N - MES conference

Теорема отсчетов
в приложении к задаче интерполирования данных
Ханян Гамлет Сократович
С.н.с., к.т.н., IEEE Member
khanian@mail.ru, dep007@rtc.ciam.ru
Центральный Институт Авиационного Моторостроения им. П.И. Баранова
111116, Россия, г. Москва, ул. Авиамотороная, 2, www.ciam.ru
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
1
Содержание

Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частот

Формула теоремы отсчетов как инструмент интерполирования данных

Интерполяционная формула Ньютона и метод полиномиальных сплайнов

Численные эксперименты по интерполированию тригонометрических функций

Сравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов

Обсуждение результатов исследования и выводы
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
2
Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частот

Формула для интерполирования отсчетов цифровой реализации сигнала
N 1
s (t )   s (tn )
n 0
sin (G  1) F (t  tn )  sin GF (t  tn )
; t n  t0  n / F , 0  t  T , N  F T
N sin  F (t  tn ) / N
верна для полигармонического сигнала с целыми и полуцелыми безразмерными частотами
M гармоник с номерами от P до Q:
Q
s (t )   am cos(2 f mt  m ) ;
m P
f m  (m  ) / T , am  0 ,    m  
 GN  N  1
N 

 , G    0 , {GN}  0
2


2
 P  [(GN  N  1) / 2]  [{G}  1 / 2](1  {G}) N  [ N / 2]

Q  [(GN  N  1) / 2]  [{G}  1/ 2]{G}N
M  Q  P  1 | {G}  1/ 2 | N  {N / 2}.
(Ханян Г.С., МЭС’2012)

Ограничимся для простоты нулевым индексом полосы G = 0, четным числом узлов интерполяции
(N mod 2=0) при t0=0, и введем безразмерное время n =Ft и безразмерную частоту m = f T, где Fчастота дискретизации, T - длительность сигнала. Тогда интерполяционная формула примет вид:
N 1
sin (n  n)
sn    sn
; 0  n  N

N
sin

(
n

n
)
/
N
n 0
и условию теоремы (тождественности преобразования: sn = sn )
будет удовлетворять гармонический сигнал с полуцелой частотой:
sn  a cos( 2mn / N  ) ; m  1 / 2 ,..., ( N  1) / 2.
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
3
Интерполяционная формула Ньютона
Рекуррентная формула для восстановления функции sn по ее N+1 эквидистантным отсчетам sn
s
(N )
n
s
( N 1)
n
(1) N  n sn N 1

(n  k ); 0  n  N ; N  1,2,3,...

n  0 n !( N  n)! k  0
N
N = 0 (кусочно-постоянная интерполяция)
sn( 0 )  s0
N = 1 (линейная интерполяция)
sn(1 )  s0  ( s0  s1 )n  (1  n) s0  ns1
N = 2 (квадратичная интерполяция)
sn( 2 )  s0 
3s0  4s1  s2
s  2s1  s2 2 (n  1)(n  2)
n(n  1)
n  0
n 
s0  n(n  2) s1 
s2
2
2
2
2
N = 3 (кубическая интерполяция)
n(n  1)
n(n  1)(n  2)
 ( s0  3s1  3s2  s3 )

2
6
11s  18s1  9s2  2s3
2s  5s1  4s2  s3 2 s0  3s1  3s2  s3 3
 s0  0
n  0
n 
n 
6
2
6
2
3
2
3
2
3
6  11n  6n  n
6n  5n  n
3n  4n  n
2n  3n2  n3

s0 
s1 
s2 
s3
6
2
2
6
sn(3 )  s0  ( s0  s1 )n  ( s0  2s1  s2 )
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
4
Интерполирование методом сплайнов и по формуле теоремы отсчетов
Интерполирование в серединных точках
n = n +1/2 с помощью:
Сплайны l=1,2,3,0-го порядка:
a) - линейного сплайна
sn( a)1 / 2 
n
sn  sn 1
2
n +1/2
n+3/2
n +1/2
n+3/2
n+5/2
b) - квадратичного сплайна
sn(b)1 / 2 
n
3sn  6sn 1  sn  2
8
c) - кубического сплайна
n
n +1/2
sn( c)1 / 2 
5sn  15 sn 1  5sn  2  sn 3
16
n
d) - кусочно-постоянного сплайна
e) - формулы теоремы отсчетов
s
(1) n

N
n +1
n +2
n +3
Используемые сплайны являются:
sn( d1) / 2  sn
(e)
n 1 / 2
n
(1) k sk

k  0 sin (n  1 / 2  k ) / N
N 1
s
(l , n )
n
l
  al ,m, n (n  n) m
- полиномиальными
m0
sn(l,1n)  sn(l ,n1) ; l  1,2,3
- непрерывными
sn(l, Nn )  sn(l ,n ) ; n  0,1,..., N  1 - периодическими
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
5
Численные эксперименты по интерполированию тригонометрических функций

Осциллограммы сигнала и отклонений от него результатов интерполирования
1 1
1
s  s n ; n  0, ,1, ,2,..., N  , N  1
2 2
2
s  s n( j )  s n ; j  a, b, c, d , e

За погрешность интерполяции принимается относительное (нормированное по амплитуде a) среднеквадратичное отклонение вычисленных ординат гармонического сигнала частоты m от известных:
1
 S (m) 
a
1
N
N 1
 (s
n 0
( j)
n 1 / 2
 sn 1/ 2 ) 2 ; 0  m  ( N  1) / 2 .
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
6
Сравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов
Зависимости погрешности
интерполяции S (m) от частоты
m сигнала, изменяющейся
с шагом  m =1/10 при числе
узлов N=32 и начальной фазе:
=/4, =/2, случайной.
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
7
Сравнение ошибки интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов
Зависимости погрешности
интерполяции S (m) от частоты
m сигнала, изменяющейся
с шагом  m =1/10, 2/N
при числе узлов N=128, 256
и начальной фазе =/4.
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
8
Заключение
 Исследованы
возможности
применения
формулы
теоремы
отсчетов для сигнала конечной длительности в качестве
вычислительного средства по интерполированию ограниченного
числа данных измерений колебательных процессов.
 Осуществлена компьютерная верификация доказанной в 2012 г.
версии
теоремы
отсчетов,
что
позволяет
расценивать
математические условия формулировки теоремы не только как
достаточные, но и как необходимые.
 Проведен сравнительный анализ погрешностей основанного на
теореме отсчетов метода интерполирования и методов
полиномиальных сплайнов первых трех порядков и показано
преимущество
над
ними
предлагаемого
в
работе
тригонометрического метода применительно к дискретным
полигармоническим сигналам.
VI Всероссийская научно-техническая конференция МЭС-2014
9