Розанов Н.Н DopGlavMatFiz2

Дополнительные главы
математической физики-2
Устойчивость решений
эволюционных уравнений
Николай Николаевич Розанов
НИУ ИТМО, 2012
Устойчивость - введение
Обыкновенное дифференциальное автономное
уравнение 1-го порядка (с разделяющимися
переменными)
dx
 F ( x)
dt
F(x) - вещественная функция:
Асимптотика при t   ?
F
0
x
Точки покоя, фиксированные точки
F ( x0 )  0
Устойчивость. ОДУ 1-го порядка
Линейный анализ устойчивости. Линеаризация
x  x0   x
dF
F ( x )  F ( x0 ) 
dx
 x  O ( x 2 )
x  x0
Условие устойчивости ?
Автономная система двух ОДУ
dx
 P ( x, y ),
dt
dy
 Q ( x, y )
dt
Точка покоя, фиксированная точка, особая точка ( x0 , y0 ) :
P( x0 , y0 )  0, Q( x0 , y0 )  0
Линеаризация около точки покоя
Дальше букву δ опускаем.
amn  ?
x  x0   x(t ),
dx
 a11 x  a12 y ,
dt
x   ekt ,
a11  k
a12
a21
a22  k
0
y  y0   y (t )
dy
 a21 x  a22 y.
dt
y   ekt
- квадратное уравнение с вещ. коэф.
Корни вещественны и различны
k1  0, k2  0
k1  0, k2  0
y
k1  0, k2  0
y
y
x
x
Уст. узел
Неуст. узел
Фазовая плоскость
x
Седло
(неуст.)
Сепаратрисы
Корни вещественные и кратные
k1  k2 , Im k1,2  0
y
y
x
y
x
y
x
k1,2  0, уст. узел
x
k1,2  0, неуст. узел
Корни комплексные (сопряженные)
k1,2  p  iq,
y
p0
y
p  Re k1,2 , q  0
p0
y
x
Уст. фокус
p0
x
Неуст. фокус
x
Центр (уст.)
Негрубая система
Грубые системы
Бифуркации
Грубые системы на плоскости (второго порядка)
Линейный анализ устойчивости.
Система ОДУ
dxi
 f i ( x1 ,..., xn , t ), i  1, 2,..., n
dt
Точка покоя. При сдвиге переменных можно считать
x0i  0
n
dxi
  aij x j  R( x1 ,..., xn , t ), i  1,2,..., n
dt
j 1
Линеаризация около точки покоя
Важный частный случай:
n
dxi
  aij x j , i  1,2,..., n
dt
j 1
d
aij  0
dt
Критерий устойчивости
(в линейном приближении)
Характеристическое уравнение
алгебраическое уравнение
n-ой степени с вещественными
коэффициентами
a11  k
a21
...
a n1
a12
...
a1n
a22  k ...
a2 n
0
...
...
...
an 2
... ann  k
Считаем, что все члены Ri ограничены по t и разлагаются в ряд
Тейлора по степеням x j. Тогда если все корни
характеристического уравнения имеют отрицательные
вещественные части, то точка покоя асимптотически устойчива.
Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет
положительную вещественную часть, то точка покоя
неустойчива.
Матрица Гурвица
a0 y
(n)
y(m)
( n 1)
 a1 y
 ...  an 1 y  an y  0, ai  const , a0  0
m
d y
 m , f (k )  a0k n  a1k n 1  ...  an 1k  an  0
dt
(1)
Главные диагональные миноры
Матрица Гурвица
 a1 a0
a a
 3 2
 a5 a4

 ... ...
0 0

0 0
a1 a0
a3 a2
... ...
0 0
... 0 
... 0 
... 0 

... ... 
... an 
a1
1  a1 ,  2 
a3
a1
a3
...,  n  a5
...
0
a1
a0
,  3  a3
a2
a5
a0
a2
a4
...
0
0
a1
a3
...
0
0
a0
a2
...
0
a0
a2
a4
... 0
... 0
... 0
... ...
... an
0
a1 ,
a3
Критерий устойчивости
Льенара-Шипаро
a0  0, a1  0, a2  0, ..., an  0,
 n 1  0,  n 3  0, ...
Если все коэффициенты am одного знака, то нет вещественных
положительных корней (?)
Бифуркации
Задача: при каких значениях параметров a, b устойчивы тривиальные
решения уравнения (изобразить на плоскости a, b )
y   ay   2 y  by  0
Дом. задание
Определить тип неподвижной точки (0,0), у седел найти сепаратрисы,
у систем с параметрами найти бифуркации:
dx
dy
1.
 4 y  x,
 9 x  y.
dt
dt
dx
dy
2.
 2 x  3 y,
 x  y.
dt
dt
dx
dy
3.
 x  y,
  x   y.
dt
dt
4. При каких значениях параметра γ устойчиво
тривиальное решение ОДУ:
y
(4)
 3 y   y  2 y  y  0
Устойчивость решений уравнений
в частных производных
Квазиоптическое уравнение для огибающей монохроматического
излучения Е в среде с керровской нелинейностью
2
2
E
k02


2
2ik0
   E   2 | E | E  0,    2  2
z
0
x
y
Плосковолновое решение
E0  E0 ( z )  A exp(iz ),
A,   const
k0
2

2 | A |
2 0
Линеаризация
E  E0 ( z )[1   E ( z, r )]  A[1   E ( z, r )]exp(iz )
 E
k02
2ik0
   E   2 | A |2 ( E   E * )  0
z
0
 E  ae
iqr i z
*  iqr i *z
b e
2
2




k
k
2
2
2
0
0
 2k0  q   2 | A |  a    2 | A |  b  0 
0


 0



2
2
 k0

k0

2
2
2

|
A
|
a

2
k


q


|
A
|
b

0


 0

2
2

0
 0




2

k
2 2
2
2
2
0
Рис.
Det  0  4k0   q  q  2  2 | A | 
0


Теория возмущений
Алгебраические уравнения (пример квадратного уравнения)
ax 2  bx    0,   0, a, b  0
x  x0   x1   2 x2  ...
Нулевой порядок теории возмущений
ax02  bx0  0,
x01  0,
x02  b / a
Первый порядок теории возмущений (для каждого из двух корней отдельно).
(1)
Для первого корня
x11  1 / b,
Для второго корня*
x
(2)
b 
 
a b
x
  / b
Теория возмущений-2
ax 2    0,   0, a  0
x  x0   x1   x2  ...
2
Нулевой порядок теории возмущений – двойной корень
x 0
2
0
x1,2    / a
Корневая зависимость от малого параметра. Для уравнения*(n – целое число)
ax n    0
x  (  / a )1/ n
Теория возмущений-3
 x  bx  c  0,   0, b, c  0
2
x (0)  c / b
x  b / 
Корень «приходит из бесконечности».
Ограниченная применимость в физических задачах
Теория возмущений-4
f ( x;  )  0,   0
(0) f ( x0 ;0)  0
(1)
x  x0   x1
простой конечный корень
линеаризация уравнения
Задача: найти малый корень уравнения
(сопроводить графическим анализом)
tg x  a ( x   ),   0
Теория возмущений для
дифференциальных уравнений
Стационарное квантово-механическое уравнение Шредингера
Ĥ  E
- гамильтониан, Е – энергия уровня (собств. знач.), Ψ – волновая функция
Для частицы массы m во внешнем поле с потенциалом U
Hˆ  
2
2m
Hˆ  Hˆ 0  Vˆ
  U ( x, y, z ),
2
2
2
 2  2  2
x y
z
- возмущение (малая поправка)
Стационарная теория возмущений для дискретного спектра
Hˆ 0 n(0)  En(0) n(0)
Разложение по с. функциям 0-го порядка
( Hˆ 0  V )  E
Опускаем нижний индекс n
Искомую функции Ψ представляем в виде разложения по собственным
функциям 0-го приближения
   cm m(0)
m
Система функций
– полная и ортонормированная:
(0)* (0)

 k  n dq   n,k
(0)
(0)
(0)
ˆ
c
(
E

V
)


c
E

m m
m n
m
m
Умножаем обе части на
( E  Ek(0) )ck  Vkmcm
m
m
и интегрируем
*
Vkm   k(0)*Vˆ m(0)dq, Vkm  Vmk
Теория возмущений
EE
(0)
E
E
(1)
(2)
( E  Ek(0) )ck  Vkmcm
m
 ..., cm  c
(0)
m
c
(1)
m
c
(2)
m
 ...
Ищем поправки к n-му собственному значению и собственной функции
cn(0)  1, cm(0)  0 (m  n )
1-й порядок теории возмущений
k  n : ck(1)
k  n : En(1)  Vnn   n(0)*Vˆ n(0)dq
Vkn
Vmn
(1)
(0)
 (0)




n
m
(0)
(0)
(0)
En  Ek
E

E
m n
n
m
Условие применимости
2-й порядок
E  En(0)  En(1) , cm  cm(0)  cm(1)
| Vmn || En(0)  Em(0) |
E
(2)
n
| Vmn |2
  (0)
(0)
E

E
mn
n
m
(с учетом нормировки)