Задания контрольной работы для студентов отделения «Математика» по дисциплине «Теория случайных процессов»

Задания контрольной работы
для студентов отделения «Математика»
по дисциплине «Теория случайных процессов»
IV курс
1. Препарат облучается потоком радиоактивных частиц через равные интервалы времени t . Вероятность того, что за время облучения препарат поглотит r
радиоактивных частиц, определяется формулой  r 
a r a
e . Каждая радиоактивная
r!
частица, содержащаяся в препарате за время между двумя последовательными обручениями можно распасться с вероятностью q. Определить предельные вероятности числа частиц в препарате.
2. Число Х дефектных изделий в каждой независимой выборке объема N из
бесконечно большой партии подчиняется биноминальному закону, т.е.
P( X  k )  pk CNk p k q N k (k  0,1,..., N , q  1  p . Если при очередной выборке получено r дефектных изделий, то считается, что по условиям приема партия изменила свое предыдущее состояние Q на Q r 1 , причем партия бракуется, если
  r  1  m , и принимается, когда   r  1  0 . Определить вероятность того, что
партия будет принята, если начальное состояние партии по условиям приема
Q j , j  1,2,..., m  1 .
3. При данной серии выстрелов каждый стрелок группы с равной вероятностью получает любое количество очков от N+1 до N+m. Определить вероятность
того, что среди следующих n стрелков из этой группы хотя бы один стрелок получит N+k очков, если наибольше число очков, полученных предыдущими стрелками, равно N+l ( k  i  1,2,..., m ).
4. Система может находиться в одном из состояний Q0 , Q1 , Q2 ,..., переходя
за время t состояние с номером, на единицу большим, с вероятностью
t  o(t ) . Найти вероятности Pik (t ) перехода системы из состояния Qi в состояние Qk (k  i ) за время t.
5. Система массового обслуживания состоит из m приборов, каждый из которых может обслужить одновременно только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону с параметром . В систему поступает простейший поток требований с параметром . Обслуживание требования начинается сразу после его поступления, если в этот момент имеется хотя бы один свободный прибор; в противном случае требование получает отказ и не возвращается в систему. Определить предельную вероятность
отказа в обслуживании.
6. Клиенты, обращающиеся в мастерскую бытового обслуживания, образуют
простейший поток с параметром .
Каждый клиент обслуживается одним мастером в течении случайного времени, подчиняющегося показательному закону с параметром . В случае отсутствия свободных мастеров клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить, сколько необходимо иметь мастеров, чтобы вероятность отказа клиенту в
немедленном обслуживании не превосходила 0,015, если
 =.
7. Два стрелка А и В поочередно стреляют по мишеням, причем после каждого попадания стреляет А, а после каждого промаха стреляет В. Право первого
выстрела стрелкам предоставляется на тех же условиях по результату предварительного выстрела, который производит наудачу выбранный стрелок. Определить
вероятность поражения мишени n - м выстрелом независимо от предыдущих попаданий, если вероятности поражения мишени при каждом выстреле для этих стрелков равны соответственно  и .
8. Поток поступления неисправной аппаратуры в мастерскую гарантийного
ремонта является простейшим с параметром  =10ед./час. Продолжительность ремонта одной единицы является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения с параметром =5ед./час. Определить среднее время, проходящее от момента поступления неисправной аппаратуры до начала ремонта, если в
мастерской 4 ремонтных рабочих, каждый из которых одновременно ремонтирует
только один прибор.
9. Составить уравнение Колмогорова для многомерного марковского процесса, компоненты которого U1 (t ), U 2 (t ),...,U n (t ) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
dU j (t )
dt
  j (t ,U1 ,U 2 ,...,U n )  c j j (t ), j  1,2,..., n ,
где  j - заданные непрерывные функции, c j - заданные постоянные, а  j (t ) - независимые случайные функции, обладающие свойством «белого шума», т.е.
 j (t )  0, K ( )   ( ) .
j
10. Дано, что U(t) – стационарный нормальный процесс,спектральная плотность которого
Su ( ) 

с 2 2
2
  2   2   4  2 2
2
,
где с,  и  - постоянные.
Показать, что U(t) можно рассматривать как компоненту многомерного
марковского процесса, определить число измерений процесса и коэффициенты
уравнений Колмогорова для этого процесса.
11. Определить коэффициенты уравнений Колмогорова для многомерного
марковского процесса, заданного системой уравнений
dU j (t )
dt
  j (t ,U1 ,U 2 ,...,U n )  Z j (t ), где z j (t )  0, M Z j (t ) Z l (t   )   jl (t ) ( )
j, l  1,2,..., n ,
а  j и  jl - заданные непрерывные функции своих аргументов.
12. Определить закон распределения ординаты случайной функции
U(t) для момента времени   0 , если
x2
dU  2
x 


  (t ),   0, K ( )   ( ), f 0 ( x)  2 e 2 a , U (t )  X ,
dt 2U
a
при t = 0 ( x  0 ).
2