Тема 5. ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Сегодня суббота, 7 мая 2016 г.
Физические основы механики
Тема 5. ЭНЕРГИЯ. РАБОТА.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
•
•
•
•
•
•
5.1. Кинетическая энергия. Работа и мощность
5.2. Консервативные силы и системы
5.3. Потенциальная энергия
5.4. Закон сохранения механической энергии
5.5. Условие равновесия механических систем
5.6. Применение законов сохранения
– 5.6.1. Абсолютно упругий, центральный удар
– 5.6.2. Абсолютно неупругий удар
– 5.6.3. Движение тел с переменной массой
5.1. Кинетическая энергия.
Уравнение
движения
 тела под
действием внешней силы F имеет вид:

d 
m
 F,
dt
или
dυ
m  Fτ .
dt
(5.1.1)
dυ
m  Fτ .
dt
Умножим обе части этого равенства на
 dt  dr , получим: mυ dυ  Fτ dr.
Левая часть равенства, есть полный
дифференциал некоторой функции:
m 

m d  d

 2 
2
m 

d
  F dr.
 2 
2
или
τ
Т.о.
m 

d
  F dr.
 2 
2
τ
Если система замкнута, то

F
внеш.
m 

d
  0.
 2 
0
и
2
F  0,

тогда и
Если
полный
дифференциал
некоторой
функции,
описывающей
поведение системы равен нулю, то эта
функция
может
служить
характеристикой состояния данной
системы.
Функция
состояния
системы,
определяемая только скоростью ее
движения, называется кинетической
энергией.
2
m
K
.
2
(5.1.2)
Кинетическая энергия системы есть
функция состояния движения этой системы.
K – аддитивная величина:
m
K 
,
2
2
n
i
i 1
i
Энергия измеряется в СИ в единицах
произведения силы на расстояние, т.е.
в ньютонах на метр: 1 Н  м  1Дж
Кроме того, в качестве единицы
измерения
энергии
используется
внесистемная единица – электронвольт (эВ): 1 эВ = 1,6 1019 Дж.
Связь кинетической энергии с импульсом p.
m  m  m 
,
 
2  m  2m
2
Т.к.
2
p
K
.
2m
2
2
отсюда
Связь кинетической энергии с работой.
Если постоянная сила действует на
тело, то оно будет двигаться в направлении
силы. Тогда, элементарная работа по
перемещению тела из т. 1 в т. 2, будет равна
произведению силы F на перемещение dr :
dA  Fdr
dA  Fdr ,
2
A   Fdr.
отсюда
d
F  ma  m ,
dt
1
Т.к. нам известно, что
а dr  dt , тогда после замены получим
выражение для работы:
m m
A   Fdr  m d 

.
2
2
2
2
2
2
1
1
Окончательно получаем:
2
A   Fdr  K  K .
2
1
1
2
1
Следовательно,
работа
силы
приложенной к телу на пути r численно
равна изменению кинетической энергии
этого тела:
(5.1.4)
A  K .
Или
изменение
кинетической
энергии dK равно работе внешних сил:
dK  dA.
Работа, так же как и кинетическая
энергия, измеряется в джоулях.
Скорость совершения работы (передачи
энергии) называется мощность.
Мощность
есть
работа,
совершаемая в единицу времени.
Мгновенная
или
мощность
dr
N  F  F .
dt
Средняя мощность
dA
N
dt
A
 N  .
t
Измеряется мощность в ваттах. 1 Вт = 1 Дж/с.
5.2. Консервативные силы и
системы
Кроме контактных взаимодействий,
наблюдаются
взаимодействия
между
телами, удаленными друг от друга.
Подобное взаимодействие осуществляется
посредством физических полей (особая
форма материи).
Каждое тело создает вокруг себя
поле, которое проявляет себя именно
воздействием на другие тела.
Силы, работа которых не зависит
от пути, по которому двигалось тело, а
зависит от начального и конечного
положения
тела
называются
консервативными.
Обозначим A – работа консервативных
сил, по перемещению тела из т. 1 в т. 2
Рисунок 5.2
A1a 2  A1b 2  A1l 2  A12 .
Изменение направления движения на
противоположное – вызывает изменение
знака работы консервативных сил. Отсюда
следует, что работа консервативных сил
вдоль замкнутой кривой равна нулю:
 Fdr  A  A  A  A  0
12
21
12
12
S
Интеграл по замкнутому контуру S,
(5.2.1)

 Fdr
S
– называется циркуляцией вектора

F
Если
циркуляция
какого-либо
вектора силы равна нулю, то эта сила
консервативна.
Консервативные силы: сила тяжести,
электростатические силы, силы центрального
стационарного поля.
Неконсервативные силы: силы
трения, силы вихревого электрического поля.
Консервативная система – такая,
внутренние
силы
которой
только
консервативные, внешние – консервативны
и стационарны.
Пример
консервативных
сил
–
гравитационные силы (рисунок5.3).
Рисунок 5.3
Работа по подъему тела массы m на
высоту h, равна:
A21  mgh
С другой стороны
A  mgl cos α  mgh
2 '1
A2'1  A21  mgh
Из примера видно, что работа не
зависит от формы пути, значит, силы
консервативны, а поле этих сил
потенциально.
5.3. Потенциальная энергия
Если на систему материальных тел
действуют консервативные силы, то
можно ввести понятие потенциальной
энергии.
Работа, совершаемая консервативными
силами при изменении конфигурации
системы, то есть при изменении положения
тел относительно системы отсчета, не
зависит от того, как было осуществлено это
изменение. Работа определяется только
начальной и конечной конфигурациями
системы:
A  U U ,
12
1
2
(5.3.1)
здесь потенциальная энергия U (х, у, z) –
функция состояния системы, зависящая
только от координат всех тел системы
в поле консервативных сил.
Итак, K – определяется скоростью
движения тел системы, а U – их взаимным
расположением.
Из (5.3.1) следует, что работа
консервативных
сил
равна
убыли
потенциальной энергии:
dA  dU .
Потенциальная энергия при
гравитационном взаимодействии
Нет единого выражения для U. В разных
случаях она определяется по-разному.
Работа тела при падении
Или
A  U U .
A  mgh.
0
Условились считать, что на поверхности
земли (h  0), U 0  0
тогда U  A т.е.
(5.3.2)
U  mgh.
Для
случая
гравитационного
взаимодействия между массами M и m,
находящимися на расстоянии r друг от
друга, потенциальную энергию можно
найти по формуле:
Mm
U  γ
.
r
Кино
(5.3.3)
Диаграмма потенциальной энергии гравитационного
притяжения масс M и m.
Рисунок 5.4
Здесь полная энергия E  K  U .
Отсюда легко найти кинетическую энергию:
K  E U.
Потенциальная энергия упругой
деформации (пружины)
Найдём работу, совершаемую при
деформации упругой пружины.
Сила упругости Fупр  kx,
Сила
непостоянна, поэтому элементарная работа
dA  Fdx  kxdx
знак минус говорит о том, что работа
совершенна над пружиной.
kx kx
A   dA    kxdx 
 ,
2
2
x2
x1
2
2
1
2
(5.3.4)
Т.е. A  U 1
тогда
U
2
Примем:
kx
U
.
2
U  0, U  U
2
1
2
(5.3.5)
Диаграмма потенциальной энергии пружины.
Здесь E  K  U – полная механическая энергия
системы, К – кинетическая энергия в точке x1
Связь между потенциальной энергией и
силой
Пространство,
в
котором
действуют
консервативные
силы,
называется потенциальным полем.
Каждой точке потенциального поля

соответствует некоторое значение силы F
действующей на тело, и некоторое значение
потенциальной энергии U.

Значит, между силой F и U должна быть
связь.
Т.к. dA  dU
с другой
стороны,
следовательно,
отсюда
 
dA  Fd r
 
Fd r  dU

dU
F  .
dr
(5.3.6)
Проекции вектора силы на оси координат:
U
F 
;
x
x
U
U
.
F 
; F 
z
y
y
z
(5.3.7)
Вектор
проекции.
силы
можно
записать
через

U 
 U U
F  
i
j
k
y
z 
 x
или
где

F  gradU ,



grad  i  j  k .
x y
z
(5.3.8)



grad  i  j  k .
x y
z
Градиент – это вектор, показывающий
направление наибыстрейшего увеличения
функции.
 Т.к. в формуле стоит знак «минус», то
F направлен в сторону наибыстрейшего
уменьшения U.
F  gradU ,
5.4. Закон сохранения
механической энергии
Закон сохранения сводит воедино
результаты, полученные нами раньше.
В сороковых годах девятнадцатого века
трудами Р. Майера, Г. Гельмгольца и Дж.
Джоуля (все в разное время и независимо
друг от друга) был доказан закон
сохранения и превращения энергии.
Джоуль Джеймс Прескотт
(1818 –1889) – английский
физик, один из
первооткрывателей закона
сохранения энергии.
Первые уроки по физике ему давал
Дж. Дальтон, под влиянием которого
Джоуль начал свои эксперименты. Работы
посвящены механике, электромагнетизму,
кинетической теории газов.
Рассмотрим систему, состоящую из
N-частиц.
Силы взаимодействия
между

(F ) - консервативные.
частицами
внутр.
Кроме внутренних сил на частицы
действуют внешние консервативные и
неконсервативные силы, т. е.
рассматриваемая система частиц или
тел консервативна.
Для консервативной
частиц
можно
найти
энергию системы:
E  K U
внутр.
U
Для
механической
сохранения
звучит
внеш .
системы
полную
 const
энергии
закон
так:
полная
механическая
энергия
консервативной системы материальных
точек остаётся постоянной.
Для замкнутой системы, т.е. для
системы на которую не действуют внешние
силы, можно записать:
(5.4.2)
E  K  U  const
внутр.
т.е. полная механическая энергия
замкнутой системы материальных
точек, между которыми действуют
только
консервативные
силы,
остаётся постоянной.
Если в замкнутой системе действуют
неконсервативные
силы,
то
полная
механическая
энергия
системы
не
сохраняется – частично она переходит в
другие виды энергии – неконсервативные.
Система, в которой механическая
энергия переходит в другие виды
энергии,
называется
диссипативной,
сам
процесс
перехода называется диссипацией
энергии.
В диссипативной, изолированной от
внешнего воздействия системе остаётся
постоянной сумма всех видов энергии
(механической, тепловой и т.д.) Здесь
действует
общий
закон
сохранения
энергии.
Этот процесс хорошо демонстрирует
маятник Максвелла. Роль консервативной
внешней
силы
здесь
играет
гравитационное поле. Маятник прекращает
свое движение из-за наличия внутренних
неконсервативных
сил
(сил
трения,
сопротивления воздуха).
Максвелл Джеймс Клерк (1831 –
1879) – английский физик. Работы
посвящены
электродинамике,
молекулярной физике, общей
статике, оптике, механике, теории
упругости. Установил статистический закон,
описывающий распределение молекул газа по
скоростям. Самым большим достижением
Максвелла
является
теория
электромагнитного поля, которую он
сформулировал в виде системы нескольких
уравнений,
выражающих
все
основные
закономерности электромагнитных явлений.
5.5. Условие равновесия
механической системы
Механическая
система
будет
находиться в равновесии, если на неё не
будет действовать сила.
Это
условие
необходимое,
но
недостаточное, так как система может при
этом
находиться
в
равномерном
и
прямолинейном движении.
x
2
Рисунок 5.6
Рассмотрим пример,
изображенный на рис 5.6.
Здесь, даже при
отсутствии силы, положение в точке x2 нельзя
назвать устойчивым
равновесием
И так, по определению Fx
– условие равновесия системы.
Мы знаем, что
0

U
F 
x
x
U
0

x
система
При
будет находиться в
состоянии равновесия
U
0
x
При x ,
2
при
xxи xx,
U  max
1
2
– состояние
неустойчивого равновесия.
При x1 , U  min – система находится в
устойчивом равновесии.
Следовательно,
достаточным
условием
равновесия
является
равенство минимуму значения U (это
справедливо не только для механической
системы, но, например и для атома).
5.6. Применение законов
сохранения
5.6.1. Абсолютно упругий
центральный удар
При абсолютно неупругом ударе закон
сохранения механической энергии не
работает.
Применим
закон
сохранения
механической энергии для расчета скорости
тел при абсолютно упругом ударе – это
такой удар, при котором не происходит
превращения механической энергии в
другие виды энергии.
Удар частиц
Ударом точечных частиц будем называть
такое механическое взаимодействие
- при непосредственном контакте
- за бесконечно малое время
при котором частицы обмениваются
- энергией и
- импульсом
при условии, что
система частиц остается замкнутой
--------------------------------------------------------Различают два вида ударов
абсолютно неупругий удар
такой удар, при котором после удара частицы
движутся как единое целое
и абсолютно упругий удар
удар, при котором после удара частицы
движутся с различными скоростями и в
течении удара выполняются законы сохранения
(энергии и импульса)
p'1
E12
p'2
E21
Абсолютно упругий удар бывает двух типов
- нецентральный удар
- центральный удар
Рисунок 5.7
На рисунке 5.7 изображены
два
шара
 
m1 и m2. Скорости шаров 1   2 (поэтому,
хотя скорости и направлены в одну сторону
все равно будет удар).
Систему можно считать замкнутой.
Кроме того, при абсолютно упругом ударе
она консервативна.


Обозначим  '1 и  '2
– скорости
шаров после их столкновения.
В данном случае можно воспользоваться
законом
сохранения
механической
энергии и законом сохранения импульса
(в проекциях на ось x):
m  m   m '  m  '

2
2
2
 2

m  m   m '  m  '.
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
По ЗСЭ
По ЗСИ
Решив эту систему уравнений относительно
 '1 и  '2 получим
2m   (m  m )
' 
;
m m
2
2
1
2
1
1
1
2
2m  (m  m )
' 
m m
1
1
2
1
2
2
1
2
Таким образом, скорости шаров после
абсолютно упругого удара не могут быть
одинаковыми
по
величине
и
по
направлению.
Рассмотрим теперь абсолютно упругий
удар шара о неподвижную массивную
стенку.
Стенку
можно
рассматривать
как
неподвижный шар с  2  0 массой m2  
Разделим числитель и знаменатель на m2
и пренебрежем m1 / m2 тогда
m

2    1
m
2  


' 

,
m
1
1
m
1
2
1
2
1
1
2
2
1
т.е.
Т.к.
 0
2
, то получим
 '  
1
1
m
Таким образом, шар
изменит
скорость на противоположную. (Демо)
1
5.6.2. Абсолютно неупругий
удар
Абсолютно неупругий удар – это
столкновение двух тел, в результате
которого
тела
объединяются
и
двигаются дальше, как единое целое.
Продемонстрировать
абсолютно
неупругий удар можно с помощью шаров из
пластилина (глины), движущихся навстречу
друг другу.
Если массы шаров m1 и m2, их скорости
до удара 1 и  2
то используя закон
сохранения импульса, можно записать
m  m   (m  m )

1
1
2
2
1
2
(5.6.1)
где  – скорость движения шаров после
удара. Тогда:
m  m 

.
m m
1
1
2
1
2
2
(5.6.2)
Если шары двигались навстречу друг
другу, то они вместе будут продолжать
двигаться в ту сторону, в которую двигался
шар, обладающий большим импульсом. В
частном случае, если массы и скорости
шаров равны, то

 
1
2
2
0
Выясним, как меняется кинетическая
энергия
шаров
при
центральном
абсолютно неупругом ударе.
Так как в процессе соударения шаров
между ними действуют силы, зависящие не
от самих деформаций, а от их скоростей, то
мы имеем дело с силами, подобными
силам трения, поэтому закон сохранения
механической
энергии
не
должен
соблюдаться. Вследствие деформации
происходит «потеря» кинетической энергии,
перешедшей в тепловую или другие формы
энергии (диссипация энергии). Эту
«потерю» можно определить по разности
кинетических энергий до и после удара:
m m   (m  m )

K  


2 
2
 2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
Отсюда, получаем
mm
    .
K 
2(m  m )
1
2
2
1
1
2
(5.6.3)
2
Если
ударяемое
первоначально неподвижно
тело
было
то
 0
m
m m

, K 
.
m m
m m 2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
Когда m2  m1 (масса неподвижного
тела очень большая), то
  1 и почти
вся кинетическая энергия при ударе
переходит в другие формы энергии.
Поэтому,
например,
для
получения
значительной
деформации
наковальня
должна быть массивнее молотка.
Когда m2  m1 ,
тогда   1 и практически вся
энергия
затрачивается
на
возможно
большее перемещение, а не на остаточную
деформацию (например, молоток – гвоздь).
Абсолютно неупругий удар –
пример того, как происходит
«потеря» механической энергии
под действием диссипативных
сил.
Удар с частичной потерей энергии
Промежуток времени, в
течение
которого
длится
удар, обычно очень мал (на
практике ~10-4..10-5 с), а
развивающиеся на площадках контакта соударяющихся
тел силы (т. н. ударные или
мгновенные) очень велики.
За время удара они изменяются в широких пределах
и достигают значений, при
которых средние величины
давления (напряжений) на
площадках контакта имеют
порядок 104 и даже 105 атм.
Ввиду
малости
времени
удара,
импульсами
всех
неударных
сил,
таких,
например, как сила тяжести, а
также перемещениями точек
тела
за
время
удара
пренебрегают.
Удар с частичной потерей энергии
На анимации изображён
следующий
эксперимент.
Шарик,
движущийся
со
скоростью u = 5 м/с, налетает
на
массивную
стенку,
движущуюся ему навстречу
со скоростью v = 2 м/с.
k = W/W0 = 0,64.
Скорость, с которой он
отскакивает от стенки равна
V = v(1+k1/2) + uk1/2 = 7,6 м/с.
Тот же ответ можно получить
используя
коэффициент
восстановления
K = (V-v)/(u+v) = 0,8
5.6.3. Движение тел с
переменной массой
Рассмотрим теперь системы, массы
которых изменяются. Такие системы можно
рассматривать как своего рода неупругое
столкновение. В этом случае импульс
системы:


p  Mц.м.
(5.6.4)
Полный импульс системы частиц
равен
произведению
полной
массы

системы М на скорость её центра масс ц.м. .
Если продифференцировать обе части
равенства по времени, то при условии, что
M постоянна, получим:



d
dp

M
 Ma  F , (5.6.5)
dt
dt

F – внешняя результирующая сила,
внеш.
ц.м.
ц.м.
где
приложенная к системе. Необходимо очень
тщательно определять систему и учитывать
все изменения ее импульса.
внешн.
Важным примером систем с
переменной массой являются ракеты,
которые движутся вперед за счет
выбрасывания назад сгоревших газов;
при этом ракета ускоряется силой,
действующей на нее со стороны газов.
Масса М ракеты все время уменьшается,
т.е. dM / dt  0
Другим
примером
систем
с
переменной массой представляет собой
погрузка сыпучих или иных материалов на
транспортерную ленту конвейера; при этом
масса
М
нагруженного
конвейера
возрастает, т.е. dM / dt  0
Рассмотрим
движение
тел
с
переменной массой на примере ракеты.
Реактивное движение основано на
принципе отдачи. В ракете при сгорании
топлива газы, нагретые до высокой
температуры, выбрасываются из сопла с
большой скоростью  г .
Ракета и выбрасываемые газы
взаимодействуют между собой по закону
сохранения импульса: mр υ р  mг υ г .
На основании этого закона конечная
скорость ракеты:
 M 0  (5.6.6)
υ р   υ г ln 
,
 M0 
υ р   υ г ln 
,
M 
где υ г –
относительная
скорость
выбрасываемых газов, М0 и М – начальная
и конечная массы ракеты.
Это соотношение в физике называют
формулой Циолковского. Из него следует,
что для достижения скорости υρ в 4 раза
превышающей по модулю относительную
скорость выбрасываемых газов, стартовая
масса одноступенчатой ракеты должна,
примерно в 50 раз, превышать ее конечную
массу.