СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ. Скалярное поле и его геометрическое изображение. Опр-е: Скалярным полем называется часть пространства (или все пр-во), каждой точке Р которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины U. Пр-ры: неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, поле распределения температуры в данном теле; поле распределения электрического потенциала и т.д. Скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения точки Р в пространстве. Величина U рассматривается как функция точки Р: u=F(P). Эта функция называется функцией поля. U=F(P)=F(x,y,z) Всякая функция трех переменных U=(x,y,z) задает некоторое скалярное поле. Скалярные поля изображаются геометрически с помощью поверхностей уровня. Опре-е: Поверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция поля U=F(x,y,z) имеет одно и то же значение С. Ур-е поверхности уровня имеет вид: F(x,y,z)=C Пр-р: 1) U=x2+y2+z2 поверхности уровня сферы : x2+y2+z2=С. 2) если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля будут так называемые изотермические поверхности, т.е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна. Производная по направлению. Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля U=F(x,y,z). Рассмотрим точку Р(x,y,z) этого поля и луч l , выходящий из точки Р в направлении единичного вектора. el cos i cos j cos k , , - углы вектора e c осями координат. где Опр-е: Производной функции U=F(x,y,z) по направлению l u называется предел lim . l 0 l Обозначение: u l . Производная по направлению u l дает скорость изменения функции U в этом направлении. Формула для: (*) u l u Fx( x, y, z ) cos Fy ( x, y, z ) cos Fz( x, y, z ) cos l Следствие: если вектор e совпадает с одним из векторов i , j , k , то производная U по направлению l совпадает c соответствующей частной производной этой функции. Пр-р: Найти производную функции u=x2-2xz+y2 в точке Р1(1;2;-1) по направлению, идущему от точки Р1 к точке Р2 (2;4;-3). Решение: P1 P2 (2 1)i (4 2) j (3 1)k i 2 j 2k соответствующий единичный вектор _____ ему P1 P2 i 2 j 2k 1 2 2 e ______ i j k 3 3 3 1 4 4 P1 P2 1 2 2 cos ; cos ; cos 3 3 3 Найдем частные производные функции: u=x2-2xz+y2 u u u 2 x 2 z; 2 y; 2 x x y z Их значения в точке Р1 (1;2;-1); u p1 2 2 4 x u p1 4 y u p1 2 z Подставляем в формулу (*) найденные значения, получим искомую производную: u 4 1 4 2 (2)( 2 ) 16 l 3 3 3 3 Градиент. • Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. • Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл. • В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. • Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода. При изучении скалярных полей наряду с функцией поля U=F(x,y,z) рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией – градиент скалярного поля. Опр-е: Градиентом в точке Р(x,y,z) скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией U=F(x,y,z), называется вектор, равный: gradF ( P) Fx( x, y, z )i Fy ( x, y, z ) j Fz( x, y, z )k Связь между градиентом функции U=F(x,y,z) в данной точке и производной по направлению в этой же точке. Теорема: Проекция вектора grad u на единичный вектор e cos i cos j cos k равна производной ф-ии U по направлению l u прl gradu l e ! Проекция grad u на вектор равна скорости изменения поля U=F(x,y,z) в направлении вектора e . Пусть угол между e и gradu. Тогда пр gradu gradu cos l u gradu cos l если 0, то du имеет наибольшее значение , l равное gradu . Вывод: gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. • Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна: 2 u u u gradU x y z 2 2 В этом состоит физический смысл градиента. Пример:Найти наибольшую скорость возрастания x y z функции U в точке А(-1;1;-1) y z x Решение: 1 z x 1 y 1 gradU 2 i 2 j 2 k ; z x z y x y gradU (1;1; 1) 2i 0 j 2k 2i 2k . Наибольшая скорость возрастания функции равна: gradU ( A) 4 0 4 2 2 Отметим,что функция U будет убывать с наибольшей скоростью( 2 2 ),если точка А движется в направлении - gradU ( A) 2i 2k (антиградиентное направление). • Пример:Вычислить производную функции в точке в направлении вектора и градиент. Решение. Найдем значение частных производных в точке . Вычислим направляющие косинусы Тогда:1) 2) • Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора ..AB В (3, 0). • Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора AB • AB =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 . • Далее определяем модуль этого вектора: AB 8 2 2 • Находим частные производные функции z в общем виде: • z z x 2x y 2 y 2 xy • Значения этих величин в точке А : z 6 x z 4 y • Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования: s AB AB i cos j cos 2 2 2 i 2 2 2 • За величину s принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. • : j • Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора AB 2 cos 2 2 cos 2 • Окончательно получаем: z 2 2 6 4 2 x 2 2 • - значение производной заданной функции по направлению вектора .