Дискретное преобразование Гильберта. Преобразование Гильберта (как и преобразование Фурье) играет важную роль в теории сигналов и систем. На его основе, напр., вводится понятие аналитического сигнала ^ Zs (t) S(t) jS(t) , ^ с мнимой частью S(t) в виде преобразованного по Гильберту исходного сигнала S(t) . Такое представление позволяет ставить и решать задачи фильтрации, модуляции и др. в более общем виде [10]. Здесь ограничимся вопросами реализации этого преобразования. В идеализированном случае преобразователь по Гильберту (ПГ), условно показанный на рисунке, можно рассматривать как линейную систему, КП и ИХ которой – по определению – равны: π K 0 (f) j sign(f) exp j sign(f) , f (- , ), 2 1 g 0 (t) , t (- , ). πt (86) Систему с такими характеристиками во всей области частот называют идеальным фазовращателем. 1, f 0, mod K 0 (f) 0, f 0, π argK 0 (f ) sign(f ) 2 Действительно, прямые расчеты [3] показывают, что для гармонических сигналов выполняются равенства a) S(t) ACos2πf 0 t, б) S(t) ASin2πf 0 t, ^ S(t) ASin2πf 0 t; ^ S(t) -ACos2πf 0 t. Они же справедливы и в более общем случае S(t) A(t)Cos(2πf 0 t (t)), ^ S(t) A(t)Sin(2πf 0 t (t)), если только A(t) и (t) - функции «медленные» по сравнению с функцией Cos2πf 0 t . Примечание: Для обратного преобразования Гильберта соответственно имеем K 0пг (f) K*0 (f), g0пг (t) g 0 (-t). Переходя к реализации ПГ, предварительно определим эталонные характеристики. Здесь воспользуемся (как и при дифференцировании) правилом (33). Усечение КП (86) по частоте дает K F (f) K 0 (f) П(f;2F), 1 1 Cos2πFt , πt K F (0) 0, g F (0) 0. g F (t) Здесь F - граничная преобразование. частота, (87) в пределах которой должно выполняться Далее смещаем ИХ g F (t) на отрезок T и усекаем её отрезком 2Т. В результате получим 1 1 Cos2πF(t T), t 0,2T , π(t-T) 1 K э (f) j V(f) exp j2πfT , π V(f) 2Si(2πfT) Si(2π(f F)T) Si(2π(f F)T). g э (t) (88) Здесь Si(x) - интегральный синус. Несложно проверить следующие равенства K э (-f) K*э (f); K э (0) 0. На безразмерной оси частоты (f=xF) эталонный КП равен 1 K э (x) j V(x) exp jπxB , π V(x) 2Si(πxB) Si(π(x 1)B) Si(π(x 1)B). Параметр В, как и выше, задает базу усеченной ИХ (2В=4FT). (88а) На рис.18 показан примерный вид эталонных характеристик. ИХ g э (t) отличается от идеальной (86) и имеет колебательный характер. АЧХ Aэ (x) mod K э (x) также имеет пульсации в полосе прозрачности Рис.18 (пунктиром на рис.18 б и в показаны идеальные АЧХ и ФЧХ ПГ). Граничные частоты фактически являются частотами среза. Действительно, для значений базы В>1 получим A э (1) 1/ 2. В этих же точках крутизна АЧХ пропорциональна ' значению базы: V (1) πB. ФЧХ, помимо скачка на π/2 , имеет линейную часть. В полосе прозрачности она равна π 2 э (x) Sign(x) πxB. Реализовать такие характеристики можно только в дискретном варианте. В ИХ (88) введем дискретное время ( t n Δt ). Полагаем, что на отрезке 2Т взято целое число (N) отсчетов: 2T (N 1) Δt. Это дает 1 1 Cos2πF(n-α) Δt , π(n α) Δt T N 1 α T fд , n 0(1)N-1. Δt 2 g(n) Частоту дискретизации (как и у дифференциатора) выберем минимальной: f д 2F. Из этого следует, что α В. Точку n α включим в общий массив n 0(1)N 1, т.е., α -целое число. Это позволит в последующем использовать схему со средней точкой. Итак, определены все параметры: N- нечетное, α и В- четные или нечетные. Реализуемая ИХ с нечетной симметрией относительно точки n α равна g(n) 2F 1 (1)n-α , n 0(1)N -1. π(n α) (89) В частности, имеем 0, α - четное, 2F α g(0) 1 (1) 4F - , α - нечетное, πα πα g(N 1) g(2α) g(0), N 1 g(α) g( ) 0. 2 Неопределенность значения непрерывному времени. (89а) g(α) легко раскрывается, если вернуться к Примерный вид ИХ (для α 5 ) показан на рис.19. Различия ИХ для α - четного или нечетного заключаются в отсутствии или наличии концевых отсчетов. Рис.19 Схема дискретного преобразователя Гильберта с ИХ (89) для α - нечетного показана на рис.20. Парные множители, отличающиеся знаком, объединены. Рис.20 Параметры схемы задаются следующим образом 2F 0,5 g(0) πα , m 0, bm g(m) 4F , m 2,4,6,...,α-1. π(m-α) (90) Множителем 0,5 для m=0 учитывается прямоугольное окно с поправкой, см. (39). Представленная схема со средней точкой «выдает» на своих выходах отсчеты задержанной копии входного сигнала S(t T) и его преобразования по Гильберту ^ S(t T) в совпадающие моменты времени. Преобразование будет тем точнее, чем больше задержка Т (или параметр сдвига α ). Действительно, с ростом α расхождение в АЧХ данного преобразователя с идеальным, см. рис. 18б, будет незначительным. В то же время фазовый сдвиг между двумя выходами составляет ровно π/2 , как у идеального преобразователя (в данном случае – фазовращателя), см. рис.18в. Заметим, что в случае α -четного, необходима незначительная коррекция схемы. Параметры задаются теперь следующим образом bm g(m) 4F , m 1,3...α-1. π(m α) (91) Звено с параметром b 0 будет отсутствовать. Частотную характеристику дискретного ПГ получим по той же методике, как и для дифференциатора. Теперь в общую формулу Пуассона (82) для K (x) подставим ИХ (89) (с той же частотой дискретизации на безразмерной оси Xд 2 ). В рабочей формуле учтем нечетную симметрию ИХ g(α m) g(α m), m 1,2,...α с условием g(α) 0 , концевые отсчеты g(0) и g(2α) для α - нечетного введем с весом 0,5, см. (90), устраним различия в размерностях эталонного и реализуемого КП делением на частоту дискретизации K пг (x) K (x) fд , g пг (n) g(n) , f д 2F. fд В итоге частотная характеристика дискретного ПГ принимает вид (92) 1 K пг (x) j V (x) exp jπxα , x 1, π α 1 sinπx(2m 1) , α-четное, 4 2m 1 m 0 V (x) α2 4 sinπxα sinπx(2m 1) , α-нечетное. 2m 1 2α m 0 Данный КП является периодическим (93) K пг (x) K пг (x x д ), x д 2. Поэтому в расчетах достаточно ограничиться отрезком x 1. Первое слагаемое в записи V (x) для α - нечетного учитывает окно с поправкой (для перехода к окну Дирихле это слагаемое надо удвоить). В качестве упражнения проверьте следующие равенства V (0) V (1) 0, V (0) 2πα, V (1) 2πα. Заметим, что окно Дирихле (при α - нечетном) дает завышенный результат: V (1) 2π(α 1). Сравнение (88а) и (93) показывает, что в обоих случаях переход через нуль происходит с одинаковой скоростью: V(0) V (0). С ростом α (напомним, что α В ) этот переход асимптотически приближается к скачку, как у знаковой функции, см. (86). На рис. 21 показаны примеры перехода через нуль функции значений α : а) α 10 , б) α 11. VΔ (x)/π для двух Итак, определены все характеристики схемы, представленной на рис. 20. Параметры устанавливаются по формуле (90) с учетом (92). В случае α -четного схема незначительно меняется, параметры задаются по формуле (91) с учетом (92). Качество преобразования зависит только от одного параметра α . Рис. 21 Кратко рассмотрим вариант ПГ по схеме быстрой свертки, см. рис. 9б. Для коэффициентов K( ), 0(1)L-1, здесь получим (все записи аналогичны, как для дифференциатора, см. (85)) K( ) K пг (x) 2 x L 1 j V ( ) WL α , π 2π α1 sin L (2m 1) , α-четное, 4 2m 1 m 0 VΔ ( ) 2π 2π (2m 1) α 2 sin sin L α L 4 , α-нечетное. 2α 2m 1 m 0 (94) N >N L 2r N N 1 s . Условие s Массив данных также задается с запасом: , где F F N s - число отсчетов сигнала, остается в силе. Заметим, что требование s , критичное при дифференцировании сигналов, здесь можно опустить. В случае гармонического сигнала схема быстрой свертки также (как и при дифференцировании) вырождается в двухзвенную. Она включает только два L n K(n) и K(L-n) , где n- номер частоты сигнала ( 2 ). У такого множителя фазовращателя амплитуда сигнала на выходе не зависит от его частоты.