Вневписанная окружность треугольника

реклама
Вневписанная
окружность
треугольника
Геометрия является самым могущественным
средством для изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать.
Г. Галилей
Конструкции треугольника
и окружности
В
C
A
Объект исследования :
вневписанная окружность треугольника
Предмет исследования :
систематизация свойств вневписанной
окружности для решения задач
Систематизация свойств
вневписанной окружности для
решения задач
Вневписанная окружность
Оа – центр вневписанной окружности;
ОаА1; ОаВ1; ОаС1 - радиусы вневписанной окружности
В1
В
Оа
А1
А
Свойство 1
С
С1
Свойство 2
АВ1 = АС1 = p
р – полупериметр
треугольника
Теорема 1
Радиус вневписанной окружности,
касающейся данной стороны треугольника,
равен отношению площади треугольника к
разности полупериметра и этой стороны.
Теорема 2
Радиус вневписанной окружности равен
произведению полупериметра треугольника на
тангенс половины этого угла.
ra = p·tg 
2
Вневписанная окружность
Биссектрисы
внешних или
внутренних углов
треугольника
образуют центры
окружностей
касающихся
прямых АВ, ВС,
СА.
Теорема 3
Сумма
радиусов
вневписанных
окружностей
равна
сумме
радиуса
вписанной окружности и удвоенного
диаметра описанной окружности
ra + rb + rc = r + 4R
Теорема 4
Сумма величин, обратных радиусам
вневписанных окружностей, равна величине,
обратной радиусу вписанной окружности
1
1
1
1



ra
rb
rc
r
Теорема 5
Сумма всех попарных произведений
радиусов вневписанных окружностей
равно квадрату полупериметра
треугольника
rarb + rbrc + rcra = p2
Теорема 6
Произведение всех трех радиусов
вневписанных окружностей равно
произведению радиуса вписанной
окружности на квадрат
полупериметра треугольника
rarbrc = rp2
Исследование расстояний между точками
касания вписанной и вневписанной
окружностей со сторонами треугольника
Oc
α
A
rc
α
NK – расстояние между
точками касания
окружностей к гипотенузе
АN = rc· tg α; АК =
.
N
r
O
C
NK =
K
В
Исследование расстояний между точками
касания вписанной и вневписанной
окружностей со сторонами треугольника
NK – расстояние между точками
касания окружностей к катету
A
α
КМ =
O
r
С
K
М
N
rа
Оа
В
NМ = rа
; NМ =
r
;
Исследование расстояний между точками
касания вписанной и вневписанной
окружностей со сторонами треугольника
Оа
B
α
N
ra
α
О
A
K
r
R r
b
Оb
NK – расстояние между
точками касания
окружностей к боковой
стороне равнобедренного
треугольника
C
R – общая точка касания
Вневписанная окружность

Интересно, что
отрезки,
соединяющие центр
вписанной в
треугольник
окружности с
центрами
вневписанных
окружностей,
делятся пополам
окружностью,
описанной вокруг
этого треугольника
Спасибо
за внимание
Скачать