Лекция № 2 Тема «Определители и системы линейных уравнений

Лекция № 2
Тема «Определители и системы линейных
уравнений
Введение. Понятие «определитель» восходит к Г.
Лейбницу (1678); первая публикация принадлежит Г.
Крамеру (1750). Теория определителей создана
трудами А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши и К.
Якоби. Термин «определитель» встречается впервые у
К. Гаусса (1801). Современное обозначение введено А.
Кэли.
1. Определители второго порядка и системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными
Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел:
 à11
à
 21
à12 
à22 
Определителем второго порядка, соответствующим этой таблице,
называется число
а11а22  а21а12
Определитель обозначается символом
Таким образом,
а11
а 21
à11 à12
 à11à12  à12 à21.
à21 à22
а12
а 22
Например,
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными
x и y:
(1)
Числа
а11 , а22 , а21 , а12 называются коэффициентами системы;
b1 ,b2 - свободными членами. В записи коэффициентов
называется номером строки (уравнения), а индекс
aij
индекс
i
j называется
номером столбца (неизвестного).
Такую запись системы, в которой свободные члены находятся в правых
частях, будем называть стандартной.
Определение: Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными
называется всякая пара чисел (x,y), обращающая эту систему в
тождество. Если существует только одна такая пара, то решение
называется единственным.
Одним из методов решения системы, известного из школьного
курса, является метод исключения неизвестной.
С помощью определителей этот метод можно интерпретировать
следующим образом.
Введем в рассмотрение следующие три определителя для системы (1):
Определитель, составленный из коэффициентов
системы, называется определителем системы.
Определители,
,полученные из определителя
системы заменой соответствующего столбца
столбцом
свободных
членов,
называются
вспомогательными.
Теорема (правило Крамера).
Если   0, то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам
х
х

; у
у

.
Данные формулы называются формулами Крамера.
Пример 1. Решить по правилу Крамера систему уравнений
2 х  3 у  4,

3х  2 у  3.
Решение. Вычислим определитель системы
2 3

 2  2  3  3  5.
3 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то,
согласно правилу :Крамера, решение системы
существует, единственно и находится по формулам
Крамера.
Вычислим
определители
х
и
у
2 4
ó 
 2   3  3   4   6  12  6.
3 3
По формулам Крамера находим неизвестные
х
1
х
 ;

5
у
6
у
 .

5
2. Определители третьего порядка и свойства
определителей
Определителем (детерминантом) третьего
порядка, соответствующим квадратной таблице
 а11

 а 21
а
 31
а12
а 22
а32
а13 

а 23 
а33 
называется число, получаемое из элементов таблицы по следующему правилу
à11
à12
à13
à21
à31
à22
à32
à23  à11à22 à33  à12 à23 à31  à21à32 à13  (à31à22 à13 
à33
 à21à12 à33  à23à32 à11 ).
Например,
2 1 3
0  3 4  2   3  1   1  4  1  2  0  3  3   3  1   1  0  1
1 2 1
 2  4  2  17.
Из определения и решенного примера следует правило
вычисления определителей третьего порядка,
называемого правилом треугольников
  
  
  
  
  
  
Более общее правило вычисления определителей любого порядка
основано на понятии минора и алгебраического дополнения.
Минором M ij элемен
aij определителя называется
та
определитель,
полученный из данного вычеркиванием строки и
столбца, на пересечении которых расположен
данный элемент .
Пример 2. В определителе (смотри предыдущий пример)
2 1 3
0 3 4
1 2 1
можно указать девять миноров (по числу элементов). Так для
элемента а11  2 минором служит определитель  3 4
2
для элемента
а23  4
минором
служит
1
определитель
2 1
1 2
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называется
i j
i -номер строки, j - номер столбца,
его минор M ij умноженный на  1
на пересечении которых расположен элемент:
Aij   1i  j M ij
В условиях предыдущего примера:
A11   1
11
,
A23   123
3 4
2 1
=-3-8=-11;
2 1
= - (4+1)= -5.
1 2
Теперь можно сформулировать правило вычисления определителей.
Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Таким образом, для определителя справедливы шесть разложений:
  à11  À11  à12  À12  à13  À13
  à21  À21  à22  À22  à23  À23
  à31  À31  à32  À32  à33  À33
  à11  À11  à21  À21  à31  À31 ,
  à12  À12  à22  À22  à32  À32 ,
  à13  À13  à23  À23  à33  À33 .
Левая тройка формул – это разложение определителя по
элементам строк, а правая – по элементам столбцов. Например,
разложение определителя по элементам первой строки в
условиях примера 2 выглядит следующим образом:
2 1 3
3 4
0 4
0 3
0 3 4  2
  1
3
 17.
2 1
1 2
1 2
1
2
1
Получили значение определителя, совпадающее со
значением его, вычисленным по правилу треугольников (См.
пример 1).
Рассмотрим теперь свойства определителей, которые
также позволяют упростить их вычисление. При этом мы не
будем указывать порядок определителя, так как эти свойства
справедливы для определителей любого порядка.
СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки
заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, т.е.
а11 а12
а13
а11 а 21 а31
а 21 а 22 а 23  а12 а 22 а32 .
а31 а32 а33 а13 а 23 а33
Замена строк столбцами, а столбцов строками называется
транспонированием определителя
Свойство 2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя
равносильна умножению его на –1.
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца),
то он равен нулю.
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца (строки) на одно
и то же число равносильно умножению определителя на это число.
Например,
kа11
а12
kа21
kа31
а 22
а32
а13
а11
а 23  k  а 21
а33
а31
а12
а13
а 22
а32
а 23 .
а33
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю,
то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
Свойство 7. Если строка (столбец) определителя есть сумма двух чисел,
то определитель равен сумме двух определителей с соответствующими
столбцами. Например,
  а11

а11
  а 21

а 21
  а31

а31
а12
а13
а 22
а32
а 23
а33

а11

 а 21

а31
а12
а13
а 22
а32
а 23
а33

а11

 а 21

а31
а12
а13
а 22
а32
а 23 .
а33
Свойство 8. Если к элементам столбца (строки) определителя прибавить
элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и тоже число, то
определитель не изменится. Например,
а11
а12
а 21 а 22
а31 а32
а13
а11  ka13
а 23  а 21  ka23
а33 а31  ka33
а12
а13
а 22
а32
а 23 .
а33
Последнее свойство называют еще «элементарными преобразованиями
определителя», которые дают еще один удобный способ вычисления
определителей. Покажем это на следующем примере.
1 2 3
Пример 3. Вычислить симметричный определитель:
 2 1 2
3 2 1
.Решение. Вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей строки
утроенную первую, получим
1 2 3
1 2 3
3 4

  2 1 2  0 3 4  1 
4 8
0

4

8
3 2 1
24  16  40
Системы трех уравнений с тремя неизвестными
х1, х2 и х3
Рассмотрим стандартную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
 а11 х1  а12 х2  а13 х3  b1 ,

а 21 х1  а 22 х2  а 23 х3  b2 ,
а х  а х  а х  b
 31 1
32 2
33 3
3.
Обозначим символами
а11 а12
  а21 а22
а31 а32
а13
а23 , 1 
а33
b1
b2
b3
,
а12
а22
а32
1 ,  2 ,  3
следующие определители
а13
а11 b1
а23 ,  2  а21 b2
а33
а31 b3
а13
а23 , 3 
а33
а11 а12
а21 а22
а31 а32
b1
b2 .
b3
Определитель 
называется определителем системы ;
1 ,  2 ,  3
вспомогательные определители
получаются из определителя системы заменой соответствующего столбца
столбцом свободных членов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы
уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное
решение, которое находится по формулам Крамера
х1 
1

, х2 
2

, х3 
3

.
Пример 4. Решить по правилу Крамера
систему уравнений:
Решение. Вычислим определитель системы
 х1  х2  х3  0,

3х1  2 х 2  х3  5,
4 х  х  5 х  3.
 1
2
3

1 1 1
  3 2 1  10  4  3  8  1  15  11
4 1 5
Так как определитель системы уравнений отличен от нуля, то решение
системы существует, единственно и находится по формулам (8). Вычислим
определители
1 ,  2 ,  3
0
1  5
3
1
2
1
1
1
1  0  5  3  6  0  25  11;  2  3
5
4
1
3  3
4
1
2
1
0
5  6  20  0  0  9  5  22;
3
0
5
3
1
1  25  0  9  20  3  0  33;
5
и
х1 , х2
По формулам Крамера (8) находим неизвестные
х3
 3 22
 2 33
 11
х1 

 1; х2 

 3; х3 

 2.

11

11

11
1
Рассмотрим систему уравнений:
 а11 х1  а12 х2  а13 х3  0,

а 21 х1  а 22 х2  а 23 х3  0,
 а х  а х  а х  0.
 31 1
32 2
33 3
(2)
Система (2) называется однородной системой трех линейных уравнений с
тремя неизвестными. Очевидно, что 1   2   3  0
Система всегда совместна, так как
является решением системы.
õ1  õ2  õ3  0
Если
 0, то, согласно правилу Крамера, это будет единственным решением.
Если

=0, то, согласно последнему замечанию, система имеет бесконечно
много решений, и в этом случае одно из уравнений является
следствием других.
Заключение. Теория определителей позволяет создать общий метод
решения алгебраических систем любого порядка.
Литература:
Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.:
Астрель, 2004.
Шипачев В.С. Высшая математика, М.: Высшая школа, 2005.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А. Математика в экономике. Часть 1., - М.:
Финансы и статистика, 2003. - 384 с.
Мокеева О.Л. Математика. Методические рекомендации для учащихся
профильных классов. Часть 1. - Владивосток: ИЭИ ДВГТУ, 2005. – 65 с.