Лекция30

Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Лекция 28. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
4.1 Квазистационарные токи
4.2 Свободные колебания в электрическом
контуре без активного сопротивления
4.3 Свободные затухающие электрические
колебания
4.4 Вынужденные электрические колебания
4.5 Мощность, выделяемая в цепи
переменного тока
4.1 Квазистационарные токи
При рассмотрении электрических колебаний
приходится иметь дело с токами, изменяющимися
во времени. Закон Ома и вытекающие из него
правила Кирхгофа были установлены для
постоянного тока. Однако они остаются
справедливыми и для мгновенных значений
изменяющегося тока.
Электромагнитные сигналы распространяются
по цепи со скоростью света с. Пусть l – длина
электрической цепи. Тогда время распространения
сигнала в данной цепи t  l / c. Если t  T
(T – период колебаний электрического тока), то
такие токи называются квазистационарными. При
этом условии мгновенное значение силы тока во
всех участках цепи будет постоянным. Для частоты
f  50 Гц условие квазистационарности
выполняется при длине цепи ~ 100 км.
Рассматривая в дальнейшем электрические
колебания, мы будем считать, что токи
квазистационарны.
4.2 Свободные колебания в электрическом
контуре без активного сопротивления
В цепи, содержащей индуктивность (L) и ёмкость
(С) могут возникать электрические колебания.
Такая цепь называется колебательным контуром
Рис. 1
Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив
конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток
(например, включив магнитное поле).
Т.к. R = 0, то полная энергия контура E = const
Рисунок 2
Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия
магнитного поля максимальна и наоборот...
Из сопоставления электрических и механических
колебаний 2 следует, что, энергия электрического
поля U  q аналогична потенциальной энергии
2C
упругой деформации, а энергия магнитного поля
аналогична кинетической энергии;
Индуктивность L играет роль массы т
1/С – роль коэффициента жесткости k
Заряду q соответствует смещение маятника х
Силе тока I ~ скорость υ
Напряжению U ~ ускорение а
В соответствии с законом Кирхгофа (и законом
сохранения энергии)
R=0
dq
I
,
dt
q
dI
 L
C
dt
dI
Ei   L ,
dt
2
(28.2.1)
d q 1

q0
2
dt
LC
ω0 
1
LC
Вновь мы получили дифференциальное уравнение
второго порядка
2
dq
2
 ω0 q  0, (28.2.2)
2
dt
решением которого является гармоническая функция
q  qm cos( ω0t  φ)
(28.2.3)
Таким образом, заряд на обкладке конденсатора
изменяется по гармоническому закону с частотой
ω0 – собственная частота контура. Для периода
колебаний получается так называемая формула
Томсона:
1 2π
T 
 2π LC
ν ω0
T  2π LC
(28.2.4)
qm
U
cosω 0t  φ   U m cosω 0t  φ  (28.2.5)
C
L – волновое
Im U  L I
U mC 
;
m
m
сопротивл [Ом].
C
C
ω0
Um  Im
L
C
Закон Ома
dq
π

I
 ω0 qm sin ω0t  φ   I m cos ω0t  φ  
dt
2

I m  ω0 qm ;
На емкости ток опережает напряжение на π/2.
На индуктивности наоборот напряжение
опережает ток на π/2.
4.3 Свободные затухающие электрические
колебания
Всякий реальный контур обладает активным
сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре,
постепенно расходуется в этом сопротивлении на
нагревание, вследствие чего колебания затухают.
Рис. 3
По второму закону Кирхгофа
dI
q
IR    L
dt
c
Это уравнение свободных
затухающих колебаний в
контуре R, L и C
2
d q
dq
2

2
β

ω

0
0
2
dt
dt
решение этого уравнения имеет вид:
q  q0 e
  R / 2L
ω0 
βt
cos( ωt  φ),
- коэффициент затухания,
1
- собственная частота контура
LC
R
при β  ω 0, т.е.

2L
1
LC
2
ω
2
ω0
β
2
или
1
R
ω
 2
LC 2 L
На рис.28.4, показан вид затухающих колебаний
заряда q и тока I.
Колебаниям q соответствует x – смещение
маятника из положения равновесия, силе тока I –
скорость υ.
Рис.28. 4
Затухание
принято
характеризовать
логарифмическим декрементом затухания
A(t )
χ  ln
 βT
A(t  T )
2π
T
;
ω
πR
χ  βT 
Lω
R
β
2L
R, L, ω – определяются параметрами контура,
следовательно, и χ является характеристикой
2
2
β  ω 0
контура. Если затухание невелико
ω  ω0 
1
,
LC
C
  R
L
Добротность колебательного контура Q
определяется как величина обратно
пропорциональная χ,
π
Q
χ
1
χ
N
W
Q  2π
ΔW
то Q  πN
W – энергия контура в данный
момент, ΔW – убыль энергии за один
период, следующий за этим
моментом
При β 
2
2
ω0 ,
т.е. при
R / 4 L  1 / LC
2
2
апериодический разряд
Сопротивление
колебательный
апериодический,
сопротивлением.
Rk2
1

2
4 L LC
контура,
при
котором
процесс
переходит
в
называется
критическим
L
Rk  2
 2 Rволн
C
28.4 Вынужденные электрические колебания
К контуру, изображенному на рисунке 4.1 подадим
переменное напряжение U
U  U m cos ωt (28.4.1)
2
Um
dq
dq
2
(28.4.2)
 2
 0 q 
cos t
2
dt
dt
L
уравнение вынужденных электрических колебаний
Это уравнение совпадает с дифференциальным
уравнением механических колебаний. Его решение
при больших t
q  qm cos( ωt  φ)
(28.4.3)
где
2
1 

2
2
qm  U m / ω R   ωL 
  U m / ω R  ( RL  RC )
ωC 

2
Величина
2
1  называется полным

Z  R   ωL 

ωC  сопротивлением цепи,

2
а величина
(импеданс)
1
X  RL  RC  ωL 
– реактивным
ωC
сопротивлением.
R – активное сопротивление отвечает за потерю
мощности в цепи.
X
– реактивное сопротивление, определяет
величину энергии пульсирующей в цепи с
частотой 2ω.
Идеальные элементы цепи и соответствующие им
импедансы:
где φ = α - π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным
напряжением (см. (27.26)). В соответствии с выражением (27.13)
1
L  1 / C
 
tg  tg -   

2
tg
R

(27.16)
Из формулы (27.16) вытекает, что ток отстает по фазе от
напряжения (φ > 0), если ωL > 1/(ωС), и опережает напряжение
(φ < 0), если ωL< 1/(ωС).
Формулы (27.15) и (27.16) можно также получить с помощью
векторной диаграммы. Это будет сделано ниже для переменных
токов.