Лекция №2 Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов

Лекция №2
Выбор частоты дискретизации с помощью
функций отсчетов
Теорема Котельникова: произвольный сигнал,
непрерывный спектр которого не содержит частот выше

.f в  в 2 ,
может быть полностью восстановлен, если
известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через
равные интервалы времени
t  1
2 fв

в .
Теорема Котельникова устанавливает принципиальную возможность
полного восстановления детерминированного сигнала с
ограниченным спектром и указывает предельное значение шага
(интервала) дискретизации, при котором такое восстановление
возможно.
Доказательство теоремы
Пусть функция x(t ) , описывающая дискретизируемый
сигнал, имеет ограниченную спектральную плотность
S ( j ) , причем S ( j )  0 при   в .
Используя обратное преобразование Фурье, запишем:
x(t ) 
1
2
в


(2.1)
S ( j )e jt dt
в
Для любых моментов времени, например t  k t  k  в ,
где k  любое целое число, функция принимает вид:
1
x( k t ) 
2
в


в
S ( j )e
j
k
в

d
(2.2)
Доказательство теоремы
Рассматривая спектральную плотность как функцию
частоты с периодом 2в и периодически продолжая ее
с этим периодом, разложим ее в ряд Фурье на
интервале частот  в , в  :
k

j

(2.3)
в
S ( j )   Ck e
,
k 
где коэффициенты разложения в ряд Фурье равны:
1
Ck 
2в
в


S ( j )e
j
k
в

d .
(2.4)
в

x(k t ).
Сравнивая (2.2) и (2.4), получаем: Ck 
в
Доказательство теоремы
Выразим
S ( j ) через отсчеты исходной функции:
 
 j k t
(2.5)
S ( j ) 
x
(
k

t
)
e

в k 
Подставив (2.5) в выражение (2.1), определим значения
исходной функции в любой момент времени:

(2.6)
1
 
 j k t  jt
x(t ) 
  x(k t )e
e d .

2в   k 

Учитывая сходимость ряда Фурье, изменим порядок
суммирования и интегрирования:
в
в
1
x(t ) 
2в


k 
x(k t )
в


в
e j ( t  k t ) d 
(2.7)
Доказательство теоремы
Вычислив интеграл в (2.7), окончательно получим:

(2.8)
sin в (t  k t )
x(t )   x(k t )
в (t  k t )
k 
Итак, непрерывная функция с ограниченным спектром
может быть представлена множеством своих значений
(отсчетов), взятыми в моменты времени:
.
t  k t  k  в
Выражение (2.8) представляет собой ряд Котельникова, в котором роль
коэффициентов выполняют отсчеты функции
а
x ( k t ) ,
базисными являются функции отсчетов вида:
 k (t ) 
sin в (t  k t )
в (t  k t )
Свойства функций отсчетов.
1. Так как при любых целых числах n и
справедливы соотношения
k
в (nt  k t )  (n  k )в t  (n  k ) ,
очевидно:
sin в (t  k t ) 1 при t  k t

в (t  k t )
0 при t  nt , n  k .
Каждая из функций отсчетов k (t ) имеет неограниченную
протяженность во времени и достигает своего наибольшего
значения, равного 1, в моменты времени t  k t .
Относительно этого момента времени функция k (t ) симметрична.
В любые другие моменты времени, кратные t , функция k (t )
обращается в нуль.
Свойства функций отсчетов.
2. Функции отсчетов ортогональны с весом 1 на
бесконечно большом интервале времени:

1, k  l
k (t )l (t )dt  

0, k  l

Каждую функцию отсчета можно рассматривать как
реакцию (отклик) идеального фильтра нижних частот с
частотой среза fc  в 2  на дельта-импульс,
приходящий в момент времени t  k t и имеющий
площадь, равную x ( k t ).
Практические аспекты использования
теоремы Котельникова
С помощью теоремы Котельникова может быть выбран
оптимальный шаг дискретизации реального сигнала и оценена
возникающая при этом погрешность дискретизации. Однако
использование теоремы как точного утверждения по отношению к
реальным сигналам наталкивается на ряд принципиальных
трудностей.
• Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность и,
следовательно, обладает неограниченным спектром.
• Во-вторых, погрешность дискретизации возникает не только за
счет принудительного ограничения спектра, но и за счет
конечного числа отсчетов на интервале длительности сигнала,
которых, в соответствии с теоремой Котельникова, будет 2Tf гр.
Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом
бесконечного числа функций отсчетов, соответствующих
выборкам за пределами интервала T .
Практические аспекты использования
теоремы Котельникова
• В силу реальных свойств источников сигналов и ограниченности
полосы пропускания реальных приборов и систем спектр сигнала
с той или иной степенью точности можно считать ограниченным
некоторой предельной частотой. Чаще всего предельное
(граничное) значение частоты определяют на основе
энергетического критерия, согласно которому практическую
ширину спектра сигнала выбирают так, чтобы в ней была
сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Для этого
используют равенство Парсеваля, позволяющее определить
энергию сигнала Eс либо через функцию x(t ) , описывающую
реальный сигнал длительностью T , либо через модуль ее
спектральной плотности S ( ) :

Eс 


x(t ) dt 
2
Tп

0
x(t ) dt 
2
1

 0
S ( ) d 
2
Практические аспекты использования
теоремы Котельникова
• Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в
диапазоне частот от 0 до некоторого значения  гр , определяется
из соотношения:
1

 гр

0

S ( ) d 

2

 S ( )
2
d
0
Здесь  гр – граничная частота, определяющая верхнее значение
спектра сигнала;  – коэффициент, достаточно близкий к 1 (на
практике его значение выбирают в интервале от 0.9 до 0,998 в
зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала).
• Точность приближенного восстановления ограниченного во
времени сигнала по его отсчетам может быть оценена абсолютным
значением погрешности, называемой энергией погрешности:
E 
1




гр
S ( j ) d 
2