Линейная алгебра. 1.Векторы: действие с векторами. Компланарность векторов. Вектор – направленный отрезок, имеющий определенную длину, одна точка которого называется началом, а другая концом. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна 1. Операции над векторами: Сумма векторов: ав с а (а ) 0 Разность векторов: а в с Умножение вектора на число: а в если: 0 – вектор а сонаправлен с вектором в , 0 – векторы противоположно направлены. (а в ) а в (1 2 ) а 1а 2 а (1 2 )а 1 (2 а) Не линейные операции: 1.Скалярное произведение двух векторов: а в а в cos aв 2.Векторное произведение: с а в Свойства вектора с : 1) длина с равна площади параллелограмма, т.е. с а в sin ав . 2) с а ; с в . 3) направление вектора с должно быть таким, чтобы ближайший поворот от а к в был направлен против часовой стрелки. 3. Смешанное произведение векторов: (а в ) с а в с . Компланарность векторов: (а в ) с 0 2.Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов – это число равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. а в а в cos ав Свойства: 1) а в в а 2 2) а а а 2 а 3) (а в ) а в 4) а (в с ) а в а с Условие перпендикулярности двух векторов: а в 0. 3. Векторное произведение векторов. Векторное произведение – вектор, обладающий следующими свойствами: 1) длина с равна площади параллелограмма, построенного на а и в ; 2) с а; с в ; 3) направление с должно быть таким, что если смотреть с конца с на а и в , то кротчайший поворот от а к в должен быть направлен против хода часовой стрелки. Свойства векторного произведения: 1) а в (в а ) 2) (а в ) а в а в 3) с (а в ) с а с в 4) если а в 0 , то а 0 или в 0 , тогда а и в – коллинеарны. 4. Смешанное произведение векторов Смешанное произведение – число (а в ) с а в с 1. 0 2 а в с d с d с cos S h V 2. 2 ; с cos h а в с V . Смешанное произведение – число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда на векторах а , в , с ; причем, со знаком «+», если обход от а к в , с происходит против часовой стрелки; со знаком «–», если обход осуществляется по ходу часовой стрелки. Свойства смешанного произведения: 1) а в с в с а с а в (по круговому принципу) 2) а в с в а с с в а (если меняем попарно) 3) а в с 0 (вектора компланарны). 5. Неравенство Буняковского-Коши ав с 6. Линейное уравнение. Однородная система AX L 0 – линейное уравнение L0 AX 0 – однородная система. 7. Матрицы: квадратная, диагональная, единичная, нулевая Матрица размера m n – прямоугольная таблица чисел, расположенных в определенном порядке: в m – строках и n – столбцах. 1) m n – квадратная матрица; 2) Квадратная матрица А , у которой все диагональные элементы равны 1, а остальные равны 0, называется единичной. 3) Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны 0. а11 а12 а13 А а 21 а 22 а 23 , а а а 31 32 33 где а11а22 а33 – главная диагональ. Диагональная матрица: а11 0 0 0 а 22 0 . 0 0 а 33 8. Транспонирование, сложение матриц, производная 1. Транспонирование: ( Аmn ) Т Аnm – меняем местами столбцы и строки. 2. Сложение матриц: С mn Аmn Вmn а11 в11 а12 в12 ... а1n в1n .......................................... ........................................... а в а в ... а в m1 m2 m2 mn mn m1 3.Производная матрица: х 2 х3 х5 2 х 3х 4 – исходная 2 х 3х 2 5 х 4 2 3 0 – производная. 9.Законы умножения матриц в1 а) А (а1а2 а3 ) В в 2 в 3 А В а1в1 а2 в2 а3в3 аi вi а11а12 а13 в1 б) А а21а 22 а 23 В в 2 а а а в 3 31 32 33 а11 а12 а13 в1 а1 j b j А В а 21 а 22 а 23 в 2 a 2 j b j а а а в 31 32 33 3 a3 j b j в) Аmn Вn p С m p С m p а11 а12 а13 в11 в12 в13 а1к в к1 а1к в к 2 а1к в кр а 21 а 22 а 23 в 21 в 22 в 23 а 2 к в к1 а 2 к в к 2 а 2 к в кр ................... ................. ........................................................... а а а в в в m1 m 2 m 3 п1 п 2 п 3 а тк в к1 а тк в к 2 а тк в кр 10.Определитель матрицы. Алгебраическое дополнение. След матрицы Определитель матрицы – число, подсчитанное по формуле: а а А22 11 12 а 21 а 22 А а11 а22 а12 а21 а11 а12 а13 А33 а 21 а 22 а 23 а а а 31 32 33 А а11 а22 а33 а21 а32 а13 а12 а 23 а31 а13 а 22 а31 а23 а32 а11 а12 а21 а33 Алгебраическое дополнение элемента Аik – определитель, равный минору, взятый со знаком (1) i k . а11 а12 а13 а а Минор: М 22 а21 а22 а 23 11 13 а31 а33 а31 а32 а33 Аik (1) i k М ik След матрицы Q11 Q22 Q33 ... Qmm 11. Неособенная матрица, обратная, симметричная, ортогональная Неособенная матрица – нормальная матрица, у которой определитель не равен «0». ( А 0) Обратной называется такая матрица Аnn , для которой Аnn Аn1n Е , где Е – единичная матрица. 1 3 2 Симметричная: 3 1 4 . 2 4 1 Ортогональная – такая квадратная матрица А, для которой: А1 А А А1 Е . 12. Ранг матрицы. Ранг произведения матрицы Ранг матрицы – это число линейно независимых строк или столбцов. r ( А) – ранг матрицы r ( А) К Каждый столбец или строка – вектор. Например: А34 1 2 3 2 2 3 5 1 1 3 4 5 123 12 2 13 2 232 12 3 4 1 ( 0) r ( А) 2 2 3 5 0 2 31 0 2 51 0 3 51 0 23 13 4 13 5 145 345 Элемент преобразования не меняет ранга матрицы. 2 3 4 3 7 1 6 Например: , тогда с а1 2 а2 1 2 6 8 0 1 0 1 1 а1 а 2 2 3 7 1 6 8 rang 2 . 0 11 Ранг произведения матриц: А В С rА 2 rВ 3 rangС min( rА , rВ ) rС 2 13.Квадратичные формы 1) х12 х22 ..... п х i 1 2 i n i 1 2 i 2) ХК х Х Т . 14. Решение систем линейных уравнений АХ L 0 АХ L А 1 А Х А 1 L А 1 А Е Х А 1 L