Векторная алгебра. Основные понятия. Декартовые прямоугольные координаты на плоскости. Координатами точки на плоскости называются числа, определяющие положение этой точки на плоскости. Прямоугольные декартовые координаты вводятся следующим образом: на плоскости выбирается точка О и проходящие через нее две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и ОУ (оси абсцисс и ординат ). Для удобства ОХ горизонтальна и направлена слева направо, ОУ вертикальна и направлена снизу вверх. Две координаты на плоскости. Абсциссой х называется число, выражающее в некотором масштабе расстояние точки от оси координат, взятое со знаком “+”, если точка М лежит вправо от оси ординат, и со знаком “-“, если точка лежит влево от оси ординат. Ординатой у называется число, выражающее в некотором масштабе (обычно, как и для х) расстояние точки от оси абсцисс, взятое со знаком “+“, если точка лежит выше оси абсцисс, и со знаком “-“, если точка лежит ниже оси абсцисс. Обозначение: М(х ; у). Эти два числа х и у принимаются за координаты точки М, т.к. они полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре х и у соответствует единственная точка, координатами которой являются эти числа, и, обратно, каждая точка плоскости имеет определенные координаты х и у. Преобразование прямоугольной системы координат. Существует три случая преобразования прямоугольной системы координат. 1 случай. Параллельный перенос. 2 случай. Поворот системы координат. 3 случай. Общий случай. Новое начало координат есть точка О’(a;b) и ось О’Х’ образует с ОХ угол α. Соединяя 2 предыдущих случая, имеем: х=а+х’cosα-y’sinα у=b+х’sinα+y’cosα Полярная система координат. Наиболее важной после декартовой прямоугольной системы координат является полярная система координат, которая вводится следующим образом: На плоскости выбираем точку О, которую назовем полюсом, проведем из полюса О направленную полупрямую ОХ, называемую полярной осью. Полярные координаты точки М. Полярный радиус ρ и полярный угол φ. Запись: М(ρ,φ), 0≤ρ<+∞, 0≤φ<2π , φ – против хода часовой стрелки. Элементы векторной алгебры. Основные определения. Величина, характеризующая одним числом в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Величина, кроме числового значения характеризуется еще направлением, называется векторной или вектором. Вектор О, модуль которого равен 0, называется нулевым (направление произвольно). Два вектора и считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Линейные операции над векторами. О: Суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах О: Под разностью векторов такой, что b d a d a b О: Произведением вектора понимается вектор имеющий длину a на скаляр k b k a ak , b k a, направление которого совпадает с направлением вектора a , если k>0, противоположно ему, если k<0, и произвольно, если k=0. Свойства векторного сложения: 1. 2. a b b a a b c a b c a b c 3.для каждого вектора a существует противоположный вектор a ,имеющий туже длину, но противоположное направление. 4. a 0 a Свойства операции умножения на число: а) k a k a a б) k a b = k a kb k a k a г) 1 a a в) О: Если ненулевой вектор a разделить на его длину , то мы получаем единичный вектор a , так называемый орт того же направления. Коллинеарные и компланарные векторы. О: Два вектора a и b называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т.е. расположены или на параллельных прямых, или на одной и той же прямой). О: Три вектора a,b,c называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле. Теоремы: Теорема 1. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. b =k a . Теорема 2. Три ненулевых вектора a,b,c компланарны тогда и только тогда, когда один из векторов выражается через два других. c k a b , k, скаляры Проекция вектора на ось. О: Осью называется направленная прямая. О: Проекцией точки А на ось называется основание A перпендикуляра, опущенного из точки А на эту ось. О: Под компонентой или составляющей вектора a AB относительно оси понимается вектор A,B a AB , где проекции точек А и В. О: Под проекцией вектора на ось a AB a a понимается скаляр , равный длине его компоненты , взятой со знаком +, если направление компоненты и оси совпадают и со знаком «-», если направление компоненты и оси противоположны. Теоремы: Теорема 1: Проекция вектора a на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси a a cos Теорема 2: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось = сумме их проекций на эту ось. Теорема 3: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр. Векторная алгебра. Векторы в координатной форме. Прямоугольные декартовые координаты в пространстве. О: Под декартовыми прямоугольными координатами (х, y, z) точки М понимаются проекции ее радиус-вектор на соответствующие оси координат. xr , y r ,z r ; r x длина - y z r x2 y2 z2 О: cos ,cos ,cos называется направление косинусами вектора r . Теорема: cos2 cos2 cos2 1 Векторы в пространстве. Действия над векторами в координатной форме. О: ax прОХ а , a y прОY а , az пр а ОZ - называется координатами вектора . Запись: a xa, ya, za . MM 1 2 2 2 x x y y z z 2 1 2 1 2 1 - расстояние между двумя точками пространства на плоскости. 2 Скалярное произведение векторов. О: Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: ab a,b a b cos Свойства: 1) 2) ab ba ; a b c ac bc ; 3) 2 - скалярный квадрат; 2 a a 2 2 a a a cos a,̂ a a a a,a 4) ab ab ab ; 5) из определения cos ab ; a b 6) a b ab 0 Векторное произведение векторов. О: Векторным произведение векторов, обозначаемый символом ab и удовлетворяющий условиям: 1) ab a b sin ; 2) 3) ab a , a,̂ b ; c a,c b a,b,c - образуют правую тройку (правило правого винта) Свойства: ab ba т.к. пр. и лев. 1) тройки; 2) a b a b ab ; 3) a b c ac bc aa 0 4) коллинеарны ; векторы 5) геом. смысл: векторах ab S , построенного на a и b. 6) Для ортов i, g,k таблица умножения: справедлива следующая ii 0, g g 0,k k 0 Векторное произведение в координатной форме. i ab xa x , b g ya y , b k za z b Смешанное произведение трех векторов. О: Смешанным произведением векторов a,b,c называется число abc , определяемое формулой abc ab c Свойства: 1) Vпараллелепипеда аbc 2) 3) abc bca cab a,b,c abc 0 4) при перестановке двух соседних … смешанное произведение меняет знак abc bca acb Смешанное произведение в координатной форме. xa abc x b xc ya y b yc za z b zc