Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида
и цепные дроби
Постановка задачи.
Даны два натуральных числа. Требуется найти их
наибольший общий делитель, не прибегая к трудоёмкой
процедуре разложения этих чисел на простые множители.
Изложен впервые в книге Евклида «Начала», но
придуман, видимо, на полтора-два века раньше, поскольку
упоминания о нём имеются в более ранних источниках.
Геометрическая (античная) версия.
ЗАДАЧА
От прямоугольника 324141 отрезают квадраты со
стороной 141 до тех пор, пока это возможно. Затем от
полученного прямоугольника отрезают квадраты, у
которых
сторона
равна
меньшей
из
сторон
прямоугольника и т.д. Сколько квадратов в конце концов
получится и какого они будут размера?
Геометрическая (античная) версия.
Прямоугольник 324141  квадраты 141141 +
прямоугольник 42141  квадраты 141141 + квадраты 4242
+ прямоугольник 4215  квадраты 141141 + квадраты 4242
+ квадраты 1515 + прямоугольник 1215  квадраты 141141
+ квадраты 4242 + квадраты 1515 + квадрат 1212 +
прямоугольник 123  квадраты 141141 + квадраты 4242 +
квадраты 1515 + квадрат 1212 + квадраты 33. Всего
получится 12 квадратов. Самый маленький – размером 33.
Геометрическая (античная) версия.
Упражнение.
То же самое делают с прямоугольником
770315. Чему равна длина стороны самого
маленького квадрата?
«Автоматная» версия.
ЗАДАЧА
Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Каждый автомат,
прочитав некоторую карточку, выдаёт новую. Прочитав карточку с парой (m, n)
первый автомат выдаёт пару (m+n, n), второй – пару (m–n, n) если только m>n, а
третий – пару (n, m). Можно ли, используя эти автоматы, получить:
А) из карточки (12,21) карточку (19,97)?
Б) из карточки (19,97) карточку (12,21)?
В) из карточки (12,21) карточку (18,93)?
«Автоматная» версия.
Ответы.
А) Нельзя, так как все числа на карточках будут делиться на 3.
Б) Нельзя, так как этот процесс можно запустить в обратном
направлении.
В) Можно: (12,21)  (21,12)  (9,12)  (12,9)  (3,9)  (9,3)
 (3,3) и в то же время (18,93)  (93,18)  (75,18)  (57,18) 
(39,18)  (21,18)  (3,18)  (18,3)  (3,3).
ОБСУЖДЕНИЕ.
В трёх предыдущих задачах мы проводили один и тот же
процесс. Математически его можно описать так. Берём два
произвольных натуральных числа a и b. Разделим большее из них
на меньшее с остатком. Затем поделим меньшее на найденный
остаток и т.д. Этот процесс заканчивается тем, что одно из чисел
делится на другое без остатка, и называется алгоритмом Евклида.
324=2141+42  141=342+15  42=215+12  15=112+3 
12=43
ОБСУЖДЕНИЕ.
ДРУГОЙ ВЗГЛЯД НА АЛГОРИТМ. Мы не делим с остатком
большее число на меньшее, а отнимаем от большего числа меньшее.
ЧТО НУЖНО ПОНИМАТЬ ПРО АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА?
1. Как он работает?
2. Почему он останавливается?
3. НОД двух исходных чисел есть последний ненулевой остаток в
алгоритме Евклида.
4. Почему?
ОБСУЖДЕНИЕ.
САМЫЙ ПРОСТОЙ ОТВЕТ НА ПОСЛЕДНИЙ ВОПРОС
1. Любой общий делитель пары (a,b) есть общий делитель пары (a–b, b).
2. Любой общий делитель пары (a–b, b) есть общий делитель пары (a,b).
3. Если в паре чисел большее делится на меньшее, то их НОД равен
меньшему числу.
ВЫВОД. Последний ненулевой остаток в алгоритме Евклида
совпадает с наибольшим общим делителем исходных чисел.
НЕСКОЛЬКО КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
.
Задача 1
1. Найти НОД числа, десятичная запись которого состоит из 100
единиц, и числа, десятичная запись которого состоит из 60 единиц.
2. Найти НОД числа, десятичная запись которого состоит из n
единиц, и числа, десятичная запись которого состоит из m единиц.
Такое число называется репьюнит и обозначается Un=11…1 (n единиц)
НЕСКОЛЬКО КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
.
Ключевое соображение: U100= U60·1040+ U40  НОД (U100, U60) =
НОД (U60, U40) = НОД (U40, U20) = U20.
Смысл: если один репьюнит длится на другой, то в частном получается
степень десятки, а в остатке тоже репьюнит. Число единиц в этом
репьюните равно остатку от деления числа единиц делимого на число
единиц делителя.
Ответ к пункту 2: НОД (Un, Um) = UНОД (n, m)
НЕСКОЛЬКО КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
•
.
НЕСКОЛЬКО КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
.
Задача 3
1. Докажите, что дробь
при всех натуральных n несократима.
2. На какие числа могут быть сократимы дроби вида
?
Решение задачи 1:
НОД(9n+4,7n+3) = НОД(2n+1,7n+3) = НОД(n, 2n+1) = НОД(n, n+1) = 1.
Ещё одно упражнение.
Придумайте пару чисел, для которой алгоритм Евклида содержит ровно 2015 шагов.
.
От алгоритма Евклида к цепной дроби
Рассмотрим алгоритм Евклиды для пары чисел (31, 13).
31 = 2 • 13 + 5, 13 = 2 • 5 + 3, 5 = 1 • 3 + 2, 3 = 1 • 2 + 1, 2 = 2 • 1.
Будем смотреть на эту процедуру чуть иначе. Не делим с
остатком, а выделяем целую часть дроби.
31/13 = 2 + 5/13, 13/5 = 2 + 3/5, 5/3 =1+ 2/3, 3/2 =1+1/2.
.
От алгоритма Евклида к цепной дроби
А теперь соберём всё это в одну картинку.
.
Мы разложили рациональное число 31/13 в цепную
(непрерывную) дробь.
31/13 = / 2; 2, 1, 1, 2 / – более удобная запись.
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ.
•
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ.
•
Как разложить в цепную дробь
иррациональное число?
Что это значит? То же самое: последовательное
выделение целых частей.
Мы задали иррациональное число периодической
цепной дробью! Это не чистая, а смешанная периодичность!
Как разложить в цепную дробь
иррациональное число?
Вопрос. А какое иррациональное число задаётся периодической цепной
дробью /2; 2, 2, …/? Есть ли вообще такое число?
А самой естественной чисто периодической бесконечной цепной дробью
/1; 1, 1, …/?
Упражнение.
Докажите, что положительный корень квадратного уравнения x² – ax – a = 0,
где a–натуральное число, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с
длиной периода, равной 2.