Презентация лекции №4. Импульс, работа, энергия

Курс дистанционного обучения
Физика
Лекция 04
Импульс, работа, энергия
А.С.Ольчак, к.ф.-м.н., доцент,
кафедра «Общая Физика» НИЯУ МИФИ,
эксперт ЕГЭ
23.01.2013
Домашнее задание по лекции 3
1.
Домашнее задание по лекции 3
1.
Домашнее задание по лекции 3
2. Цепочка длиной L и массой m начинает соскальзывать со стола,
если со стола свешивается на n-ая часть ее длины (L /n). Найти
коэффициент трения между цепочкой и столом.
Домашнее задание по лекции 3
2. Цепочка длиной L и массой m начинает соскальзывать со стола,
если со стола свешивается на n-ая часть ее длины (L /n). Найти
коэффициент трения между цепочкой и столом.
0 = (1/n)mg - T
N = (1 - 1/n)mg
0 = T - kN
Домашнее задание по лекции 3
2. Цепочка длиной L и массой m начинает соскальзывать со стола,
если со стола свешивается на n-ая часть ее длины (L /n). Найти
коэффициент трения между цепочкой и столом.
0 = (1/n)mg - T
N = (1 - 1/n)mg
0 = T - kN
(1/n)mg = k(1 - 1/n)mg
Домашнее задание по лекции 3
2. Цепочка длиной L и массой m начинает соскальзывать со стола,
если со стола свешивается на n-ая часть ее длины (L /n). Найти
коэффициент трения между цепочкой и столом.
0 = (1/n)mg - T
N = (1 - 1/n)mg
0 = T - kN
(1/n)mg = k(1 - 1/n)mg
(k = 1/(n - 1)
Домашнее задание по лекции 3
3.
N
N=F
0 = mg - μN
μ > mg/F = 0,5
Домашнее задание по лекции 3 (продолжение)
4.
Домашнее задание по лекции 3 (продолжение)
4.
Домашнее задание по лекции 3 (продолжение)
5.
Домашнее задание по лекции 3 (продолжение)
5.
Μ< tg(a) – после остановки тело будет соскальзывать вниз
Ускорение при скольжении и вверх и вниз направлено вниз
По величине ускорение при скольжении вниз меньше, чем при
скольжении вверх
Домашнее задание по лекции 3 (продолжение)
5.
Μ< tg(a) – после остановки тело будет соскальзывать вниз
Ускорение при скольжении и вверх и вниз направлено вниз
По величине ускорение при скольжении вниз меньше, чем при
скольжении вверх
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
Z
X
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
a => 0; N = mg cos(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
Z
X
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
a => 0; N = mg cos(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
Z
X
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
a => 0; N = mg cos(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
F >= mg(k2cos2(a) - sin2(α))1/2
Z
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Z
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Y
2. Записать второй закон Ньютона для
Z
каждого тела в проекциях на актуальные оси
a = 0;
Nz = mg - Fsin(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Y
2. Записать второй закон Ньютона для
Z
каждого тела в проекциях на актуальные оси
a = 0;
Nz = mg - Fsin(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
3. Учесть специальные условия задачи
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Y
2. Записать второй закон Ньютона для
Z
каждого тела в проекциях на актуальные оси
a = 0;
Nz = mg - Fsin(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
3. Учесть специальные условия задачи
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
4. Решить систему уравнений и найти ответ
F >= mg(k2cos2(a) - sin2(α))1/2
X
Импульс.
Закон сохранения импульса
Импульс.
Закон сохранения импульса
P = mV [кг х м/с]
ma = Σ F
ma = m(V(t + Δt) - V(t))/ Δt = Σ F
(P(t + Δt) - P(t))/ Δt = ΔP / Δt = Σ F
Другая формулировка второго закона Ньютона для материальной
точки:
Скорость изменения импульса определяется суммарной силой
действующей на материальную точку и направлена также как
суммарная сила.
Импульс силы
Перепишем еще раз второй закон Ньютона для материальной
точки - но чуть иначе:
Δ P = P2 – P1 = F×Δt
Здесь F - единственная сила или равнодействующая сил,
действующих на материальную точку.
Произведение силы на время ее действия называют импульсом
силы.
Таким образом, изменение импульса материальной точки равно
импульсу силы, действующей на нее.
Задача 1
На тело, имеющие импульс 4 кг·м/с, начинает действовать постоянная сила
3Н, направленная перпендикулярно скорости тела. Чему равняется импульс
тела через 1с после начала действия силы? Другие силы на тело не
действовали.
1. 4 кг м/с
2. 5 кг м/с
3. 10 кг м/с
4. 7 кг м/с
Задача 1
На тело, имеющие импульс 4 кг·м/с, начинает действовать постоянная сила
3Н, направленная перпендикулярно скорости тела. Чему равняется импульс
тела через 1с после начала действия силы? Другие силы на тело не
действовали.
1. 4 кг м/с
2. 5 кг м/с
3. 10 кг м/с
p2  p1  F t
p2 
p   F t   5кг·м/с
2
1
2
4. 7 кг м/с
p2
p1
F t
Задача 2
Молоток массой 0,8 кг ударяет по гвоздю и забивает его в доску. Скорость
молотка перед ударом равна 5 м/с, в момент удара молоток останавливается,
продолжительность удара 0,2с.Чему равна средняя сила, с которой молоток
действует на гвоздь?
1. 40Н 2. 20Н 3. 80Н 4. 2Н
Задача 2
Молоток массой 0,8 кг ударяет по гвоздю и забивает его в доску. Скорость
молотка перед ударом равна 5 м/с, в момент удара молоток останавливается,
продолжительность удара 0,2с.Чему равна средняя сила, с которой молоток
действует на гвоздь?
1. 40Н 2. 20Н 3. 80Н 4. 2Н
p  mv
mv mv
F

 20 H
t
t
Импульс системы тел
Суммарный импульс системы материальных точек определяется
как сумма импульсов всех точек системы.
Pсист = P1 + P2 + P3 + … = Σ Pi
Для нахождения импульса твердого тела надо мысленно разбить
его на малые элементы («материальные точки»), найти их
импульсы и суммировать их как векторы.
Частный случай: для вращающегося тела
(при отсутствии поступательной
компоненты движения) суммарный
импульс может оказаться равным нулю
(однородный диск или сфера).
P1
P2
Закон
сохранения импульса
Согласно третьему закону Ньютона для любой пары взаимодействующих
точек за любой промежуток времени выполняются условия:
Δ P1 = F21×Δt
Fвнеш2
m3
m2
F12
Δ P2 = F12×Δt = - F21×Δt = - ΔP1
m4
m1
F21
m5
Fвнеш1
Внутренние силы системы не меняют
суммарный импульс системы. Он может
измениться только под действием
внешних сил.
ΔPсист =Δt×ΣFвнеш
Закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю
(система замкнута) - суммарный импульс системы остается постоянным
вектором или нулём. Это утверждение верно и для проекций векторов
суммарного импульса и суммы внешних сил
Pсист = P1 + P2 + P3 + … = ΣPi = сonst
Задача 3
v
N
y
m
α
u ?
M
Mg
x:
x
Трения нет
 Mu  mv cos   0  0
u = mvcosα / M
Задача 4
Два одинаковых тела массой m каждое движутся с одинаковыми
по величине скоростями v , образующими угол α друг с другом
(см. рисунок). Тела сталкиваются и слипаются. Какую скорость
будет иметь образовавшееся тело?
v
α
v
1. v cosα
3. v cos(α / 2)
2. 2v cos α
4. 2v cos(α / 2)
Задача 4
Два одинаковых тела массой m каждое движутся с одинаковыми
по величине скоростями v , образующими угол α друг с другом
(см. рисунок). Тела сталкиваются и слипаются. Какую скорость
будет иметь образовавшееся тело?
v
α
v
1. v cosα
3. v cos(α / 2)
2. 2v cos α
4. 2v cos(α / 2)
p1+p2 = p
p1y+p2y = 0
p1x+p2x = px = 2mvcos(α/2) = 2mu
u  v cos(α / 2)
Задача 5*
По гладкой горизонтальной поверхности едет тележка массой M , на
которой стоит человек массой m . Скорость тележки v. В некоторый
момент времени человек спрыгивает с тележки. Скорость человека
после прыжка относительно земли противоположна направлению
движения тележки и равна v1 (см. рисунок). Чему равна скорость
тележки u после этого?
Задача 5*
По гладкой горизонтальной поверхности едет тележка массой M , на
которой стоит человек массой m . Скорость тележки v. В некоторый
момент времени человек спрыгивает с тележки. Скорость человека
после прыжка относительно земли противоположна направлению
движения тележки и равна v1 (см. рисунок). Чему равна скорость
тележки u после этого?
 M  m v  Mu  mv1
M  m  v  mv1

u
M
Задача 6
Задача 6
mv  m(v / 2)  Mu
u – скорость бруска после того, как его пробила пуля.
u  mv / 2M
Задача 7*
На гладкой поверхности установлен клин с гладкими боковыми
поверхностями (трения нет). На вершине клина удерживают два
одинаковых по массе тела. Сперва отпускают тело 1. Когда оно
скатится на плоскую поверхность, отпускают тело 2. В какую сторону
будет двигаться клин, когда оба тела скатятся?
1
2
h
Задача 7*
На гладкой поверхности установлен клин с гладкими боковыми
поверхностями (трения нет). На вершине клина удерживают два
одинаковых по массе тела. Сперва отпускают тело 1. Когда оно
скатится на плоскую поверхность, отпускают тело 2. В какую сторону
будет двигаться клин, когда оба тела скатятся?
1
2
mv1 = (M+m)u1
h
2
v1
u1
mv12 /2 +(M+m)u12/2 = mgh
u12 = 2m2gh/(M+m)(M+2m)
Задача 7*
На гладкой поверхности установлен клин с гладкими боковыми
поверхностями (трения нет). На вершине клина удерживают два
одинаковых по массе тела. Сперва отпускают тело 1. Когда оно
скатится на плоскую поверхность, отпускают тело 2. В какую сторону
будет двигаться клин, когда оба тела скатятся?
1
2
mv1 = (M+m)u1
h
mv12 /2 +(M+m)u12/2 = mgh
2
u12 = 2m2gh/(M+m)(M+2m)
u1
v1
В системе, связанной с клином:
mv2 = Mu2
u2 - u1
v2
=> u2>u1
Задача 7*
На гладкой поверхности установлен клин с гладкими боковыми
поверхностями (трения нет). На вершине клина удерживают два
одинаковых по массе тела. Сперва отпускают тело 1. Когда оно
скатится на плоскую поверхность, отпускают тело 2. В какую сторону
будет двигаться клин, когда оба тела скатятся?
1
2
mv1 = (M+m)u1
h
mv12 /2 +(M+m)u12/2 = mgh
2
u12 = 2m2gh/(M+m)(M+2m)
u1
v1
В системе, связанной с клином:
mv2 = Mu2
u2 - u1
v2
=> u2>u1
mv22 /2 +Mu22/2 = mgh
u22 = 2m2gh/M(M+m)>u12
Задача 8
Задача 8
Mv1 - mv2= (M+m)v
V = (Mv1 - mv2)/(M+m) = - 0,1м/с – поедет влево
Задача 9
Тело массой m1 налетает со скоростью V1 на неподвижное тело с массой m2 и
после удара движется со скоростью V2 в направлении, перпендикулярном
первоначальному. Определить скорость V и направление движения второго тела
после удара.
V
Задача 9
Тело массой m1 налетает со скоростью V1 на неподвижное тело с массой m2 и
после удара движется со скоростью V2 в направлении, перпендикулярном
первоначальному. Определить скорость V и направление движения второго тела
после удара.
m1v1 = m2vcosa
0 = m1v2 – m2vsina => m1v2 = m2vsina
V
Задача 9
Тело массой m1 налетает со скоростью V1 на неподвижное тело с массой m2 и
после удара движется со скоростью V2 в направлении, перпендикулярном
первоначальному. Определить скорость V и направление движения второго тела
после удара.
m1v1 = m2vcosa
0 = m1v2 – m2vsina => m1v2 = m2vsina
=> v2 /v1= tga
V
Задача 9
Тело массой m1 налетает со скоростью V1 на неподвижное тело с массой m2 и
после удара движется со скоростью V2 в направлении, перпендикулярном
первоначальному. Определить скорость V и направление движения второго тела
после удара.
m1v1 = m2vcosa
0 = m1v2 – m2vsina => m1v2 = m2vsina
=> v2 /v1= tga
v = m1v1 /m2cosa =(v12+ v2 2)1/2 m1/m2
V
Работа и энергия.
Закон сохранения энергии
Работа.
Работа A:
F
α
A = (F, Δr) = Fx |Δr| = F S cos(α)
x
S = |Δr|
Δr
Работа силы F равна произведению модулей силы, перемещения
и косинуса угла между ними ( = скалярное произведение векторов
силы и перемещения).
Работа силы влияет на изменение модуля скорости тела.
В системе СИ работа измеряется в Джоулях: Дж = Н . м
Курс лекций по физике для 10-х классов. Лкция 8. Слайд 2
Работа.
F3
F2
F4
F1
α
A = Fx1 |Δr| + Fx2 |Δr| + Fx3 |Δr| + ... =
x
= А1 + А2 + А3 + ...
Δr
Если на тело действуют несколько сил, их работы складываются.
Суммарная работа равна работе результирующей силы.
Работа силы может быть отрицательной, если угол между
векторами силы и перемещения больше 900
Если результирующая сила равна нулю - суммарная работа этих
сил тоже равна нулю.
Задача 10.
N
Ftr
F
x
Fт
Тело массой медленно движется вверх по наклонной плоскости под
действием внешней силы, направленной вдоль плоскости. Коэффициент
трения тела и плоскости равен k. Найти работу сил: тяжести, трения,
реакции опоры, внешней силы, равнодействующей
Задача 10.
N
Ftr
F
x
Fт
Тело массой медленно движется вверх по наклонной плоскости под
действием внешней силы, направленной вдоль плоскости. Коэффициент
трения тела и плоскости равен k. Найти работу сил: тяжести, трения,
реакции опоры, внешней силы, равнодействующей
AF = FΔS
AN = 0
Atr = -FtrΔS= -kmgcos(a)ΔS
Amg = - mgsin(a)ΔS
Задача 10.
N
Ftr
F
x
Fт
Тело массой медленно движется вверх по наклонной плоскости под
действием внешней силы, направленной вдоль плоскости. Коэффициент
трения тела и плоскости равен k. Найти работу сил: тяжести, трения,
реакции опоры, внешней силы, равнодействующей
AF = FΔS
AN = 0
Atr = -FtrΔS= -kmgcos(a)ΔS
Amg = - mgsin(a)ΔS
A = (F - kmgcos(a) - mgsin(a))ΔS = 0
Мощность
Мощность - это скорость совершения работы, отношение работы
А к интервалу времени Δt , за который эта работа совершена.
N = А / Δt = F (|Δr| / Δt) cos(α) = F V cos(α)
Мощность равна произведению модулей силы, скорости и
косинуса угла между ними ( = скалярное произведение векторов
силы и скорости).
В системе СИ мощность измеряется в Ваттах: Вт = Дж / с
Часто используется единица измерения работы, производная от
мощности: кВт . час = 1000Вт . 3600сек = 3,6 . 106 Дж
Энергия
• Если тело или система тел могут совершить работу, то говорят,
что они обладают энергией.
• Энергия в механике определяется состоянием системы - то
есть, положениями тел, составляющих систему, и их скоростями.
• Изменение энергии системы тел при переходе из одного
состояния в другое равно работе внешних сил.
В системе СИ энергия измеряется в Джоулях (Дж), также, как и
работа
Часто используется единица измерения энергии и работы,
производная от мощности:
кВт . час = 1000Вт . 3600сек = 3,6 . 106 Дж
Разновидности энергии
Энергия в механике определяется состоянием системы - то есть,
положениями тел, составляющих систему, и их скоростями.
• Кинетическая энергия - связана с движением тел (или
составляющих систему тел) и зависит от их скоростей
• Потенциальная энергия - связана с взаиморасположением
составляющих систему тел (с координатами тел)
• Потенциальная энергия силы тяжести
• Потенциальная энергия силы упругости
Изменение энергии системы тел при переходе из одного
состояния в другое равно работе внешних сил.
Рассмотрим далее несколько примеров - для каждого вида
энергии.
Кинетическая энергия
Ek = m V2 / 2 - кинетическая энергия тела, равная половине
произведения массы тела на квадрат его скорости.
Изменение кинетической энергии тела за некоторый
промежуток времени равно работе , совершенной за это же
время силой, действующей на тело: A = Ek2 - Ek1
Это справедливо не только для прямолинейного движения
под действием постоянной силы, но и для криволинейного,
и для переменных сил.
h1
F
α
A = F |Δr| cos(α) = mg( h1 - h2) =
Δr
h2
= mgh1 - mgh2
Этот результат не зависит от формы
траектории движения тела.
h1
h2
h1,2
В частности - для замкнутой
траектории (h2 = h1) работа силы
тяжести равна нулю.
Силы, обладающие такими
свойствами, называются
консервативными. Для них можно
определить потенциальную энергию.
Потенциальная энергия силы тяжести
mg
h
Еп = mgh => произведение массы тела на
ускорение свободного падения и высоту над
поверхностью называют потенциальной
энергией силы тяжести.
Величина Еп зависит от выбора уровня отсчета высоты.
Работа силы тяжести А = mgh1 - mgh2 от выбора уровня
отсчета высоты не зависит.
m
R
Потенциальная энергия гравитационного
взаимодействия космических тел определяется
их массами и расстоянием между ними:
Еп = - GMm /R
M
Работа силы упругости
F2 = k ΔX2
ΔA = F ΔX
F
F1 = k ΔX1
ΔX2 -
ΔX1 -
начальное
удлинение
X
конечное
удлинение
ΔX1
ΔX
ΔX2
Работа определяется площадью под
графиком F(x). При увеличении
деформации пружины она отрицательна:
A = Σ ΔA = (ΔX1 - ΔX2)(k ΔX1 + k ΔX2)/2 =
= kΔX12 /2 - kΔX22 /2
Потенциальная энергия упругой деформации
Работа силы упругости не зависит от способа и траектории
деформации и определяется только начальным и конечным
состоянием
A = kΔX12 /2 - kΔX22 /2
Сила упругости также является консервативной силой.
Для нее можно определить потенциальную энергию.
Еп = kΔX2 /2
Половину произведения коэффициента упругости на квадрат
деформации называют потенциальной энергией упругой
деформации.
Работа консервативных сил. Потенциальная энергия
Работа сил тяжести:
Работа сил гравитации:
Работа сил упругости:
A = mgh1 - mgh2
A = - GMm /R1 + GMm /R2
A = kΔX12 /2 - kΔX22 /2
= Eп1 - Eп2
= Eп1 - Eп2
= Eп1 - Eп2
Для любых консервативных сил: Aконс = Eп1 - Eп2 (разность энергий системы)
Потенциальная энергия системы - сумма потенциальных энергий всех
видов для всех тел системы. Она зависит от конфигурации системы
(координат всех ее тел).
Разность энергий при переходе из начального состояния в конечное
равна работе внутренних консервативных сил системы.
Важно!:
• если работа внутренних сил положительна (A > 0) -> суммарная
потенциальная энергия системы убывает (Eп2 < Eп1)
• если работа внутренних сил отрицательна (A < 0) -> суммарная
потенциальная энергия системы возрастает (Eп2 > Eп1)
Закон сохранения механической энергии
Работа сил тяжести:
Работа сил гравитации:
Работа сил упругости:
A = mgh1 - mgh2
A = - GMm /R1 + GMm /R2
A = kΔX12 /2 - kΔX22 /2
= Eп1 - Eп2
= Eп1 - Eп2
= Eп1 - Eп2
Для любых консервативных сил: Aконс = Eп1 - Eп2 (разность энергий системы)
На что может пойти работа внутренних консервативных сил?
На увеличение (если А > 0) или уменьшение (А < 0) кинетической
энергии (абсолютной скорости) тел системы:
Aконс = Eп1 - Eп2 = Ek2 - Ek1
Перепишем это равенство по другому:
Eп2 + Ek2 = Eп1 + Ek1 = E = Сonst
ЗСЭ: В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы,
механическая энергия (потенциальная плюс кинетическая) сохраняется.
Уменьшение механической энергии из-за трения
Fтр
F
x
Δr
F
-Δr
Fтр
x
Работа сил трения при движении по
замкнутому контуру НИКОГДА не равна
нулю:
Авперед = Fтр |Δr| cos(1800) = - μ N |Δr|
Аназад = Fтр |Δr| cos(1800) = - μ N |Δr|
Аполная = -2 μ N |Δr|
Силы трения (и сопротивления среды) НЕ консервативны.
Они всегда приводят к уменьшению суммарной механической энергии
системы.
Но: это не означает нарушения закона сохранения полной энергии
системы. Энергия переходит в другие формы - тепловую в частности.
Примеры использования законов сохранения.
Пример 1: Абсолютно упругое столкновение тел.
m1
m1V1 = m1V’1 + m2V’2
V1
V2=0
m2
m1
V’1
m2
V’2
y
x
m1V12 /2 + m2V22 /2 = m1V’12 /2 + m2V’22 /2
Рассмотрим простейший случай: m1 = m2 = m
V1 = V’1 + V’2
V12 = V’12 + V’22
α = 900
V’2
α
V1
V’1
Примеры использования законов сохранения.
Пример 2: Вторая космическая скорость.
Закон сохранения энергии:
Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2 = E = Сonst
Vf
или:
r >>R
V0
R
mV02/2 - GMm /R = mVf2/2 (~>0) - GMm /r (~0)
mV02/2 - GMm /R = ~>0
V0 > (2GM /R)1/2 = (2gR)1/2
Это - вторая космическая скорость, набрав
которую ракета сможет покинуть сферу
притяжения Земли
Из лекции 2
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Vx(t) = V cos(α)
Vy(t) = Vsin(α) - gt
X(t) = Vcos(α)t
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Время достижения высоты h:
h = Vsin(α)T - gT2/2 => T = Vsin(α)/g + (V2sin2(α)/g2 – 2h/g)1/2
Искомая скорость: u2 = V2cos2(α) + (Vsin(α) – gT)2
Искомая скорость: u2 = V2 – 2gh
Из лекции 2
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Vx(t) = V cos(α)
Vy(t) = Vsin(α) - gt
X(t) = Vcos(α)t
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Время достижения высоты h:
h = Vsin(α)T - gT2/2 => T = Vsin(α)/g + (V2sin2(α)/g2 – 2h/g)1/2
Искомая скорость: u2 = V2cos2(α) + (Vsin(α) – gT)2
Искомая скорость: u2 = V2 – 2gh
ЗСЭ: mu2/2 = m V2 /2 – mgh
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
kN = kMg(L-l)/L
N = Mg(L-l)/L
х
Mg(L-l)/L
Mgl/L
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
На грани соскальзывания:
Mgl/L = kMg(L-l)/L
kN = kMg(L-l)/L
N = Mg(L-l)/L
х
Mg(L-l)/L
Mgl/L
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
На грани соскальзывания:
Mgl/L = kMg(L-l)/L
l = k(L-l) => k = l/(L-l)
kN = kMg(L-l)/L
N = Mg(L-l)/L
х
Mg(L-l)/L
Mgl/L
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
На грани соскальзывания:
N = Mg(L-l)/L
kN = kMg(L-l)/L
Mgl/L = kMg(L-l)/L
х
l = k(L-l) => k = l/(L-l)
Mg(L-l)/L
Aтр = kMg(L-l)2/L = Mgl(L-l)/L
Mgl/L
Fтр
kMg(L-l)/L
L-l
х
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
На грани соскальзывания:
N = Mg(L-l)/L
kN = kMg(L-l)/L
Mgl/L = kMg(L-l)/L
х
l = k(L-l) => k = l/(L-l)
Mg(L-l)/L
Aтр = kMg(L-l)2/L = Mgl(L-l)/L
Mgl/L
Fтр
MV2/2 = (-Mgl/L)(l/2) – (-Mg)(L/2) – Aтр
kMg(L-l)/L
L-l
х
Задача 11*
Цепочка длиной L лежит на «грани соскальзывания» на столе, при этом со
стола свешивается конец цепочки длиной l. В некоторый момент времени от
небольшого толчка цепочка начала двигаться, соскальзывая со стола.
Какой будет скорость цепочки, когда она соскользнет со стола?
На грани соскальзывания:
N = Mg(L-l)/L
kN = kMg(L-l)/L
Mgl/L = kMg(L-l)/L
х
l = k(L-l) => k = l/(L-l)
Mg(L-l)/L
Aтр = kMg(L-l)2/L = Mgl(L-l)/L
Mgl/L
Fтр
MV2/2 = (-Mgl/L)(l/2) – (-Mg)(L/2) – Aтр
= Mg(L/2 - l2/2L – l(L-l)/L) = Mg(L-l)2/2L
kMg(L-l)/L
L-l
х
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
m2
m1
V
a
V
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
m2
m2gR = m2gR sin(a) – m1gR(π/2-a) +
+ (m1 +m2)V2/2
m1
V
a
V
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
m2
m2gR = m2gR sin(a) – m1gR(π/2-a) +
+ (m1 +m2)V2/2
m1
m2gR(1- sin(a)) + m1gR(π/2-a) = (m1 +m2)V2/2
V
a
V
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
m2
m2gR = m2gR sin(a) – m1gR(π/2-a) +
+ (m1 +m2)V2/2
m1
m2gR(1- sin(a)) + m1gR(π/2-a) = (m1 +m2)V2/2
m2V2/R = m2g sin(a)
V
a
V
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
m2
m2gR = m2gR sin(a) – m1gR(π/2-a) +
+ (m1 +m2)V2/2
m1
m2gR(1- sin(a)) + m1gR(π/2-a) = (m1 +m2)V2/2
m2V2/R = m2g sin(a) ~= m2ga
m2gR-m2V2 + m1πgR/2-m1V2 = (m1 +m2)V2/2
V
a
V
Задача 12* (ЕГЭ 2012)
Два тела связаны нитью и находятся первоначально на цилиндрической
поверхности радиуса R, как показано на рисунке. Какую скорость будут
иметь тела в момент отрыва второго из них от поверхности цилиндра.
Трения нет. Считать, что угол отрыва а мал.
m2
m2gR = m2gR sin(a) – m1gR(π/2-a) +
+ (m1 +m2)V2/2
m1
m2gR(1- sin(a)) + m1gR(π/2-a) = (m1 +m2)V2/2
m2V2/R = m2g sin(a)
m2gR-m2V2 + m1πgR/2-m1V2 = (m1 +m2)V2/2
V2
= (2gR/3)(m2 +πm1)/(m1 +m2)
V
a
V
Задача 13*
Две трубы с сечениями S1 и S2 сварены друг с другом, заполнены
гремучим газом и закрыты поршнями массой m1 и m2. После взрыва
поршни вылетают из труб со скоростями V1 и V2. Если трубы имеют массу
M и не закреплены, какую скорость V имеют трубы? Какое тепло Q
выделилось в процессе взрыва? Трением поршней о трубы и массой газа
пренебречь.
Задача 13*
Две трубы с сечениями S1 и S2 сварены друг с другом, заполнены
гремучим газом и закрыты поршнями массой m1 и m2. После взрыва
поршни вылетают из труб со скоростями V1 и V2. Если трубы имеют массу
M и не закреплены, какую скорость V имеют трубы? Какое тепло Q
выделилось в процессе взрыва? Трением поршней о трубы и массой газа
пренебречь.
m1V1 + MV = m2V2
=> V = (m2V2 - m1V1)/M
Задача 13*
Две трубы с сечениями S1 и S2 сварены друг с другом, заполнены
гремучим газом и закрыты поршнями массой m1 и m2. После взрыва
поршни вылетают из труб со скоростями V1 и V2. Если трубы имеют массу
M и не закреплены, какую скорость V имеют трубы? Какое тепло Q
выделилось в процессе взрыва? Трением поршней о трубы и массой газа
пренебречь.
=> V = (m2V2 - m1V1)/M
m1V1 + MV = m2V2
Q = m1V12/2 + m2V22/2 + MV2/2 = m1V12/2 + m2V22/2 + m12V12/2M +
+ m22V22/2M - m1m2V1V2/M
Домашнее задание
1. На шар, покоящийся на горизонтальной поверхности, налетает точно
такой же шар, имеющий до удара скорость v. Найти скорости шаров после
столкновения, если столкновение центральное и упругое. Какое
количество теплоты выделилось бы при ударе, если бы столкновение
было абсолютно неупругим?
2. Тело массой m медленно спускается по «кривой»
опоре. Коэффициент трения между телом и опорой
равен k. Найти работу силы трения.
3. Телу массой m, лежащему на горизонтальной поверхности, сообщают
скорость v. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k.
Найти путь S, пройденный телом.
4. Тело соскальзывает с высоты h1 по наклонной
плоскости с углом наклона а1 . Начальная скорость тела
равна нулю. Коэффициент трения между телом и
плоскостью k1. После этого тело поднимается по другой
наклонной плоскости с углом наклона а2. и
коэффициентом трения k2. На какую высоту h2
поднимется тело? Переход между плоскостями гладкий.
СПАСИБО!
Следующая лекция №05
Статика. Гидростатика. Колебания
30 января 2013 года в 15:00 МСК