t 0

13 лекция
Переходные процессы,
законы коммутации,
Классический метод расчета
Переходные
процессы
и
законы
коммутации
Переходные процессы
возникают при включении
или отключении источников,
элементов цепи, при коротких
замыканиях и обрывах проводов,
а также при различных импульсных
воздействиях на цепь, например,
при грозовых разрядах
Переходный процесс или
переходный режим цепи – это
изменение во времени
напряжений и токов от одних
установившихся значений
к другим установившимся
значениям
Установившиеся значения
напряжений и токов
характеризуют установившийся
режим цепи и могут оставаться
неизменными бесконечно долго,
причем эти значения
задаются источниками
электрической энергии
При анализе и расчете
переходных процессов будем
считать, что
•переходные процессы возникают
при включении или отключении
элементов цепи посредством
ключей, причем эта коммутация
происходит мгновенно быстро
в момент времени t=0
• при времени t= 
переходный
процесс теоретически заканчивается
и наступает новый установившийся
режим
•время t<0 характеризует режим
цепи до коммутации
• момент времени t=0- соответствует
последнему моменту перед
коммутацией
• момент времени t=0+ соответствует
первому моменту времени после
коммутации
• скачок – это мгновенное изменение
напряжения или тока при t=0+
Анализ и расчет переходных
процессов в электроэнергетике
осуществляется с целью
• выработки рекомендаций для
уменьшения максимальных
значений напряжений и токов
переходного процесса, которые могут
значительно превосходить свои
установившиеся значения и тем
самым могут повредить элементы
цепи (пробой изоляции, механическое
разрушение, тепловое повреждение)
• определение влияния параметров
цепи на длительность переходного
процесса, что необходимо для
различных технологических циклов
Коммутация
Ключ замыкается:
Ключ замыкается:
Ключ замыкается:
Ключ размыкается:
Ключ размыкается:
Ключ размыкается:
f(t)
скачок
f (0 )
f (0 )
t
0
Установившийся
режим до
коммутации
tп
Переходный режим
Установившийся
режим после
коммутации
П е р в ы й закон
коммутации
L
iL
+
uL
i L (0 )  i L (0 )
Ток в
индуктивности не
может измениться
скачком
Это объясняется тем, что энергия
магнитного поля индуктивного
элемента WL=LiL2/2 , Дж
не может измениться мгновенно,
для чего потребовалась бы
бесконечно большая мощность
PL=dWL/dt= 
, Вт
и бесконечно большое напряжение
uL=d(LiL)/dt=  , В
а это не реально
Но
d iL
uL  L
dt
- напряжение может
измениться скачком!
iL , uL
u L (0 )
iL
i L (0 )  i L (0 )
u L (0 )
0
uL
t
В т о р о й закон
коммутации
С
iС
+
uС
uC ( 0 )  uC ( 0 )
Напряжение на
емкости не может
измениться скачком
Это объясняется тем, что энергия
электрического поля емкостного
элемента WC=CuC2/2 , Дж
не может измениться мгновенно,
для чего потребовалась бы
бесконечно большая мощность
PC=dWC/dt= 
, Вт
и бесконечно большой ток
iC=d(CuC)/dt=  , А
а это не реально
Но
d uC
iС  C
dt
- ток может
измениться скачком!
i С , uС
uC ( 0 )  uC ( 0 )
uС
i C ( 0 )
t
0
iС
i С (0 )
Переходный
процесс обусловлен
наличием в цепи L
иC
Начальные условия
Значение искомых токов и напряжений
в момент коммутации называются
начальными условиями.
Знание начальных значений
рассчитываемых параметров цепи
необходимо для решения
дифференциальных уравнений,
описывающих состояние цепи
Независимые начальные условия
• Это значения токов в
индуктивностях и
напряжений на
конденсаторах в момент
коммутации.
• Согласно законам
коммутации,
независимые начальные
условия определяются
расчетом
докоммутационных схем.
i L (0 )  i L (0 )
uC ( 0 )  uC ( 0 )
Зависимые начальные условия
• Это значения токов и напряжений (а
также их производных)в начальный
момент в элементах, которые не
подчиняются законам коммутации (токи
резисторов и емкостей, напряжения
резисторов и индуктивностей).
• Зависимые начальные условия
определяются в схеме после
коммутации по законам Кирхгофа.
Классический
метод расчета
переходных
процессов
Используется для линейных
цепей, которые
характеризуются линейными
дифференциальными
уравнениями, составляемыми
при помощи законов Кирхгофа
для цепи после коммутации
Пример составления
дифференциального уравнения
L
R
U
C
i(t)
di 1
i (t ) R  L   i  t dt  U  t 
dt C
dU  t 
di
d i 1
R L 2  i
dt
dt
C
d t 
2
В общем виде можно записать:
n
n 1
d f (t )
d f (t )
аn 

а


...

n

1
n
n 1
dt
dt
df (t )
 а1 
 а 0  f ( t )  F( t )
dt
- уравнение 1
- это линейное неоднородное
дифференциальное уравнение
n- порядка для тока или
напряжения f(t) переходного
процесса при t>0
(схема после коммутации)
n – число накопителей энергии (L,C) в
схеме.
Где:
an , an1 , ... , a1 , a0 
постоянные коэффициенты,
определяемые параметрами
(R, L, C) и структурой цепи
после коммутации
Где:
F(t ) 
функция, определяемая
(независимыми)
источниками в цепи после
коммутации
Решение уравнения 1
ищем в виде:
f (t )  fпр (t )  fсв (t )
2
Где:
fпр (t ) 
принужденная составляющая
– это частное решение
уравнения 1, зависящее от F(t)
Где:
fсв (t ) 
свободная составляющая
– это общее решение
однородного уравнения 1
при F(t) = 0
При постоянных и
гармонических источниках
fпр (t ) 
это установившееся
значение после коммутации
t =
∞
fсв (t ) 
зависит от корней
характеристического
уравнения и начальных
условий
Характеристическое
уравнение 3:
n
аnp  аn1p
n 1
 ...  а1p  а0  0
а) если корни
p1 , p 2 , ... , pn 
уравнения 3 вещественные,
отрицательные и разные
То тогда решение fсв(t)
ищем в виде:
fсв (t )  A1e
p1t
 A 2e
p 2t
 ...  Ane
pn t
б) если корни уравнения 3
вещественные,
отрицательные и
одинаковые, т.е.
p1  p 2  ...  pn  p
То тогда решение ищем в
виде:
fсв (t )  ( A1  A 2t  ...  Ant
n 1
)e
pt
в) если корни уравнения 3
комплексные и попарно
сопряженные, т.е.
p1, 2    2  jсв2
. . . . . . . . . . .
pn 1,n   n  jсвn
То тогда решение ищем в
виде:
fсв (t )  A 2e
 A ne
  2t
 n t
сos(св2 t  2 )  ... 
сos(свn t  n )
Где:
A1 , A 2 , ... , An ,  2 , ... , n 
постоянные интегрирования,
определяемые начальными
условиями
Где:
 2 , ... , n 
коэффициенты затухания
свободных колебаний  1 с

Где:
св 2 , ... , свn 
угловые частоты
свободных колебаний
 рад 
с 

Пример
iС
R
+
uJ
J
iR
С
R
R
+
uC
Дано:
R  100 Ом
J2A
С  100 мкФ
Определить:
u J (t )  ?
1. Определяем ННУ
при t  0  :
uC (0 )  ?
R
в
+
+
u J (0 )
uC (0 )
J
R
а
uC (0 )  0
причем u J (0 )  RJ  200 B
2. Определяем ЗНУ
при t  0  :
u J (0 )  ?
R
в
+
+
u J (0 )
EC
R
J
R
а
EC  u C ( 0  )  u C ( 0  )  0
т.е. заменяем ЕС закороткой и
рассчитываем схему относительно UJ.
Тогда:
2
R /2R)
UJ(0+)= J(R +
= J(R+ R/2)
=
UJ(0+) = 2•150 = 300 B
3. Определяем
принужденные
составляющие при t   :
uпр  ?
R
в
+
+
u пр
uСпр
R
J
R
а
uпр  J  2R  400 В
причем uСпр  J  R  200 В
4. Определяем корень
характеристического уравнения:
р?
R
R
Z(p ) 
1
pC
R
1
Z( p )  R 
R0
pC
1
p
 50 1
c
2RC
5. Определяем постоянную
интегрирования из уравнения
при t=0:
u J (t )  uпр  Ве
В?
pt
B  u J (0 )  uпр  100 В
6. Окончательный результат:
u J (t )  uпр  Ве
pt
u J (t )  400  100е
 50t
(В)
t
0
t

е 
1
u J (t )
300

2
0.368 0.135
363
386
3
0.05
395
1
   0,02 c
p
4
5
0.018 0.007
398
399
В u J (t )
500
u J (t )
300 u (0 )
J 
u J (0 )
100
0

2
3
t
4
5