Лекция 5. Законы сохранения

ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ









1. Кинетическая энергия. Работа и мощность
2. Консервативные силы и системы
3. Потенциальная энергия
4. Закон сохранения механической энергии
5. Условие равновесия механических систем
6. Применение законов сохранения
6.1. Абсолютно упругий, центральный удар
6.2. Абсолютно неупругий удар
6.3. Движение тел с переменной массой
Кинетическая энергия.
 Уравнение
движения тела
под действием
внешней силы
имеет вид:
 В проекции на
направление
движения:

d 
m
 F,
dt
d
m
 F
dt
Кинетическая энергия.
 Умножим обе части скалярного
равенства на  dt  dr , получим:
m d  F dr .
 Левая часть равенства, есть полный
дифференциал некоторой
2


m

функции: m d  d

 2 
или
 m 2 
  Fτ dr .
d
 2 
Кинетическая энергия.
 Если полный дифференциал некоторой
функции, описывающей поведение
системы равен нулю, то эта функция
может служить характеристикой
состояния данной системы.
 Функция состояния системы,
определяемая только скоростью ее
движения, называется кинетической
энергией.
m 2
K
2
.
Кинетическая энергия.
 Кинетическая энергия системы есть
функция состояния движения этой
системы. K – аддитивная величина:
m i i2
K 
,
2
i 1
n
 K – относительная величина, её
значение зависит от выбора

системы координат (так же, как и 
– относительная величина).
Связь кинетической энергии с
работой
 Теперь рассмотрим связь
кинетической энергии с работой.
 Если постоянная сила действует на
тело, то оно будет двигаться в
направлении силы. Тогда,
элементарная работа по
перемещению тела из т. 1 в т. 2,
будет равна произведению силы F
d A  Fd r ,
на перемещение dr:
2
A   Fdr .
 отсюда
1
Связь кинетической энергии с
работой
 Так как F  ma  m d , а dr  dt , после
замены получимdtвыражение для работы:
m  22 m  12
A   F d r  m  d  

.
2
2
1
1
 Следовательно, работа силы
приложенной к телу на пути r численно
равна изменению кинетической энергии
этого тела.
 Или изменение кинетической энергии dK
равно работе всех сил, приложенных к
телу:
2
2
dK  dA.
Мощность
 Скорость совершения работы (передачи
энергии) называется мощностью.
 Мощность есть работа, совершаемая в
единицу времени.
dA
N

 Мгновенная мощность
dt
 или
NF
dr
 F .
dt
 Средняя мощность
 N 
A
.
t
Консервативные силы и
системы
 Кроме контактных взаимодействий
наблюдаются взаимодействия между телами,
удаленными друг от друга. Подобное
взаимодействие осуществляется посредством
физических полей (особая форма материи).
Каждое тело создает вокруг себя поле,
которое проявляет себя именно воздействием
на другие тела.
 Силы, работа которых не зависит от пути, по
которому двигалось тело, а зависит от
начального и конечного положения тела
называются консервативными.
Консервативные силы и
системы

 Интеграл по замкнутому контуру S,  Fdr
– называется циркуляцией вектора .
Следовательно, если циркуляция какого-либо
вектора силы равна нулю, то эта сила
консервативна.
 Консервативные силы: сила тяжести,
электростатические силы, силы центрального
стационарного поля.
 Неконсервативные силы: силы трения, силы
вихревого электрического поля.
 Консервативная система – такая, внутренние
силы которой только консервативные,
внешние – консервативны и стационарны.
S
Потенциальная энергия
 Если на систему материальных тел
действуют консервативные силы, то
можно ввести понятие потенциальной
энергии.
 Работа, совершаемая консервативными
силами при изменении конфигурации
системы, то есть при изменении
положения тел относительно системы
отсчета, не зависит от того, как было
осуществлено это изменение. Работа
определяется только начальной и
конечной конфигурациями системы.
A12  U1  U2 ,
Потенциальная энергия
 здесь потенциальная энергия U (х, у, z) –
функция состояния системы, зависящая только
от координат всех тел системы в поле
консервативных сил.
 Итак, кинетическая энергия K – определяется
скоростью движения тел системы, а
потенциальная энергия U – их взаимным
расположением.
A12  U1  U2 ,
 Из
следует, что работа консервативных
сил равна убыли потенциальной энергии:
dA  dU .
 Нет единого выражения для U. В разных случаях
она определяется по-разному.
Потенциальная энергия при
гравитационном взаимодействии
A  mgh .
 Работа тела при падении
A  U  U0 .
 Но
 Условились считать, что на поверхности
земли (h  0 ), U 0  0
U  mgh .
 т. е.
 Для случая гравитационного
взаимодействия между массами M и m,
находящимися на расстоянии r друг от
друга, потенциальную энергию можно
найти по формуле
Mm
U  
.
r
Потенциальная энергия при
гравитационном взаимодействии
Потенциальная энергия упругой
деформации пружины
 Найдём работу, совершаемую при
деформации упругой пружины.
 Сила упругости Fупр   kx,
 Сила непостоянна, поэтому
элементарная работа dA  Fdx  kxdx ;
знак минус говорит о том, что
работа совершена над пружиной.
2
2
x
kx
kx
1
2
 Отсюда: A   dA    kxdx   ,
2
x1
2
2
Потенциальная энергия упругой
деформации пружины
 Т.е.
A  U1  U 2
 Примем U 2  0 ; U1  U
 Тогда
kx 2
U
2
 Диаграмма потенциальной энергии пружины
Связь между потенциальной
энергией и силой
 Пространство, в котором действуют
консервативные силы, называется
потенциальным полем.
 Каждой точке потенциального поля

соответствует некоторое значение силы F
, действующей на тело, и некоторое
значение потенциальной энергии U.

 Значит, между
  силой F и U должна быть
связь dA  Fdr , с другой стороны, dA  dU
 
 Следовательно, Fdr  dU или

dU
F

dr
Связь между потенциальной
энергией и силой
 Вектор силы можно записать через
проекции:   U U U 


F  
i
j
k
y
z 
 x
 Или F   gradU ,
где



grad  i  j  k .
x y  z
 Градиент – это вектор, показывающий
направление наибыстрейшего
изменения

функции. Следовательно, F направлен в
сторону наибыстрейшего уменьшения U.
Закон сохранения
механической энергии
 Рассмотрим систему, состоящую из N
материальных точек (частиц).
 Пусть на такую систему действуют
внешние силы. Они могут быть
консервативные и неконсервативные.
 Внутри системы также могут действовать
консервативные и неконсервативные
(диссипативные) силы.
 Как было показано выше, работа этих
сил равна изменению кинетической
энергии системы частиц:
Закон сохранения
механической энергии
 Т.е.: A  Ai  dTi  dTi  dT .
 Таким образом, приращение
кинетической энергии dT системы
частиц равно работе всех сил,
действующих на систему извне и
внутри системы.
потенц
диссип
 Aвн
 Т.е. dT  Aвн  Aвнутр  Aвн  Aвн
 Теперь учтем, что:
потенц
Aвн
 dU
Закон сохранения
механической энергии
диссип
 Тогда, dT  dU  Aвнешн  Aвн
 В левой части этого выражения стоит
приращение полной механической
энергии.
 Отсюда следует один из важнейших
законов механики – закон сохранения
механической энергии.
 Если в замкнутой системе диссипативные
силы отсутствуют, то ее полная
механическая энергия сохраняется в
процессе движения системы.
Закон сохранения
механической энергии
 Необходимо отметить, что понятие
замкнутой консервативной системы это
идеализация.
 Наиболее хорошим приближением
является Солнечная система. В земных
условиях консервативные системы
реализуются лишь грубо приближенно.
 Если система неконсервативная, то
полная механическая энергия такой
системы убывает.
Закон сохранения
механической энергии
 Однако, это не противоречит
универсальному закону сохранения
энергии.
 При решении конкретных задач,
необходимо помнить, что разделение сил
на внешние и внутренние зависит от
выбора интересующей нас системы.
 Т.е. только после выбора системы частиц
можно делить силы на внутренние и
внешние.
Закон сохранения
механической энергии
 В заключении отметим, что для
неинерциальных систем отсчета под
работой внешних сил следует
понимать не только работу внешних
сил, но и работу сил инерции, т.е.
E2  E1  Aин  Aвнеш 
диссипат
Aвн
Условие равновесия
механической системы
 Механическая система
будет находиться в
равновесии, если на неё не
будет действовать сила. Это
условие необходимое, но
недостаточное, так как
система может при этом
находиться в равномерном
и прямолинейном
движении.
 Рассмотрим пример,
изображенный на рисунке.
Здесь, даже при отсутствии
силы, положение в точке
нельзя назвать устойчивым
равновесием.
Условие равновесия
механической системы
 Таким образом, по определению Fx  0
– условие равновесия системы.

 Из F   Ux имеем, что при Ux  0
система будет находится в
равновесии.
Именно так находят
.
положение точек экстремума.
U
 x  0 при x  x1 и x  x2 ,
x
Условие равновесия
механической системы
 но при х=х2 U  max - состояние
неустойчивого равновесия;
 при х=х1 U  min - система находится в
устойчивом равновесии.
 Следовательно, достаточным условием
равновесия является равенство минимуму
значения U (это справедливо не только
для механической системы, но, например
и для атома).
Абсолютно упругий
центральный удар
 Абсолютно упругий
удар – это такой
удар, при котором
не происходит
превращения
механической
энергии в другие
виды энергии.
 Рассмотрим два
шара, движущиеся
в одном
направлении с
разными
скоростями
( см. рисунок).
1   2
Абсолютно упругий
центральный удар
 Систему можно считать замкнутой.
Кроме того, при абсолютно упругом
ударе она консервативна.


 Обозначим  '1 и  '2 – скорости шаров
после их столкновения.
 Можно воспользоваться законом
сохранения механической энергии и
законом сохранения импульса (в
проекциях на ось x):
Абсолютно упругий
центральный удар
 Запишем:
 m112 m2 22 m1 '12 m2 '22




2
2
2
2

 m   m   m  '  m  '.
2 2
1
1
2 2
 1 1
 Решив эту систему уравнений
относительно  '1 и  '2 , получим:
2m2 2  (m1  m2 )1
 '1 
;
m1  m2
2m11  (m2  m1 ) 2
 '2 
m1  m2
 Таким образом, скорости шаров после
абсолютно упругого удара не могут быть
одинаковыми по величине и по
направлению.
Абсолютно упругий
центральный удар
 Рассмотрим теперь абсолютно упругий
удар шара о неподвижную массивную
стенку.
 Стенку можно рассматривать
какm2  
2  0
неподвижный шар с
, массой
Разделим числитель и знаменатель на
m2 и пренебрежем m1/m2.
 m1

2 2  
 1  1
 Тогда
 '1 
 m2

m1
1
m2
2 2   1

1
Абсолютно неупругий удар
 Абсолютно неупругий удар – это
столкновение двух тел, в результате
которого тела объединяются и
двигаются дальше, как единое целое.
 Продемонстрировать абсолютно
неупругий удар можно с помощью
шаров из пластилина (глины),


движущихся навстречу друг
1 идругу.
2
 Если массы шаров m1 и m2,
их
скорости до удара , то используя закон
сохранения импульса,
можно записать:

m11  m22  (m1  m2 )
Абсолютно неупругий удар

 Выразим - вектор скорости обоих


шаров после удара:
 m11  m2 2

.
m1  m2
 Если шары двигались навстречу друг
другу, то они вместе будут продолжать
двигаться в ту сторону, в которую
двигался шар, обладающий большим
импульсом. В частном случае, если
массы и скорости шаров равны, то

1   2
2
0
Абсолютно неупругий удар
 Выясним, как меняется кинетическая энергия
шаров при центральном абсолютно неупругом
ударе.
 Так как в процессе соударения шаров между
ними действуют силы, зависящие не от самих
деформаций, а от их скоростей, то мы имеем
дело с силами, подобными силам трения,
поэтому закон сохранения механической
энергии не должен соблюдаться.
 Вследствие деформации происходит «потеря»
кинетической энергии, перешедшей в
тепловую или другие формы энергии.
Абсолютно неупругий удар
 Эту «потерю» можно определить по
разности кинетических энергий до и
после удара: K   m   m    (m  m )
2
1 1
 2

2
2 2
2 
2
1
m1m2
1   2 2 .
K 
2(m1  m2 )
2
2
 Или
 Если ударяемое тело было сначала
неподвижно (  2  0 ), то
m11

,
m1  m2
m2
m112
K 
.
m1  m2 2
Абсолютно неупругий удар
 Когда m2  m1 (масса неподвижного тела
очень большая), то   1 и почти вся
кинетическая энергия при ударе
переходит в другие формы энергии.
 Поэтому для получения значительной
деформации, например, наковальня
должна быть массивнее молотка.
 Когда m2  m1 , тогда   1 и практически
вся энергия затрачивается на возможно
большее перемещение, а не на
остаточную деформацию (например,
молоток – гвоздь).
Движение тел с переменной
массой

Рассмотрим теперь системы, массы
которых изменяются. Такие системы
можно рассматривать как своего рода
неупругое столкновение. В этом случае
импульс системы:


p  M ц.м.
 Полный импульс системы частиц равен
произведению полной массы системы М

на скорость её центра масс  ц.м. .
Движение тел с переменной
массой
 Если продифференцировать обе части
равенства по времени, то при условии,
что M постоянна, получим:

 внеш.
d ц.м.

dp
dt
M
dt
 Maц.м.  F
,
 Важным примером систем с переменной
массой являются ракеты, которые
движутся вперед за счет выбрасывания
назад сгоревших газов; при этом ракета
ускоряется силой, действующей на нее со
стороны газов. Масса М ракеты все время
уменьшается, т.е: dM / dt  0
Движение тел с переменной
массой
 Другим примером систем с переменной
массой представляет собой погрузка
сыпучих или иных материалов на
транспортерную ленту конвейера; при
этом масса М нагруженного конвейера
возрастает, т.е. dM / dt  0 .
 Рассмотрим движение тел с
переменной массой на примере
ракеты.
Движение тел с переменной
массой
 Реактивное движение основано на
принципе отдачи.
 В ракете при сгорании топлива
газы, нагретые до высокой
температуры, выбрасываются из
сопла с большой скоростью  г .
 Ракета и выбрасываемые газы
взаимодействуют между собой по
закону сохранения импульса:
mр р  mг г .
Движение тел с переменной
массой
 На основании этого закона конечная
скорость ракеты:
 M0 
 р   г ln
,
 M

– относительная
скорость
 где
выбрасываемых газов, М0 и М – начальная
r
и конечная
массы ракеты. Это соотношение
в физике называют формулой
Циолковского. Из него следует, что для
достижения скорости , в 4 раза
превышающей по модулю относительную

скорость выбрасываемых газов, стартовая
масса одноступенчатой ракеты должна,
примерно в 50 раз, превышать ее конечную
массу.
