Тема 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 4.1 Квазистационарные

Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Тема 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
4.1 Квазистационарные токи
4.2 Свободные колебания в электрическом
контуре без активного сопротивления
4.3 Свободные затухающие электрические
колебания
4.4 Вынужденные электрические колебания
4.5 Мощность, выделяемая в цепи
переменного тока
4.1 Квазистационарные токи
При рассмотрении электрических колебаний
приходится иметь дело с токами, изменяющимися
во времени. Закон Ома и вытекающие из него
правила Кирхгофа были установлены для
постоянного тока. Однако они остаются
справедливыми и для мгновенных значений
изменяющегося тока.
Электромагнитные сигналы распространяются
по цепи со скоростью света с. Пусть l – длина
электрической цепи. Тогда время распространения
сигнала в данной цепи t  l / c. Если t  T
(T – период колебаний электрического тока), то
такие токи называются квазистационарными. При
этом условии мгновенное значение силы тока во
всех участках цепи будет постоянным. Для частоты
f  50 Гц условие квазистационарности
выполняется при длине цепи ~ 100 км.
Рассматривая в дальнейшем электрические
колебания, мы будем считать, что токи
квазистационарны.
4.2 Свободные колебания в электрическом
контуре без активного сопротивления
В цепи, содержащей индуктивность (L) и ёмкость
(С) могут возникать электрические колебания.
Такая цепь называется колебательным контуром
Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив
конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток
(например, включив магнитное поле).
Т.к. R=0, то полная энергия контура E=const
Если энергия конденсатора равна нулю, то
энергия магнитного поля максимальна и
наоборот... Из сопоставления электрических и
механических колебаний следует, что энергия
электрического
поля
аналогична
потенциальной энергии упругой деформации, а
энергия
магнитного
поля
аналогична
кинетической энергии.
Индуктивность L играет роль массы т.
1/С – роль коэффициента жесткости k.
Заряду q соответствует смещение маятника х.
Силе тока I ~ скорость υ.
Напряжению U ~ ускорение а.
В соответствии с законом Кирхгофа
IR  U C   .
dq
I
,
dt
dI
  L ,
dt
R = 0.
q
dI
 L
C
dt
2
d q 1

q0
2
dt
LC
ω0 
1
LC
Получили дифференциальное уравнение второго
порядка
2
dq
2
 ω0 q  0,
2
dt
решением является функция:
q  qm cos( ω0t  φ)
Таким образом, заряд на обкладке конденсатора
изменяется по гармоническому закону с частотой ω0 ,
названной собственной частотой контура.
Для определения периода колебаний используется
формула Томсона:
T  2π LC
T
1


2
0
 2 LC .
Напряжение на конденсаторе во времени меняется
как
qm
U
cos 0t     U m cos 0t    .
C
L
Um 
Im.
C
L
– волновое сопротивление.
C
Закон Ома для цепи переменного тока
L
Um 
Im
C
Сила тока в колебательном контуре во времени
меняется как
dq
π

I
 ω0 qm sin ω0t  φ   I m cos ω0t  φ  
dt
2

I m  ω0 qm ;
Ток в колебательном контуре опережает по фазе
напряжение на π/2.
4.3 Свободные затухающие электрические
колебания
Всякий реальный контур обладает активным
сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре,
постепенно расходуется в этом сопротивлении на
нагревание, вследствие чего колебания затухают.
По второму закону Кирхгофа
q
dI
IR    L .
c
dt
Это уравнение можно привести к виду:
2
d q
dq
2

2
β

ω

0
0
2
dt
dt
Уравнение свободных затухающих колебаний в
контуре R, L и C
Решение имеет вид:
q  q0 e
βt
cos( ωt  φ),
  R / 2 L - коэффициент затухания.
ω0 
1
- собственная частота контура.
LC
Колебания совершаются с частотой  меньшей,
частоты собственных колебаний 0
    .
2
0
2
2π
T
;
ω

2
1
R
 2.
LC 4 L
R
β
2L
Затухание
принято
характеризовать
логарифмическим декрементом затухания
A(t )
χ  ln
 βT
A(t  T )
πR
χ  βT 
Lω
Добротность колебательного контура Q
определяется как величина обратно
пропорциональная χ

Q ;

Влияние L и С на
частоту колебаний
1
 ;
N
Q   N.
N- число колебаний, совершаемых за время
уменьшения амплитуды в е раз.
W
Q  2
.
W
W – энергия контура в данный
момент, ΔW – убыль энергии за
один период, следующий за этим
моментом.
Апериодический разряд
При увеличении коэффициента затухания период
колебания растет и колебания уже не происходят.
β 
2
2
ω0 ,
Сопротивление контура, при котором колебательный
процесс переходит в апериодический, называется
критическим сопротивлением.
2
k
2
R
1

;
4 L LC
L
Rk  2
 2 Rволн
C
4.4 Вынужденные электрические колебания
К контуру, изображенному на рисунке приложим
U  U m cos t.
переменное напряжение U.
2
Um
d q
dq
2
 2
 0 q 
cos t
2
dt
dt
L
Получим уравнение вынужденных электрических
колебаний.
Это уравнение совпадает с дифференциальным
уравнением механических колебаний. Его решение
при больших t
q  qm cos(t   ).
Х
2
1 

qm  U m /  R    L 
 
C 

2
 U m /  R  ( RL  RC ) .
2
2
Z
1 

Z  R   ωL 

ωC 

2
2
- полное
сопротивление цепи
(импедАнс).
1
X  RL  RC  ωL 
ωC
– реактивное
сопротивление.
Реактивное
сопротивление
складывается
индуктивного и емкостного сопротивления.
из
R – активное сопротивление отвечает за потерю
мощности в цепи.
X – реактивное сопротивление, определяет величину
Индуктивность в
энергии пульсирующей в цепи.
цепи переменного и
постоянного тока
Резонанс в R, L, С контуре
При последовательном соединении R, L, С, при
1
ωL 
ωC
– наблюдается резонанс. При этом угол
сдвига фаз между током
обращается в нуль (φ = 0)
и
ωрез 
напряжением
2
ω0
 2β
2
тогда U  U R , а UC и UL одинаковы по амплитуде
и противоположны по фазе. Такой вид резонанса
называется
резонансом
напряжения
или
последовательным резонансом.
U L рез  U C рез
L
1 L

Im 
U m  QU m
C
R C
Таким образом, при резонансе на ёмкости можно
получить напряжение с амплитудой QU  U
в узком диапазоне частот. Этот эффект широко
используется
в
различных
усилительных
устройствах.
В
цепях
переменного
тока
содержащих
параллельно
включенные
ёмкость
и
индуктивность наблюдается другой тип резонанса
ω  ω рез 
1
LC
Явление резкого увеличения амплитуды тока
во внешней цепи, при приближении частоты
приложенного напряжения ω к ωрез называется
резонансом токов, или параллельным резонансом.
(Используется
в
резонансных
усилителях,
приемниках).
4.5 Мощность, выделяемая в цепи
переменного тока
Мгновенное значение мощности переменного тока
равно произведению мгновенного значения
напряжения на силу тока:
P(t )  U (t ) I (t )
U (t )  U m cos ωt
I (t )  I m cos( ωt  φ)
1 2
 P   RIm
2
Величины
Im
I
2
,
Um
U
2
называются действующими (или
эффективными) значениями тока и
напряжения.