Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида
Цель:
Виды циклов
[править] Безусловные циклы
Иногда в программах используются циклы, выход из которых не предусмотрен логикой
программы. Такие циклы называются безусловными, или бесконечными. Специальных
синтаксических средств для создания бесконечных циклов, ввиду их нетипичности, языки
программирования не предусматривают, поэтому такие циклы создаются с помощью
конструкций, предназначенных для создания обычных (или условных) циклов. Для
обеспечения бесконечного повторения проверка условия в таком цикле либо отсутствует
(если позволяет синтаксис, как, например, в цикле LOOP…END LOOP языка Ада), либо
заменяется константным значением (while true do … в Паскале).
[править] Цикл с предусловием
Цикл с предусловием — цикл, который выполняется пока истинно некоторое условие,
указанное перед его началом. Это условие проверяется до выполнения тела цикла,
поэтому тело может быть не выполнено ни разу (если условие с самого начала ложно). В
большинстве процедурных языков программирования реализуется оператором while,
отсюда его второе название — while-цикл. На языке Pascal цикл с предусловием имеет
следующий вид:
while <условие> do begin
<тело программы>
end;
Цикл с постусловием
Цикл с постусловием — цикл, в котором условие проверяется после выполнения тела
цикла. Отсюда следует, что тело всегда выполняется хотя бы один раз. В языке Паскаль
этот
цикл
реализует
оператор
repeat..until;
Pascal:
repeat
<тело цикла>
until <условие>
Наибольший общий делитель
Рассмотрим следующую задачу: требуется составить программу
наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.
определения
Вспомним математику. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел - это самое
большое натуральное число, на которое они делятся нацело. Например, у чисел 12 и 18
имеются общие делители: 2, 3, 6. Наибольшим общим делителем является число 6. Это
записывается так:
НОД(12, 18) = 6.
Обозначим исходные данные как М u N. Постановка задачи выглядит следующим
образом:
Дано:
М,
N
Найти: НОД(М, N).
В данном случае какой-то дополнительной математической формализации не требуется.
Сама постановка задачи носит формальный математический характер. Не существует
формулы для вычисления НОД(М, N) по значениям М и N. Но зато достаточно давно,
задолго до появления ЭВМ, был известен алгоритмический способ решения этой задачи.
Называется он алгоритмом Евклида.
Идея алгоритма Евклида
Идея этого алгоритма основана на том свойстве, что если M>N, то
НОД(М, N) = НОД(М - N, N).
Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности
(модуля их разности) и меньшего числа.
Легко доказать это свойство. Пусть К - общий делитель М u N (M> N). Это значит, что М
= mК, N = nК, где m, n - натуральные числа, причем m > n. Тогда М - N = К(m - n), откуда
следует, что К - делитель числа М - N. Значит, все общие делители чисел М и N являются
делителями их разности М - N, в том числе и наибольший общий делитель.
Второе очевидное свойство:
НОД(М, М) = М.
Для "ручного" счета алгоритм Евклида выглядит так:
1) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае
продолжить выполнение алгоритма;
2) заменить большее число разностью большего и меньшего из чисел;
3) вернуться к выполнению п. 1.
Рассмотрим этот алгоритм на примере М=32, N=24:
Получили: НОД(32, 24) =НОД(8, 8) = 8, что верно.
Описание алгоритма Евклида блок-схемой
На рис. 3.12 приведена блок-схема алгоритма Евклида.
Рис. 3.12. Блок-схема алгоритма Евклида
Структура алгоритма - цикл-пока с вложенным ветвлением. Цикл повторяется, пока
значения М и N не равны друг другу. В ветвлении большее из двух значений заменяется
на их разность.
А теперь посмотрите на трассировочную таблицу алгоритма для исходных значений М =
32, N = 24.
Шаг Операция M N Условие
1
ввод М
2
ввод N
3
MN
32  24, да
4
M>N
32>24, да
5
M:=M-N
6
MN
8  24, да
7
M>N
8>24, нет
8
N:=N-M
9
MN
8  16, да
10
M>N
8>16, нет
11
N:=N-M
12
MN
13
вывод M
32
24
8
16
8
8  8, нет
8
14
конец
В итоге получился верный результат.
Программа на АЯ и на Паскале
Запишем алгоритм на АЯ и программу на Паскале.
Program Evklid;
Uses
var
алг
Евклид
цел
М,
N
нач
вывод " Введите М и N" ввод М, N
пока
М
N,
повторять
нц
если
M>N
то
M:=M-N
иначе
N:=N-M
кв
кц
вывод
"НОД=",М
кон
M,
crt;
N,K:
begin
Clr
writeln('Введите
readln(M,
while
M<
begin
if M>N
then
else
end;
while
M<
begin
if
then
else
end;
write('Н0Д=',М);
Readln;
end.
М
integer;
и
>N
scr;
N,K');
N,K);
do
M:=M-N
N:=N-M
>K
do
M>K
M:=M-K
K:=K-M