Квантовые скачки и квантовые измерения А.М.Сатанин

Квантовые скачки и
квантовые измерения
А.М.Сатанин
ННГУ им. Н.И.Лобачевского (Национальный
исследовательский университет),
Лаборатория «Теория наноструктур» НИФТИ, Н.Новгород,
Россия
План
•
•
•
•
•
•
•
Единичные квантовые объекты
Кубиты
Динамика
Шумы
Квантовый метод Монте-Карло
Измерения
Моделирование
Ансамбль систем
Набор идентичных систем - ансамбль
Пример: опыт Франка и Герца (1914)
Спектр колебательных
уровней молекулы CO
Зарядовый кубит (“quntronium”)
E1
hn01
E0

2
ˆ
H    EC (n  N g ) n n
n 

Гамильтониан
     n n 1  n 1 n  
 E j cos 



2

 0 
5
[Devoret & Martinis, QIP, 3, 351-380(2004)]
Зарядовый кубит и схема считывания
D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D.
Esteve, M.H. Devoret, Science 296, 886 (2002)
Ib
U
circulating current in squid loop
depends on
charge state
current pulse
switch or no switch
Взаимодействие зарядового кубита с
джозефсоновским осциллятором
Два «левых» джозефсоновских перехода играют роль кубита, правый измерительного прибора.
2
C gV (t )  


Q2
2
R
   E J cos  cos  
H  4 EC  N 
 E J cos  I (t )
2
e
2
2
C
2e




Принимая во внимание только два
состояния нижних состояния нелинейного
осциллятора, зависящего от  , получим
H  2EC
CgVrf (t )
e
4
Q2
2
2
  
 x  EJ  z 
 EJ 1   z   EJ 1   z   I (t )
2C
2
 4  4! 2e
  E J / 4 E JR
Если Vrf  0 , то можно записать два независимых уравнения Шредингера для двух компонент
волновой функции, а соответствующие гамильтонианы имеют вид:
4
Q2
2
2
  
H 
 E J 1     E J 1    I (t )
2C
2
 4  4! 2e
Потоковый кубит (3JJ qubit)
2πf-φ1-φ2
EJ 1  EJ 2  IC 0 / 2
EJ 3   EJ 1  IC
(б)
 0  h / 2e
T  20mK
f   q /  0  внешний магнитный поток
i  разность фаз волновой функции на i-ом переходе
J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999).
Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman, Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001)
Потенциальный рельеф
J.E. Mooij, et.al,
Science 285,
1036 (1999).
U J   EJ {2cos  cos    cos(2 f  2 )}
f   q /  0  внешний магнитный поток, может быть подстроен
При f  0.5 минимум потенциальной энергииU J :
 0
1
cos 0 
2
0.5    1
Ip 
2e U 2e U 2e U


1
2
3
I p   I c sin 
0
Сверхпроводящий ток в противоположных направлениях,
одинаков через каждый переход
Движение возможно только в одном направлении – эффективный двухъямный потенциал
Состояния кубита
Искусственный атом
 U J  2 I p ( f  1/ 2)
W.D. Oliver, et.al., Quant inf Process 8, 261 (2009)
Учет нижнего уровня в каждой яме
1
H s  ( 0 z   x )
2
f  0.5
f  0.5   f
  туннельноерасщепление уровней
 0   U J  2 I p ( f  0.5)
T  20mK
 z ,  x  матрицы Паули
1 2
E1,0  
 0  2
2
0   sin  / 2   cos  / 2 
1  cos  / 2   sin  / 2 
  arctan  /  0
z    , z    
0  0
1  (1/ 2,1/ 2)T
E1,0   / 2
0  (1/ 2,1/ 2)T
0
1  (1, 0)T  
0  (0,1)T  

E1,0   0 / 2
Данные состояния могут быть измерены,
соответствуют току в кубите по- и против часовой стрелки
Раби осцилляции в двухуровневой системе
При w  w0 (используя
приближение RWA)
Квантовые скачки
Единичные реализации
I.Siddiqi et al., Berkeley
Релаксация в среднем
Шум в системе
A. I. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010).
1
H s  ( (t ) z   x )
2
Fx  продольная релаксация (переворот спина)
(флуктуации заряда)
H int  Fz z  Fx x
Fz  поперечная релаксация (дефазировка)
(флуктуация потока)
  (t  s)  F (t ) F ( s)
  скорость дефизировки
  скорость релаксации энергии
 (w )  const , w [0,  0 ]
   для потокового кубита
M. Sillanpaa, et al., Phys. Rev.Lett. 96, 187002 (2006).
W. D. Oliver, et al., Science 310, 1653 (2005).
D. M. Berns, et al., Phys. Rev. Lett. 97, 150502 (2006).
D. M. Berns, et al., Nature 455, 51 (2008).
Кинетическое уравнения в марковском приближении
 1
  H s ,    1 4   2 z  z   z z   z z  
t i
Методы Монте-Карло
200 years ago, Comte de Buffon: число Pi
Станислав Улам: “Метод Монте-Карло –
это приложение здравого смысла к
математическим формулировкам
физических законов и процессов”
1. Вычисление многомерных и функциональных
интегралов
2. Решение задач линейной алгебры (систем
матричных уравнений, обращения матриц)
3. Решение интегральных уравнений
4. Статистические ансамбли (статистическая физика,
молекулярная динамика)
5. Метод Кона-Шэма (электроны+динамика КараПаринейло для ядер)
6. Квантовый метод Монте-Карло
18
Вице-президент NVIDIA: «Закон
Мура мертв»
Вице-президент NVIDIA Билл Дэлли в гостевой
колонке журнала «Форбс» написал, что знаменитый
закон Мура больше не работает и «мертв». По его
словам, современные многопроцессорные решения
становятся все менее эффективными, и простое
увеличение числа ядер уже не дает результата.
Решением проблемы Дэлли считает
энергоэкономичные параллельные системы типа
CUDA.
NVIDIA & ADM
CUDA (Compute Unified Device Architecture) и
CTM (Close To Metal или AMD Stream Computing),
Квантовая теория релаксации:
методы исследования
Природа диссипации взаимодействие системы с резервуаром (гораздо большей системой)
с большим числом степеней свободы
H tot  H sys  H B  H int
система
Метод оператора плотности
i
 tot (t )   [ H tot , tot (t )]

tot Оператор плотности
«система+резервуар»
ˆ
 TrB (  tot ) Оператор плотности
системы
резервуар
взаимодействие
система-резервуар
Метод Гейзенберга-Ланжевена
i
ci (t )  [ H tot , ci (t )]
i
b j (t )  [ H tot , b j (t )]
i  1, n
j  1, m
ci -полный набор операторов системы
b j -полный набор операторов резервуара
C.W.Gardiner, P.Zoller, Quantum noise, Springer, 2000
Скалли М. О., Зубайри М. С., Квантовая оптика, М., Физматлит, 2003
Матрица плотности
1) Борновское приближение;
2) Марковское приближение:
Решение уравнений для элементов оператора плотности, NxN штук
t
1
 (t )   2  dt TrB [ H int (t ), [ H int (t ),  (t )   B ]] в представлении взаимодействия
 0
U I (t )  e
i
 ( H sys  H B ) t
 I  U I (t ) tot (t )U I (t )
 (t )  TrB (  I (t ))
Метод квантовых траекторий
   pi  i  i
i
Расcмотрим pi  p1  1
i
Nc
   ( H eff      H eff )    j c j   c j 
j 1
i
   H eff 
  j  cj 
Стохастическая эволюция. t-дискретное время
i
 (t  t )  (1  H eff t )  (t )
 (t  t )  (t  t )  1  P(t )
Pj (t )  t j  (t ) c j c j )  (t )

 (t  t ) 
(1 
i
H eff t )
1  P(t )
В первом
порядке по t
Аналогично
Nc
P(t )   Pj (t )
j 1
 (t )
j 
Nc
t  j
Pj
j
 (t  t )  1  P(t )   (t  t )  (t  t )   Pj (t )  j  j
j 1
В среднем динамика унитарна
Фазовая и энергетическая
релаксация состояний кубита
0.8
P
0.6
0.2
0.8
0.8
0.6
0.6
0
50 100 150 200 250 300
t
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
1.0
P
0.6
0.2
0
50 100 150 200 250 300
t
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0
0.8
0.8
0.6
0.6
50 100 150 200 250 300
t
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0.0
0
50 100 150 200 250 300
t
0.8
0.6
P
0.4
50 100 150 200 250 300
t
50 100 150 200 250 300
t
1.0
P
1.0
P
1.0
0
0
1.0
0.8
P
0.4
0.0
50 100 150 200 250 300
t
1.0
0.8
0.0
0
P
0.0
1.0
P
0.4
1.0
P
1.0
0.4
0.2
0
50 100 150 200 250 300
t
wq :=6.; A=0.1; w:=6.; Гf:=0.01 ; Гe:=0.012; (GHz)
0.0
0
50 100 150 200 250 300
t
Динамика кубита
f dc
f
Ip
ac
f (t )
Воздействие на кубит внешними полями:
1.постоянным магнитным полем fdc
2.переменным ВЧ электромагнитным полем fac
SQUID
Схема измерения состояния кубита
f (t )  f dc  f ac (t )
 (t )   0  A cos wt
f ac (t )  A cos wt
f dc   0  2I p ( f  0.5)
 
1   (t )
Hs  

2    (t ) 
Гамильтониан справедлив для описания динамики всех типов сверхпроводящих
кубитов (не только потокового)
Различие заключается в способе управления внешними параметрами.
В случае 3JJ кубита – путем изменения амплитуды внешних полей fdc и fac
W.D. Oliver, S.O. Valenzuela Quant Inf Process 8, 261 (2009)
Переходы Ландау-Зинера
Впервые исследованы при рассмотрении пересечения уровней при столкновении атомов
L. D. Landau,
Phys. Z. Sowjetunion 2, 46 (1932)
C. Zener. Proc. R. Soc. A137, 696 (1932)
Hs 
1
( (t ) z   x )
2


 (t )   0  A cos wt
 (t )  0
1
-уровни пересекаются в неадиабатическом базисе  z
 (t )
-(без учета туннелирования)
Вероятность перехода    в пределе бесконечно большого времени
PLZ  1  exp(2 2 /  )
   (t ) / t (t ) 0
 ZL   2 /   коэффициент адиабатичности
Скачки населенности происходят при каждом пересечении уровней. Периодическое
пересечение приводит к интерференционной картине
P ( A,  0 )
W. D. Oliver, Y. Yu, J. C. Lee, et.al., Science 310, 1653 (2005)
0
Квантовые траектории
  w,  0  w, однофотонный резонанс
A  0.1w
A   0
Кубит приготовлен в состоянии |0>
0   sin  / 2   cos  / 2 
0
  0.81w
t /T
A  8.5w
  0.09w
  4w
1 (8.5)  0.27w Эффективный гамильтониан в
резонансном приближении
Rabi+LZ
t /T
1 0
H (t )  
2  n
A  10.2w
PLZ  1  exp(2 2 /  )
1 (10.2w )  0
КПТ
t /T
n 

0
PLZ  0.45
 n  J n ( A / w )
nw   0  0
   (t ) / t (t ) 0  A
С увеличением Г динамика существенно
меняется. Кубит может возбуждаться на верхний
уровень. Нет пленения населенностей на
временах ~Т/2 (между пересечениями уровней)
Многофотонные резонансы
  w,  0  30w,30-фотонный резонанс, сильное поле: 0 , A  w
A  25.1w
A   0
Кубит приготовлен в состоянии |0>
0   sin  / 2   cos  / 2 
0
  0.09w
  0.81w
  4w
t /T
A  43.3w
t /T
30 (43.3w )  0.14w
T1  1 arccos  0 / A
Rabi+LZ
T2  1 (1  arccos  0 / A)


A  45.5w
 30  0
PLZ  0.1
t /T
 (t )   0  A cos wt
Даже при сильном управляющем поле
КПТ влияние шума существенно
С увеличением Г динамика существенно
меняется. Кубит может возбуждаться на верхний
уровень. Нет пленения населенностей на
временах ~Т/2 (между пересечениями уровней)
Приложение к амплитудной
спектроскопии
2
n
1 
P ( A,  0 )   2
2 n 0  n  ( 0  nw ) 2
J n2 ( A / w )
2
W

2 n ( 0  w n)2   2
  n   
 n  J n ( A / w )
Населенность верхнего уровня кубита после воздействия импульса длительностью   10T
постоянной амплитуды А при различных значениях шума (D.Berns et.al.,PRL 97, 150502 (2006))
  0.14w, A  0  50w,  0  0  45w, w  90MHz    (0.13  0.2)w
N=3000 realizations
 w
  0.1w
  0.01w
  0.09w
  0.25w
Резонансы
Более контрастная картина наблюдается для резонансов высокого порядка.
Хорошее совпадение с экспериментом (D.Berns et.al.,PRL 97, 150502 (2006))
  0.14w, A  0  50w,  0  0  45w, w  90MHz    (0.13  0.2)w
 w
  0.09w
  0.1w
  0.25w
  0.81w
A/w
A/w
Подгонка параметров шума при прямом численном моделировании под результаты
эксперимента позволит восстановить параметры образца с хорошей точностью
Зависимость от числа реализаций
 w
  0.09w
N  10
Зависимость интерференционной
картины от числа реализаций метода
(числа измерений в эксперименте).
Расчет без усреднения по времени.
A/w
N  100
A/w
A/w
N  500
In good correspondence with N=3000 in
previous consideration and experiments.
In experiments usually N=3000-10000.
A. I. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, 535-540 (2010).
Энергетическая релаксация
A. I. Gelman and A. M. Satanin, ФТТ, 52, 20942099(2010).
   [ H s ,  ]  2   z     
i
 ba   x  i y
 (i ) (t  t )  1 z  (i ) (t )
1

z
H eff  H 

2



2








 ba ba ba ba
ba ba 
i ˆ i 
I
 aa
4
2
 (i ) (t  t )  2 ba  (i ) (t )
Населенности верхнего уровня от времени при
скоростях релаксации (черная сплошная),
(серая), (черная пунктир). Видны скачки,
Населенность верхнего уровня от времени
(усреднение по 3000 реализаций).
Параллельные вычисления
динамики кубитов
• Cluster ННГУ 128 процессоров, MPI –
программа, вычисления P(epsilon,A) –
ускорение в ~100 раз
• Программа на smp –машине, 48 ядер,
ускорение 40 раз (Open MP)
Бифуркационный джозефсоновский осциллятор
I.Siddiqi et al., Phys. Rev. Lett. 93, 207002 (2004); I. Siddiqi, et al.
Phys. Rev. B 73, 054510 (2006).
нелинейность
I 0 sin  (t )
два состояния :
  разность фаз на переходе большая и малая ампл. колеб.
Фазовый портрет
нелинейного
осциллятора во
внешнем поле.
Dispersive measurements
Шум и измерения
Гамильтониан системы кубит + джозефсоновский осциллятор
  
H   (t ) x   z  w p a  a1   z    1   z (a  a  ) 4  I (t ) f (a  a  )
4 

 (t )  2 EC
C gVrf (t )
e
   E J   EcR / 12
Взаимодействие кубита и осциллятора с в бозонным
термостатом
H int systemnoise   z z   a (a  a  )


i
 z  z      2aa   a  a  a  a
  H ,   
t

2
2

Квантовый метод Монте-Карло

 (t )  H eff  (t )
t
H eff  H 
i ˆ i
  I   aa
4
4
 (t  t )   z  (t )
|  (t  t )  a |  (t ) 



- параметры шума
Выводы
Информативны ли “квантовые траектории”?
•
•
•
•
•
•
Квантовые скачки можно наблюдать в единичных квантовых
системах
Единичные реализации демонстрируют процесс
формирования наблюдаемых
В численных экспериментах виден переход к ансамблю
квантовых систем
Технически квантовый метод Монте-Карло полезен для
моделирования многоуровневых систем
NxN -> N.
Квантовый метод Монте-Карло особенно удобен для
реализации на параллельных вычислительных комплексах