3. Описанный четырехугольник Презентация Размер: 157.8 кб

Описанный четырехугольник
Свойство описанного четырехугольника
Если четырехугольник ABCD описан около окружности,
то суммы его противоположных сторон равны:
AB + CD = BС + DA.
A
a
Доказательство:
a
Bb
b
AB + CD = (a + b) + (c + d) =
= (b + c) + (d + a) = BС + DA
c
C
Свойство
Признак
d
c
d
Доказательство в общем случае
D
Описанный четырехугольник
Признак описанного четырехугольника
Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны,
то в него можно вписать окружность.
Доказательство:
a
1. Если четырехугольник – параллелограмм,
то он является ромбом (a + a = b + b).
b
b
А для ромба наше утверждение очевидно.
A
a
2. Если данный выпуклый четырехугольник – не параллелограмм,
то его можно достроить до треугольника.
В
Обозначим четырехугольник через ABCD так,
что внутри построенного треугольника проходит
сторона BC.
P
Свойство
Признак
C
Доказательство в общем случае
D
Описанный четырехугольник
Достаточно доказать, что окружность, вписанная в треугольник APD,
касается стороны BC.
Допустим, что это не так. Окружность касается хотя бы одной из сторон AB и CD.
(Иначе AB + CD < AK + MD = AL + LD = AD < BC + AD.)
Если это, например, сторона AВ, проведем касательную ВE к окружности.
Четырехугольник ABED – описанный, поэтому AB + ED = BE + DA.
По условию AB + CD = BС + DA.
Вычитаем: ED – CD = BE – BC. A
В
Либо ED – CD = EС, и тогда EC + BC = BE,
В
либо CD – ED = EС, и тогда EC + BE = BC.
K
L
В любом случае получается противоречие с
неравенством треугольника. Следовательно, C = E,
что и требовалось доказать.
P
Свойство
Признак
E C
CC
MC
Доказательство в общем случае
D