Функции нескольких аргументов Понятие функции приращение каждому элементу х из множества Х по некоторому закону у = f(х) поставлено в соответствие единственное значение переменной у из множества У x y f ( x0 x) f ( x0 ) каждой паре чисел х и у из некоторого множества D по определенному закону z f x, y поставлено в соответствие единственное значение переменной z. x , y x z f x0 x, y0 f x0 , y0 частное приращение функции по переменной х y z f x0 , y0 y f x0 , y0 частное приращение функции по переменной у производная дифференциал z f x0 x, y0 y f x0 , y0 полным приращением функции def f x0 x, y0 f x0 , y0 f x0 x f ( x0 ) z lim x lim f x0 lim x 0 x x 0 x 0 x x частная производная функции z f x, y по y lim x 0 x переменной х dy df ( x) f x0 , y0 y, f x0 , , f x x0 , y0 , dx dx x f x0 , y0 y f x0 , y0 z lim x lim y 0 y x 0 y f x0 , y0 f x0 , y0 dy f x0 dx 1) dz dx dy x y f x f x0 - достаточное условие 2) необходимое – существование частных дифференцируемости функции, производных; 3) достаточное – непрерывность этих частных производных в исследуемой точке Так как каждой паре чисел х и у на плоскости соответствует некоторая точка M x, y , то множество D – некоторая совокупность точек плоскости. D – область определения функции z f x, y . Область определения функции D называется замкнутой, если она включает в себя все свои границы. Вспомним линии второго порядка: 1) x 2 y 2 R 2 - каноническое уравнение окружности с центром в т. О(0,0). x2 y 2 1 - эллипс с полуосями а и в. a 2 b2 x2 y 2 3) 2 2 1 - гипербола с полуосями а и в (в – мнимая), симметрична относительно ОУ. a b 4) y 2 2 px - парабола, симметричная относительно оси ОХ 2) Пример.1. Найти область определения ф-ции z 4 x 2 y 2 . 2 2 4 x y 0 D z : 2 2 x y 4 Ф-ция z определена в точках окружности, область – D замкнутая. Пример 2. Найти область определения ф-ции z ln y x 2 . D z : y x2 0 y x2 Область D незамкнутая – точки параболы y = x2 не входят в D. Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные функции по одной из них, при условии, что прочие переменные считаются постоянными. Пример 1 . Найти частные производные ф-ции z x3 y 2 x 5 x в т. М(2,1). y z 2,1 z 1 18 3x 2 y 2 5 (у фиксируем) x x y z 2 x3 y xy 2 (х фиксируем) y z 2,1 14 y В направлении оси ОХ функция изменяется быстрее. Пример 2 . Найти частные производные ф-ции z arctg x y . z 1 yx y 1 2y x 1 x z 1 x y ln x y 1 x 2 y Пример 4 . Найти частные производные ф-ции u e x 2 2 u u e x y 2 x sin 2 z , 0 x x M 2 2 u u e x y 2 y sin 2 z , 2e y y M 2 2 u u e x y 2sin z cos z , 0 z z M 2 y2 sin 2 z в т.М (0,1, /2). Пример 5. Найти частные производные функции трех переменных U 2x 3 y 4z x4 y3 z 2 Решение. U U 2 4 x3 y 3 z 2 ; 3 3x 4 y 2 z 2 x y U 4 2 x 4 y 3 z z Механический смысл частных производных следует из их определения: f ( x0 , y0 ) − скорость изменения функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) в направлении оси ОХ; x f ( x0 , y0 ) − скорость изменения функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) в направлении оси ОУ. у f x0 , y0 f x0 , y0 dx dy называют дифференциалом функции двух x y переменных z f x, y при выполнении следующих условий: 1) необходимое – существование частных производных; 2) достаточное - непрерывность частных производных в точке (х0, у0). Величину dz x в т.М (2,1). y x f 2,1 2 ; 2 y y 5 Пример. Найти дифференциал функции z arctg 1 1 f 2,1 1 f 1 ; ; 2 x y x2 x 5 y 1 2 1 2 y y 1 2 dz dx dy 5 5 формула применения полного дифференциала к вычислению приближенного значения функции в точке f x При достаточно малом Δх 2 Δу 2 z dz т.е. f x0 x, y0 y f x0 , y0 dz x0 , y0 Откуда f x0 x, y0 y f x0 , y0 dz x0 , y0 f x0 x, y0 y f x0 , y0 z x0 , y0 z x0 , y0 x y x y Пример. Вычислить приближенно 4 15.96 3 27.33 . Решение. Используем формулу приближенного вычисления (2.1.6): f (x0 + x, y0 + y) f (x0, y0) + f (x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) x + y. x y Запишем наше выражение в виде функции f x, y 4 x 3 y где х = 15,96, y = 27,03. Выберем за х0, у0 числа близкие к х и у. Пусть х0 = 16, y0 = 27. Найдем приращения аргументов: x = х - х0, x = 15,96 –16 = -0,04, y = у – у0, y = 27,03 – 27 = 0,03. Найдем частные производные в точке (х0; у0) = (16; 27). f 1 34 1 x 4 x 4 4 x3 f (x 0 ,y0 ) 1 1 1 0.03 3 x 32 4 4 163 4 2 f 1 23 1 y y 3 33 y2 f (x 0 ,y0 ) 1 1 0.037 . y 3 3 27 2 27 Найдем f x0 , y0 4 x0 3 y 4 16 3 27 2 3 5 Подставляя найденные значения в формулу приближенных вычислений, получим: 4 15.96 3 27.3 5 0.03 0.04 0.037 0.03 5 0.0012 0.00111 5 0.00009 4.99991 Производная сложной функции. Полная производная. Пусть z f x, y , где x t , y t . Тогда в конечном итоге z – функция одной переменной t. Предположим, что zx , z y непрерывны и dx dy , существуют. Тогда dt dt dz z dx z dy dt x dt y dt Пример. Найти полную производную функции z x2 y 2 , x t 3 3, y 2t 4 1 dz z dx z dy 2 x 3t 2 y 8t 3 . dt x dt y dt Пусть z f x, y , где y x . Тогда dz z dx z dy z z dy , dx x dx y dx x y dx z - частная производная функции я по первому аргументу, x dz - полная производная функции. dx Пример. . Найти полную производную функции z x2 y , y sin x z z 1 dy 2 x, , cos x x y 2 y dx dz 1 2x cos x dx 2 y Пусть z f x, y , где x t , , y t , . z – функции двух независимых переменных t , . Тогда z z x z y , t x t y t z z x z y x y Пример. . Найти производные функции z xy, x t cos 2 , y t 2 zt y cos 2 x2t z 2 yt sin 2 xt 2 Производные высших порядков В общем случае частные производные f f и функции z f x, y являются x y функциями 2-х переменных. Эти функции могут оказаться дифференцируемыми в некоторой области D. Опр. Частные производные от часных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они обозначаются f 2 f 2 z zxx x x x 2 x 2 f 2 f 2 z z xy y x xy xy f 2 f 2 z z yx x y yx yx - смешанные призводные 2-го порядка f 2 f 2 z zyy y y y 2 y 2 Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д порядка 3 f 3 f 5 f , , x3 xy 2 x3y 2 Теорема. Пусть ф-ция z f x, y имеет всевозможные производные до к-го порядка включительно, непрерывные в обл.D. Тогда смешанная производная к-го порядка не будет зависеть от того, в какой последовательности осуществляется дифференцирование 2 f 2 f ; xy yx 4 f 4 f 4 f yx 3 x 2yx xyx 2 Пример z x5 y 3 x 4 1 3 z . Найти 2 y x y z 2 z 5 x 4 y 3 4 x 3 , 2 20 x 3 y 3 12 x 2 x x 3 z 60 x 3 y 2 x 2 y Скалярное поле Говорят, что в некоторой области плоскости ХОУ задано скалярное поле, если в каждой точке этой области определена некоторая ф-ция двух независимых переменных u f x, y . Говорят, что в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле, если в каждой точке этой области определена некоторая ф-ция трех независимых переменных u f x, y, z . Физическими примерами скалярных полей могут служить: - поле температур неравномерно нагретого тела T T x, y, z -поле атмосферного давления на некотором участке земной поверхности P P x, y -потенциал электрического или магнитного поля вокруг проводника с током x, y, z . Важнейшими характеристиками скалярных полей, знание которых позволяет наглядно представляить и анализировать их, являются следующие: 1) Линии и поверхности уровня 2) Произвозводная поля в точке в заданном направлении 3) Градиент поля Остановимся подробнее на этих понятиях Линии и поверхности уровня Опр. Линией уровня скалярного поля u u x, y называется линия на плоскости, соединяющая точки равных значений функции, т.е. семейство линий уровня на плоскости определяется уравнением u x, y const . В случае пространственного поля говорят о поверхностях уровня – поверхностях, на которых функция принимает одинаковые значения. Уравнения поверхностей уровня: u x, y, z const . Физические примеры линий и поверхностей уровня - изотермы, изобары - эквипотенциальные линии и поверхности в теории электромагнетизма. Производная по направлению Пусть функция u f x, y, z определена в окрестности т. M 0 x0 , y0 , z0 и задан вектор s 0 . Обозначим через cos , cos , cos его направляющие косинусы, т.е. координаты единичного вектора s0 Опр. Предел отношения s в направлении вектора s . s u при s 0 называется производной от функции s u f x, y, z в т. x0 , y0 , z0 по направлению вектора s и обозначается lim s 0 u : s u u . s s u f f f cos cos cos s x y z Из формулы следует, что зная частные производные, можно найти производную по любому направлению. f f f Опр. Вектор , , называется градиентом функции u f x, y, z в точке, в x y z которой взяты частные производные и обозначается gradu , u (набла u): gradu u u u i j k. x y z Используя понятие градиента и скалярного произведения, формулу для производной по направлению можно записать f u, s0 s Понятие градиента имеет важное физическое приложение. А именно, градиент поля в заданной точке это вектор, который указывает направление максимального роста скалярного поля, причём скорость этого роста численно равна модулю вектора-градиента. Пример 1. Дана ф-ция u x 2 y 2 z 2 . Найти производную u в т. M (1,1,1) в s направлении вектора s 2 i j 3k . Найдем s 4 1 9 14 , cos u u u u 2 x, 2 y, 2z , x x y z 2, M u y 2, M 2 1 3 , , cos , cos 14 14 14 u z 2 M u 2 1 3 . 2 2 2 s 14 14 14 Пример 2. Дана ф-ция u x 2 y 2 z 2 . Найти градиент функции в т. M (1,1,1) gradu 2 xi 2 yj 2 zk gradu M 2 i 2 j 2k