Федеральное агентство по образованию Томский Государственный архитектурно-строительный университет Реферат Производная по направлению Градиент Выполнила: Лавренюк Т.И. Гр. 017-13 Проверил: Радченко А.В. Томск,2008 Содержание 1. Производная по направлению 2. Градиент 3. Список литературы 3 4 5 2 Производная по направлению Поместим начало вектора S в точку М0 (х0, у0, z0). На векторе S возьмем точку М (х0+∆х, у0+∆у, z0+∆z) на расстоянии ∆S = x 2 y 2 z 2 от точки М0, при этом функция u = f(x, y, z) получит приращение ∆u = f(х0+∆х, у0+∆у, z0+∆z) - f(x0, y0, z0). Определение. Если существует конечный предел отношения lim u , то этот предел S S 0 называется производной функции u = f(x, y, z) по направлению S и обозначается символом: u S Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки М0 (х0, у0, z0), то u u u u cos cos cos S x y z где cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы вектора S. Пример решения задачи Задача: Показать, что в точке А (4,-12) производная функции 3 z x 3x 2 6 xy y 2 по любому направлению равна нулю. Решение Найдем значения частных производных в точке А: z 4,12 3 x 2 6 x 6 y 3 16 6 4 6 12 0 x z 4,12 6 x 2 y 6 4 2 12 0 y Посмотрим значение производной в направлении произвольного вектора S: u 0 cos 0 cos 0 S Задача решена. 3 Градиент Определение. Вектор, координаты которого в декартовой системе координат равны значениям частных производных функции в точке М0, называется градиентом этой функции в заданной точке, и обозначается: gradu u u u i j k x y z Градиент функции в точке М0 дает скорость (величину и направление) наибыстрейшего изменения функции в точке М0 (х0, у0, z0). Некоторые свойства градиента: 1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение равно gradu Наибольшее значение u = gradu S u будет при 0 , и в этом случае S 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю. В этом случае 2 , cos =0 и u gradu cos 0 S Теорема. Пусть дано скалярное поле u ux, y, z и определено в этом скалярном поле поле градиентов gradu u u u i j k x y z u Производная по направлению некоторого вектора S равняется S проекции вектора grad u на вектор S. 4 Пример решения задачи Задача: Найти величину и направление градиента функции z arctg x в точке М (2,2) y Решение Найдем значения частных производных в точке М: z 2,2 x z 2,2 y 1 x 1 y x 2 1 1 y 4 x 1 y 2 1 1 2 4 y Найдем значение градиента функции в точке М: 2 2 1 1 gradz 16 4 4 4 2 2 Определим направление градиента функции, т.е. найдем его направляющие косинусы: 1 2 2 4 4 2 1 2 2 cos 4 4 2 cos Задача решена. Литература: 1. Функции нескольких переменных. Методические указания. / Куницына Т.С. Томск: Изд-во Томского архитектурно-строительного университета, 2003. – 64с. 2. Данко П.Е., ПоповА.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов. В 2-х частях. Ч 1. – 4-е изд., испр. И доп. – М.:Высш. Шк., 1986.- 304с., ил. 5