
(1  x)
f ( k ) (0)  (1) k 1 (k  1)!
Локальная формула (форма Пеано):
x2
(1) n 1 x n
ln( 1  x)  x   . . . 
 o( x n ).
2
n
Форма Коши:
x2
(1) n1 x n (1) n
ln( 1  x)  x   . . . 

( x  ξ) n x.
n
2
n
(1  ξ)
Форма Лагранжа:
x2
(1) n1 x n
(1) n
ln( 1  x)  x   . . . 

x n1.
n 1
2
n
(n  1)(1  ξ)
Табличные разложения
(5) Разложение функции (1+x)α в нуле.
f ( k ) ( x)   (  1)...(  k  1)(1  x) k ,
f ( k ) (0)   (  1)...(  k  1).
Локальная формула (форма Пеано):
 
(1  x)  1  x  . . .    x n  o( x n ).
n 
    (  1)...(  k  1)
  
n!
n 
Форма Коши:
 
 
(1  ξ ) n 1 ( x  ξ ) n x.
(1  x)  1  x  . . .    x n  (n  1)
n 
 n  1
Форма Лагранжа:
 
 
(1  ξ ) n 1 x n 1.
(1  x)  1  x  . . .    x n  
n 
 n  1
Примеры
Пример 1. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  sin sin x
до члена с x3 включительно.
f ' ( x)  (cos sin x) cos x
f ' ' ( x)  (sin sin x) cos 2 x  (cos sin x) sin x
f ' ' ' ( x)  (cos sin x) cos 3 x 
 3(sin sin x)(cos x)(sin x)  (cos sin x) cos x
f (0)  0, f ' (0)  1, f ' ' (0)  0, f ' ' ' (0)  2
Ответ:
1 3
sin sin x  x  x  o( x 3 )
3
Примеры
Пример 2. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  1  2 x  x 3
до члена с x3 включительно.
1
1
1
1  u  (1  u )1/ 2  1  u  u 2  u 3  o(u 3 )
(u  2 x  x 3 )
2
8
16
1
1
1
1  2 x  x 3  1  (2 x  x 3 )  (2 x  x 3 ) 2  (2 x  x 3 )3  o( x 3 ) 
2
8
16
1
1
1
1
 1  (  x  x 3 )  x 2  x 3  o( x 3 )  1  x  x 2  o( x 3 )
2
2
2
2
Ответ:
1  2 x  x3  1  x 
1 2
x  o( x 3 )
2
Примеры
Пример 3. Написать разложение по степеням x функции
f ( x)  tg x
до члена с x5 включительно.
tg x  ax  bx 3  cx 5  o( x 5 )
1 3
1 5
sin x  x  x 
x  o( x 5 )
6
120
1 2 1 4
cos x  1  x 
x  o( x 5 )
2
24
(tg x)  cos x  sin x
Примеры
1 4
1
1 5
 1

(ax  bx 3  cx 5  o( x 5 ))  1  x 2 
x  o( x 5 )   x  x 3 
x  o( x 5 )
24
6
120
 2

ax  bx 3  cx 5 
1 3 1 5
 ax  bx 
2
2
1 5
1 3
1 5
5
 ax  o( x )  x  x 
x  o( x 5 )
24
6
120
1
1
1
1
1
1
2
a  1, b  a   , c  b  a 
 a  1, b  , c 
2
6
2
24
120
3
15
Ответ:
1 3 1 5
tg x  x  x  x  o( x 5 )
3
15
Примеры
Пример 4. Оценить абсолютную погрешность формулы
2
n
x
x
e x  1  x   ... 
2
n!
при | x | 1.
x 2 x3
xn
eξ
e  1 x    ...  
x n1.
2 6
n! (n  1)!
x
e
3
n 1

| x| 
(n  1)!
(n  1)!
Ответ:
3

(n  1)!
1
(n5  
 0,0041 )
240
Примеры
Пример 5. Вычислить e с точностью до 10-9.
2
n
x
x
3
x
e  1  x   ... 
(|x|  1),  
(пример 4).
2
n!
(n  1)!
3
3
1


 109
(n  1)! 12! 159 667 200
3
3
1
n  12,


 0,5 109
(n  1)! 13! 2 075 673 600
n  11,
1
1
e  1  1   ... 
 2,718281828
2
12!
Ответ:
e  2,718281828
Примеры
Пример 6. Вычислить с точностью до 0,0001 значение
3
30
f ( x)  3 27  x  (27  x)1/ 3
1
2
10
80
f ' ( x)  (27  x)  2 / 3 , f ' ' ( x)   (27  x) 5 / 3 , f ' ' ' ( x) 
(27  x) 8 / 3 , f (IV) ( x)   (27  x) 11/ 3
3
9
27
81
f (0)  3, f ' (0) 
3
3
1
2
10
80
, f ' ' (0)   7 , f ' ' ' (0)  11 , f ( IV ) (ξ)  
27
3
3
81(27  ξ)11/ 3
x x 2 5x3
10 x 4
27  x  3   7  12 
27 3
3
243(27  ξ)11/ 3
3 9 5  33
1
1
5
30  3 
 7  12  3  

 3,1072
27 3
3
9 243 19683
10  34
10
10



 0,00002
11
12
243  3
3
531441
Ответ:
3
30  3,1072
Примеры
Пример 7. Вычислить предел lim
x 0
cos x  e
x4
 x2 / 2
x2 x4
cos x  1  
 o( x 4 )
2 24
e
cos x  e
x 0
x4
 x2 / 2
lim
Ответ: –1/12
 x2 / 2
x2 x4
 1    o( x 4 )
2 8
x2 x4
x2 x4
4
(1    o( x ))  (1    o( x 4 ))
2 24
2 8
 lim

4
x 0
x
1 o( x 4 )
1
lim (  4 )  
x 0
12
x
12
Примеры
11

lim

ctg
x
Пример 8. Вычислить предел x0 x  x



11
 1  1 cos x  sin x  x cos x

ctg
x

  

xx
x 2 sin x
 x  x sin x 
2
x3
x
sin x  x   o( x 3 )
cos x  1   o( x 2 )
6
2
x3
x2
x3
3
2
sin x  x cos x  ( x   o( x ))  x(1   o( x ))   o( x 3 )
6
2
3
x3
1 o( x 3 )
3
 o( x )
 3
11
 sin x  x cos x
3
3
x

ctg
x





o( x 3 )
xx
x 2 sin x
x 2 ( x  o( x ))

1 3
x
11
 1
lim   ctg x  
x 0 x
Ответ: 1/3
x
 3
Примеры
Пример 9. Вычислить предел lim x 3 / 2 ( x  1  x  1  2 x )
x  
1 1/ 2
)  x1/ 2 (1  1  1 2  o( 12 ))
x
2 x 8x
x
1 1/ 2
1
1
1
1/ 2
1/ 2
x  1  x (1  )  x (1 
 2  o( 2 ))
x
2 x 8x
x
x  1  x1/ 2 (1 
1
1
1
 2  o( 2 )) 
x  
2 x 8x
x
1
1
1
1
1
 (1 
 2  o( 2 ))  2]  lim [  o(1)]  
x  
2 x 8x
x
4
4
lim x 3 / 2 ( x  1  x  1  2 x )  lim x 3 / 2 x1/ 2[(1 
x  
Ответ: –1/4
Примеры
Пример 10. Вычислить предел
y  sin(sin x)
sin(sin x)  x3 1  x 2
lim
x 0
x5
y '  cos(sin x) cos x
y ' '   sin(sin x) cos 2 x  cos(sin x) sin x
y ' ' '   cos(sin x) cos 3 x  3 sin(sin x) cos x sin x  cos(sin x) cos x
y ( IV )  sin(sin x) cos 4 x  6 cos(sin x) cos 2 x sin x 
 3 sin(sin x) sin 2 x  4 sin(sin x) cos 2 x  cos(sin x) sin x
y ( V )  cos(sin x) cos 5 x  10 sin(sin x) cos 3 x sin x 
 15 cos(sin x) cos x sin 2 x  10 cos(sin x) cos 3 x 
 15 sin(sin x) sin x cos x  cos(sin x) cos x
y(0)  0, y' (0)  1, y' ' (0)  0, y' ' ' (0)  2, y ( IV) (0)  0, y ( V ) (0)  12
Примеры
x3 x5
sin(sin x)  x    o( x 5 )
3 10
3
3
1  u  (1  u )
1/ 3
x2 x4
1  x  1    o( x 4 )
3 9
2
u u2
 1    o(u 2 )
3 9
(u   x 2 )
x3 x5
x 1  x  x    o( x 5 )
3 9
3
2
x3 x5
x3 x5
19 5
5
sin(sin x)  x 1  x  ( x    o( x ))  ( x    o( x 5 )) 
x  o( x 5 )
3 10
3 9
90
3
2
 19 o( x 5 )  19
sin(sin x )  x 3 1  x 2
lim
 lim   5  
5
x 0
x 0 90
x
x  90

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Формула Тейлора.
Лекция 10
завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Исследование функций.
Лекция состоится в четверг 27 ноября
В 10:15 по Московскому времени.