013 переходные процессы

Переходные процессы,
законы коммутации,
Классический метод расчета
1
Переходные процессы возникают при включении или отключении
источников, элементов цепи, при коротких замыканиях и обрывах
проводов, а также при различных импульсных воздействиях на цепь,
например, при грозовых разрядах
Анализ и расчет переходных процессов в электроэнергетике
осуществляется с целью выработки рекомендаций для уменьшения
максимальных значений напряжений и токов переходного процесса,
которые могут значительно превосходить свои установившиеся
значения и тем самым могут повредить элементы цепи (пробой
изоляции, механическое разрушение, тепловое повреждение
определение влияния параметров цепи на длительность
переходного процесса, что необходимо для различных
технологических циклов
1
Определения
• Переходный процесс
• Установившиеся значения напряжений
и токов
2
Переходный процесс или переходный режим цепи – это изменение
во времени напряжений и токов от одних установившихся значений
к другим установившимся значениям
Установившиеся значения напряжений и токов характеризуют
установившийся режим цепи и могут оставаться неизменными
бесконечно долго, причем эти значения задаются источниками
электрической энергии
2
Моменты времени
• t=0
• t= ∞
• t<0
• t=0• t=0+
3
Включение или отключение элементов цепи посредством ключей
1. Коммутация происходит мгновенно быстро в момент времени
2. при времени t=бесконесность переходный процесс теоретически
заканчивается и наступает новый установившийся режим
3. время t<0 характеризует режим цепи до коммутации
4. момент времени t=0- соответствует последнему моменту перед
коммутацией
5. момент времени t=0+ соответствует первому моменту времени
после коммутации
скачок – это мгновенное изменение напряжения или тока при t=0+
3
f(t)
f (0− )
t
0
Установившийся
режим до
коммутации
4
4
f(t)
скачок
f (0+ )
f (0− )
t
0
Установившийся
режим до
коммутации
5
5
f(t)
скачок
f (0+ )
f (0− )
t
0
Установившийся
режим до
коммутации
tп
Переходный режим
6
6
f(t)
скачок
f (0+ )
f (0− )
t
0
Установившийся
режим до
коммутации
tп
Переходный режим
Установившийся
режим после
коммутации
7
7
Коммутация
8
8
Ключ разомкнут:
9
9
Ключ замыкается:
10
10
Ключ замкнут:
11
11
Ключ замкнут:
12
12
Ключ размыкается:
13
13
Ключ разокнут:
14
14
П е р в ы й закон
коммутации
15
15
L
iL
+
uL
i L (0− ) = i L (0+ )
16
Ток в индуктивности не может измениться скачком
16
WL=LiL2/2 , Дж
PL=dWL/dt=
∞ , Вт
uL=d(LiL)/dt= ∞ , В
17
Энергия магнитного поля индуктивного элемента не может
измениться мгновенно, для чего потребовалась бы бесконечно
большая мощность и бесконечно большое напряжение, а это не
реально
17
Но
d iL
uL = L
dt
- напряжение может
измениться скачком!
18
18
i L , uL
uL (0+ )
iL
i L ( 0− ) = i L ( 0+ )
u L ( 0− )
uL
t
0
19
19
В т о р о й закон
коммутации
20
20
С
iС
+
uС
uC (0− ) = uC (0+ )
21
Напряжение на емкости не может измениться скачком
21
WC=CuC2/2 , Дж
PC=dWC/dt= ∞ , Вт
iC=d(CuC)/dt= ∞ , А
22
Это объясняется тем, что энергия электрического поля емкостного
элемента не может измениться мгновенно,
для чего потребовалась бы бесконечно большая мощность и
бесконечно большой тока это не реально
22
Но
d uC
iС = C
dt
- ток может
измениться скачком!
23
23
i С , uС
uC ( 0− ) = uC (0 + )
uС
i C (0− )
t
0
iС
i С (0+ )
24
24
Переходный
процесс обусловлен
наличием в цепи
LиC
25
25
Начальные условия
Значение искомых токов и напряжений
в момент коммутации называются
начальными условиями.
26
Знание начальных значений рассчитываемых параметров цепи
необходимо для решения дифференциальных уравнений,
описывающих состояние цепи
26
Независимые начальные
условия
• Это значения токов в
индуктивностях и
напряжений на
конденсаторах в момент
коммутации.
i L (0− ) = i L ( 0+ )
uC (0− ) = uC (0+ )
27
Согласно законам коммутации, независимые начальные условия
определяются расчетом докоммутационных схем.
27
Зависимые начальные условия
• Это значения токов и напряжений
(а также их производных) в
начальный момент в элементах,
которые не подчиняются законам
коммутации
• Зависимые начальные условия
определяются в схеме после
коммутации по законам Кирхгофа.
28
Примеры: (токи резисторов и емкостей, напряжения резисторов и
индуктивностей).
28
Классический
метод расчета
переходных
процессов
29
Используется для линейных цепей, которые характеризуются
линейными дифференциальными уравнениями, составляемыми при
помощи законов Кирхгофа для цепи после коммутации
29
Пример составления
дифференциального уравнения
L
R
U
C
i(t)
i (t ) R + L
di 1
+
i ( t )dt = U ( t )
dt C ∫
dU ( t )
di
d 2i 1
R +L 2 + i=
dt
dt
C
d (t )
30
30
В общем виде можно записать:
dnf ( t )
dn −1f (t )
аn ⋅
+ аn −1 ⋅
+ ... +
n −1
n
dt
dt
+ а1 ⋅
df (t )
+ а 0 ⋅ f ( t ) = F( t )
dt
- уравнение 1
31
31
- это линейное неоднородное
дифференциальное уравнение
n- порядка для тока или
напряжения f(t) переходного
процесса при t>0
(схема после коммутации)
n – число накопителей энергии (L,C) в
схеме.
32
32
Где:
an , an −1 , ... , a1 , a 0 −
постоянные коэффициенты,
определяемые параметрами
(R, L, C) и структурой цепи
после коммутации
33
33
Где:
F( t ) −
функция, определяемая
(независимыми)
источниками в цепи после
коммутации
34
34
Решение уравнения 1
ищем в виде:
f (t ) = fпр (t ) + fсв (t )
2
35
35
Где:
fпр (t ) −
принужденная составляющая
– это частное решение
уравнения 1, зависящее от F(t)
36
36
Где:
fсв (t ) −
свободная составляющая
– это общее решение
однородного уравнения 1
при F(t) = 0
37
37
При постоянных и
гармонических источниках
fпр (t ) −
это установившееся
значение после коммутации
t =
∞
38
38
fсв (t ) −
зависит от корней
характеристического
уравнения и начальных
условий
39
39
Характеристическое
уравнение (3):
аnpn + аn −1pn −1 + ... + а1p + а0 = 0
40
40
а) если корни
p1 , p 2 , ... , pn −
уравнения (3) вещественные,
отрицательные и разные
41
41
То тогда решение fсв(t)
ищем в виде:
fсв (t ) = A1ep1t + A 2ep 2t + ... + Anepnt
42
42
б) если корни уравнения (3)
вещественные,
отрицательные и
одинаковые, т.е.
p1 = p 2 = ... = pn = p
43
43
То тогда решение ищем в
виде:
fсв (t ) = ( A1 + A 2t + ... + A n t n −1 ) ⋅ ept
44
44
в) если корни уравнения (3)
комплексные и попарно
сопряженные, т.е.
p1, 2 = − δ 2 ± jωсв2
. . . . . . . . . . .
pn −1,n = − δn ± jωсвn
45
45
То тогда решение ищем в
виде:
fсв (t ) = A 2e − δ 2t сos(ωсв 2 t + β 2 ) + ... +
+ A ne − δnt сos(ωсвn t + βn )
46
46
Где:
A1 , A 2 , ... , A n , β 2 , ... , βn −
постоянные интегрирования,
определяемые начальными
условиями
47
47
Где:
δ 2 , ... , δn −
коэффициенты затухания
свободных колебаний ( 1 с
)
48
48
Где:
ωсв 2 , ... , ωсвn −
угловые частоты
свободных колебаний
 рад 
с 

49
49
Пример
iС
R
+
uJ
J
iR
+
С
R
uC
R
50
50
Дано:
R = 100 Ом
J=2A
С = 100 мкФ
Определить:
u J (t ) = ?
51
51
1. Определяем ННУ
при t = 0 − :
uC (0− ) = ?
52
52
R
в
+
+
u J (0 − )
uC (0− )
J
R
а
53
53
uC (0− ) = 0
причем u J (0 − ) = RJ = 200 B
54
54
2. Определяем ЗНУ
при t = 0 + :
u J (0+ ) = ?
55
55
R
в
+
+
u J (0 + )
EC
R
J
R
а
56
56
EC = u C ( 0 − ) = u C ( 0 + ) = 0
т.е. заменяем ЕС закороткой и
рассчитываем схему относительно UJ.
Тогда:
UJ(0+)= J(R + R2/2R) =
= J(R+ R/2)
UJ(0+) = 2•150 = 300 B
57
57
3. Определяем
принужденные
составляющие при t = ∞ :
u пр = ?
58
58
R
в
+
+
u пр
u Спр
R
J
R
а
59
59
u пр = J ⋅ 2R = 400 В
причем uСпр = J ⋅ R = 200 В
60
60
4. Определяем корень
характеристического уравнения:
р=?
61
61
R
R
1
pC
Z( p ) {
R
62
62
Z(p ) = R +
1
+R=0
pC
1
p=−
= −50 1
c
2RC
63
63
5. Определяем постоянную
интегрирования из уравнения
при t=0:
u J (t ) = u пр + Веpt
В=?
64
64
B = u J (0 + ) − u пр = −100 В
65
65
6. Окончательный
результат:
u J (t ) = u пр + Веpt
u J (t ) = 400 − 100е − 50t
(В)
66
66
t
−
е
0
t
τ
u J (t )
1
300
τ
2τ
0.368 0.135
363
τ=
386
3τ
0.05
395
1
= 0,02 c
p
4τ
5τ
0.018 0.007
398
399
67
67
В u J (t )
500
u J (t )
300 u J (0 + )
u J (0 − )
100
0
t
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
68
68