Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Курганский технологический колледж имени Героя Советского Союза Н.Я. Анфиногенова» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по теме «Матрицы и определители» для студентов специальностей 120714 Земельно-имущественные отношения 230111 Компьютерные сети 230401 Информационные системы (по отраслям) 230701 Прикладная информатика (по отраслям) 210414 Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям) Курган, 2014 Составитель: Сапожникова Е.В., преподаватель ГБПОУ КТК Рецензенты: 1. Колотовкина Е.Ю., преподаватель первой категории ГБПОУ КТК 2. Папулова Е.В., преподаватель высшей категории ГБПОУ КТК Сборник теоретических основ и заданий по организации работы студентов преподавателями дисциплины математика в учреждениях среднего профессионального образования. ВВЕДЕНИЕ Основной трудностью при изучении данной темы в средних специальных учебных заведениях является большой объем изучаемого материала при ограниченном количестве времени. Поэтому основная цель создания этой рабочей тетради – существенно сэкономить время урока и личное время каждого учащегося. В этой тетради уже проделана вся рутинная работа по записи определений, формулировок и теорем. Кроме того, многие решения уже выполнены полностью или частично, что помогает усвоению и легкому запоминанию пройденного. В тетради предоставлены типовые задачи, решение которых облегчит подготовку к письменным работам и зачетам. 3 Тема 1: Матрицы, действия над матрицами Матрицей называется множество чисел образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используют а11 а следующее обозначение 21 ... a m1 а12 а 22 ... am2 ... а1n ... а 2 n ... ... ... a mn Для любого элемента первый индекс- номер строки, второй- номер столбца. Виды матриц: 1. Прямоугольная: а а11 а12 А= а21 а22 а13 а 23 а 2. Квадратная: В= 11 12 а 21 а 22 Число строк квадратной матрицы называется ее порядком. Диагональ а11-а22 –главная, а12-а21 – побочная. Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной. 2 0 - Диагональная матрица 2-го порядка Пример: А= 0 4 3 0 0 В= 0 9 0 -Диагональная матрица 3-го порядка 0 0 4 1 0 0 Е= 0 1 0 - Единичная матрица 3-го порядка 0 0 1 0 0 - Нулевая матрица 0 0 О= 4 Два матрицы называются равными, если имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы: 2 Пример: А=(0 0 6 9 7 5 −9) – верхняя; В=( 4 0 5 −9 0 0 −6 0)-нижняя. 1 9 Квадратная матрица называется симметрической, если равны элементы, симметричные относительно главной диагонали. 1 5 7 −2 Пример: А=(5 2 3) ; В=( 8 7 3 0 8 ). −2 Линейные операции над матрицами Суммой матриц А и В называют такую матрицу М, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение. 7 42 12 10 100 8 58 20 17 Найти суммы матриц: 1. 5 0 4 и 0 68 8 Ответ: 5 68 12 7 10 50 7 0 10 10 0 40 18 32 4 17 32 4 2. 7 15 12 и 7 14 12 31 14 3 31 14 4 Ответ: Е Можно ли сложить две матрицы размерами 2х3 и 3х2? 5 Свойства сложения матриц: 1. А+В=В+А (переместительный закон) 2. (А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон) 3. А+0=А (0-нулевая матрица) 4. Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0. Произведением матрицы А на число К называется такая матрица КА, каждый элемент которой равен КАij , т.е. умножение матриц на число сводится к умножению на это число всех элементом матрицы. 2 1 4 6 3 12 Умножить матрицу А= 0 5 3 на К=3. Ответ: 3А= 0 15 9 2 1 6 3 0 0 Найти линейные комбинации матриц: 2 4 0 4 1 2 1. 3А-2В, если А= 1 5 1 , В= 0 3 5 . 0 2 0 4 3 7 Подсказка: 1. Найти матрицу 3А; 3. Найти разность 3А-2В. 2. Найти матрицу 2В; 2 10 4 Ответ: 3 21 7 4 9 13 3 2 6 1 5 2 9 14 1 2. 2А-В, если А= 3 0 4 , В= 0 1 2 . Ответ: 6 1 10 Умножение матриц Рассмотрим умножение квадратных матриц 2-го порядка: 6 а11 а 21 Пусть А= а12 в а11в12 а12 в 22 в а в а в , В= 11 12 , тогда АВ= 11 11 12 21 а 22 в 21 в 22 а 21в11 а 22 в 21 а 21в12 а 22 в 22 Найти произведение матриц, сверить с ответом: 4 3 5 2 и В= . 8 0 1 1 1. А= Решение: а11= а12= а21= а22= 23 5 40 16 Ответ: АВ= 1 2 1 1 3 3 1 0 2. 1 2 Решение: а11= а12= а21= а22= а13= а23= 10 5 1 Ответ: 7 4 1 3 1 1 1 1 1 3. 2 1 2 2 1 1 1 2 3 1 0 1 Решение: а11= а12= а13= а21= а22= а23= а31= а32= а33= 6 2 1 Ответ: 6 1 1 8 1 4 0 12 1 4 3 4. 5 2 1 4 1 0 2 1 2 0 Решение: а11= а21= 7 а12= а22= а31= 60 1 Ответ: 66 3 6 2 Найти произведение матриц: 1 2 3 1 2 1 5.( ) (2 0 1) Решение: 3 1 0 3 5 4 Ответ: 5 3 −7 4 −1 6.(−1 6 −3) (4 −2 2 0 2 −4 1 3 −6) Решение: 3 Ответ: 0 7 8 12 1 2 7. 4 3 1 1 1 2 4 1 1 0 3 0 10 1 3 4 Решение: 1 0 5 2 3 5 1 2 0 0 Ответ: 8 а32= Свойства произведения матриц: 1. А(ВС)=АВ(С) 2. А(В+С)=АВ+АС 3. (А+В)С=АС+ВС 4. к(АВ)=(кА)В Тема 2: Определители Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA (или А , или ), называемое ее определителем, следующим образом: 1. n=1; А=(а1); detA=а1 а11 а 21 а12 а а12 ; detA= 11 =а11а22 - а12а21 а 22 а 21 а 22 3 3 ; = -18- (-6)=-12 А= 6 2 2. n=2; А= Пример: а11 а12 3. n=3; А= а21 а22 а 31 а32 а13 а 23 ; а33 detA=а11 а22 а33 + а12 а23 а31 +а21 а32 а13 –а31 а22 а13 –а21 а12 а33 –а32 а23 а11 Пример: 2 1 1 А= 3 1 4 ; 2 0 3 =2∙1∙(-3)+(-1)∙(-4)∙2+(-3)∙0∙1-1∙1∙2-(-3)∙(-1)∙(-3)-0∙(-4)∙2= -6+8-0-2+9-0=9. Для удобства вычисления и более легкого запоминания формулы применяют графическое правило: * * * * * * * * * * * *=* * *-* * * * * * * * * * * * Правило Сарруса Вычислить определители матриц и сверить с ответом: 2 3 ; = 5 6 1. =27 9 а в а в ; = а в а в 2. =2ав-2в2 5 2 1 3. 3 1 4 ; = 6 0 3 =9 Вычислить определители: 3 2 1 4. 2 5 3 3 4 3 Решение: 3 4 5 5. 8 7 2 2 1 8 5 0 0 6. 3 2 0 0 7 1 Решение: Решение: Основные свойства определителей: 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать) а11 а12 а 21 а 22 = а11 а 21 а12 а 22 Примеры: 1. (свойство равноправности строк и столбцов) 3 2 = 5 4 3 5 = 2 4 3 4 2 2. 0 1 5 = 2 1 4 3 0 2 4 1 1 = 2 5 4 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный. а11 а12 а 21 а 22 =- а 21 а 22 а11 а12 10 1 2 3 Пример: 2 4 1 = 3 5 2 2 1 3 поменяем местами 1-й и 2-й столбцы: 4 2 1 = 5 3 2 3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя: Пример: 3 2 = 7 6 а11 ка12 а а =к 11 12 а 21 ка 22 а 21 а 22 -2 3 1 = 7 3 4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0. 1 1 3 Пример: 1 1 3 = 2 1 4 5. Из свойств 3 и 4: Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0. 3 7 1 Пример: 2 3 1 = 4 6 2 6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. а11 а12 а 21 а 22 = Пример: а11 ка12 а11 а 21 ка 22 а 22 3 4 = 5 6 Умножим 1-й столбец на 2 и сложим со вторым: 3 10 = 5 16 7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали,- нули, равен произведению элементов главной диагонали. 11 а11 а 21 а31 0 а 22 а32 0 а11 0 = 0 а33 0 а12 а 22 а32 а13 а 23 =а11 а22 а33 а33 5 10 10 Пример: 0 2 4 = 0 0 1 8.Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то определитель=0. 9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. Тема 3: Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя Минором Мij определителя ∆, где I и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из ∆ вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. а11 Пример: Из ∆= а 21 а31 а12 а 22 а32 а13 а а 23 а 23 можно получить М12= 21 а31 а33 а33 1 2 3 0 1 5 Задание: Записать и вычислить М32 и М24 определителя ∆= 3 2 1 1 4 3 1 3 4 Решение: М32= 0 5 2 = 1 3 2 4 2 4 2 М24= Алгебраическим дополнением элемента Аij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j. Аij=(-1)i+j Мij. Примеры: 1. Найти алгебраические дополнения элементов а13 , а21 , а31 1 2 3 определителя ∆= 2 0 3 . 3 2 5 12 Решение: А13=(-1)1+3∙ 2 0 = 3 2 А21=(-1)1+2∙ 2 3 = 2 5 А31= 2. Найти алгебраические дополнения элементов а12 , а22 , а32 определителя ∆= 2 0 4 1 7 0 . Решение: А12= 0 5 2 А22= А32= Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца: Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя ∆ на их алгебраические дополнения равна этому определителю. ∆=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin или ∆= a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i –той строки или j-го столбца. 3 1 2 Пример: Определитель ∆= 1 2 5 0 4 2 а) разложить по элементам 1 строки б) по элементам 2-го столбца Решение: а) ∆=3 2 5 1 5 1 2 -1 +2 = 0 2 4 2 0 4 б) ∆ = Вычислить определители любым способом: 3 5 0 1. 4 7 10 = 10 11 3 1 2 3 2. 2 0 6 = 3 8 12 13 3 2 3. 0 5 0 2 3 1 4 2 2 0 0 4 = 3 1 2 1 1 0 0 1 2 1 4. = 3 1 2 3 3 1 6 1 2 9 0 8 4 20 10 1 7. = 1 1 1 2 0 5 5 3 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 10. = 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 4 3 2 1 11. = 5 6 7 8 8 7 6 5 15 Практическое занятие №1 8 −6 1 2) ( )0 4 −6 −9 0 Определите тип матриц: 1) ( )1 2 3) (2 1 12) 4 4) (−8) 0 6 4 6) Найти 3А+2В, если А= 3 2 1 5 2 5 7 5) (−9 8 44) 12 −5 6 0 1 , В= 2 5 4 0 . Ответ: Решение: 2 1 1 2 7 4 , В= , С= . Ответ: 4 0 18 8 3 4 7) Найти 2А+3В-С, если А= Решение: −1 8) Найти А2- 3А+5Е, если А=( 2 −3 ). Ответ: 4 Решение: 16 Найти произведение матриц: 2 3 1 −1 0 1) А=( 0 −2) и В= ( 2 1 −2 −1 4 3 ) −4 Решение: 8 1 Ответ: (−4 −2 7 5 2) А=( −6 − 6 4 8 ) −8 − 19 1 2 0 −1 1 2 −3 и В= ) (2 1 1 − 2 ) 6 0 2 3 1 0 2 Решение: −4 1 2 − 11 Ответ: ( ) 12 14 0 − 2 0 1 2 1 4 3) А=( ) и В= (−2 5) −4 0,5 3 −1 9 Решение: Ответ: Убедитесь, что АВ ≠ ВА, если: 17 1) А=( 3 4 8 1 ), В=( ) 5 1 2 3 Решение: 32 15 Ответ: АВ=( ) , ВА= 42 8 1 2 2) А=(−1 0 0 −2 −1 −1 0 1 2 ), В=( 2 −1 1 ) 1 1 0 −2 Решение: 2 −2 5 Ответ: АВ=( 3 0 −5) −3 2 −4 1 3) А=(3 2 , ВА= −3 2 2 5 6 −4 1), В=(1 2 5) −5 3 1 3 2 Решение: Ответ: АВ= , ВА= 18 Вычислить определители: 1) | 4 −5 |= 3 −3 2) | cosx sinx | = −sinx cosx а+в а 3) | |= а а−в 2 4) |а ав2 | = ав в 1 2 3 5)|4 5 6| = 7 8 9 2 0 0 6)|0 5 0 | = 0 0 −4 2 3 −4 7)|5 6 7 |= 8 0 3 2 2 8)| 6 2 3 −3 4 1 −1 2 |= 2 1 0 3 0 5 3 −1 5 2 9)| 0 2 6 −2 4 2 0 1 |= 1 −3 9 8 19 Домашнее задание 5 Найти произведение матриц: А = (6 4 8 −4 3 9 −5) и В=(4 7 −3 9 1 2 5 6 Вычислить определитель: | 9 10 13 14 3 4 7 8 | 11 12 15 16 2 5 −1 3) 6 5 Тема 4: Транспонирование матриц. Обратная матрица Матрица АТ, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно матрицы А. 1 А=( 2 −2 0 3 4 6) 1 3 1 АТ=(0 3 2 −2 4 1) 6 3 Обратная матрица Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен о. Если А-квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется 20 матрица А-1: АА-1=А-1А=Е Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой. Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А было невырожденной. А11 А21 … А𝑛1 А22 А𝑛2 ) А = (А12 ∆ А1𝑛 А2𝑛 А𝑚𝑛 -1 1 Найти обратную матрицу для матрицы А: 1) А=( 1 4 ) 6 −2 −2 −6 Решение: D=-26≠0 A11= -2, A12=-6, A21= -4, A22=1, В=( ) −4 1 1 −2 −4 ВТ=( ) А-1= − −6 1 −2 ( 26 −6 2 −4 ) = (13 3 1 1 13 13 1 − ) 26 Проверка: АА-1=Е 2 3 2) А=( ) −1 1 Решение: D=5≠0, A11= ВТ= A12= A21= A22= В= 0,2 −0,6 = ( ) 0,2 0,4 А-1= Проверка: АА-1=Е 1 3) А=(0 3 2 3 −1 2) 0 7 Решение: D= A21= ≠0 A11= A12= A22= A13= A23= 21 A31= A32= A33= − Т В= В= А = -1 1 2 3 7 3 ( 14 Проверка: АА-1=Е (самостоятельно) 3 −3 1 4) А=(−3 5 −2) 1 −2 1 1 А = (1 1 1 1 2 3) 3 6 4 5) А=(0 3 0 5 1 −6) 0 4 -1 4 0 А = (−18 1 −3 0 -1 D=1≠0 D=1≠0 −5 24 ) 4 22 −1 − 3 7 1 7 1 2 − − 1 7 1 14) 3 6)А=(4 3 1 −2 2 1) −1 5 D=36≠0 11 −3 5 А = (−17 21 −11) 36 −10 6 2 -1 1 2 7)А=(3 2 1 −1 −2 1 ) 0 −1 D=5≠0 0,4 0,2 −0,2 0 −1 ) А =( 1 0,8 0,4 −1,4 -1 Практическое занятие №2 Транспонировать матрицы: 0 А=( 1 −2 ) 4 15 −3 1 2) В=(−1 −1 0) 0 7 1 Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку: 23 1) А=( 1 2 ) 3 4 2 −3 2) В=(3 −1 1 1 1 0) 1 3 −4 5 3) D=(2 −3 1 ) 3 −5 −1 4 1 4) F=(1 3 1 1 1 1) 2 2 1 −1 5) F=(3 2 −2) 1 −1 2 24 Домашнее задание Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку: −1 2 1)А=( ) −3 4 2 −1 2) В=(3 2 2 0 1 −1) −1 25 Тема 5: Решение систем линейных уравнений методом Крамера Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: А11х1+а12х2+а13х3+...+а1nxn=в1 А21х1+а22х2+а23х3+...+а2nxn=в2 ...... Аn1х1+аn2х2+аn3х3+...+аnnxn=вn Система n линейных уравнений с N неизвестными, определитель которой не равен 0, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. 5 х 3 у 12; 2 х у 7. Примеры: 1.Решить систему линейных уравнений 5 3 12 Решение: ( ) − расширеная матрица, 2 −1 7 ∆= 5 3 12 3 =-11, х= =-33, 2 1 7 1 у= 5 12 =11 2 7 Найдем х и у по формулам Крамера: х= х + 2у + 3𝑧 = −5; 2. { −3х + 𝑧 = −3; 2х + у − 𝑧 = 5 ∆=-12, 1 (−3 2 х =3, у= у =-1 Ответ: (3;-1) 2 3 −5 0 1 − 3 ) − расширеная матрица, 1 −1 5 −5 2 3 0 1 |= 5 1 −1 х=|−3 у= 26 z= Найдем х,у и z по формулам Крамера: х= х = у= у = z= Ответ: (0;2;-3) 3х 2 у z 3; 3. 5 х 2 у 2 z 3; x y z 2. Ответ: (1;-1;2) Практическое занятие №3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера: 1) { 3х − 2у = 5; 6х − 4у = 11 5х + 8у + 𝑧 = 2; 2){3х − 2у + 6𝑧 = −7; 2х + у − 𝑧 = −5 27 z = 2х − 3у + 𝑧 = −7; 3) {х + 4у + 2𝑧 = −1; х − 4у = −5 2х + 5у + 4𝑧 + 𝑡 = 20; х + 3у + 2𝑧 + 𝑡 = 11; 4*){ 2х + 10у + 9𝑧 + 9𝑡 = 40; 3х + 8у + 9𝑧 + 2𝑡 = 37 Домашнее задание 2х − 7у + 𝑧 = −4; { 3х + у − 𝑧 = 17; х − у + 3𝑧 = 3 28 Тема 6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Метод Крамера –для СЛУ из 3 уравнений, Гаусс-если больше! Метод состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной (т.е. имеющей такое же решение) с треугольной матрицей. Для этого используют следующие преобразования: 1. Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число. 2. сложение и вычитание уравнений. 3. Перестановку уравнений системы. 4. Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны 0. Т.о. для нахождения всех решений СЛУ надо: 1) Выписать расширенную матрицу этой системы 2) привести матрицу к ступенчатому виду 3)выписать соответствующую ступенчатую СЛУ 4) Решить СЛУ, двигаясь снизу вверх Решить системы линейных уравнений: х 4 у 2 z 0; 1. 3х 5 у 6 z 21; 3x y z 4. 29 Ответ: (-2;-3;5) 5 х 5 у 4 z 3; 2. х у 5 z 11; 4 x 3 y 6 z 9. Ответ: (- 120 43 58 ;- ;- ) 7 3 21 х 2 у 3z 4t 2 х 3 у 4 z t 3. 3x 4 y z 2t 4 x y 2 z 3t 11; 12; 13; 14. Ответ: (2;1;1;1) 30 3х 2 у 3z 5t 10; 2 х у 5 z t 5; 4. x y 3z 2t 2; 2 x 2 y z t 1. Ответ: (1;0;1;2) 3 х 7 у 7 z 2t 22; х 8 у 10 z 3t 35; 5. 4 x 7 y14 z 5t 48; x 2 y 3 z t 12. Ответ: (1;0;-3;-2) 31 Практическое занятие №4 2х + у − 𝑧 = 1; 1) { х + у + 𝑧 = 1; 3х − у + 𝑧 = 4 2х + у − 3𝑧 = −5; 2) { х − 2у + 2𝑧 = 17; х + у + 3𝑧 = 4 3х − 5у + 𝑧 = −1; 3) {12х + 3у − 15𝑧 = 42; −3х + 4у + 2𝑧 = −1 х − 3у + 4𝑧 + 5𝑡 = 6; 2х + у + 3𝑡 = −4; 4) { 3х − 5у + 2𝑧 = 20; 2х + 4у − 10𝑧 + 𝑡 = −26 32 3х − у + 2𝑧 + 𝑡 = 5; 5у − 2𝑧 − 3𝑡 = 0; 5) { −10у + 𝑧 − 𝑡 = −10; х + 2у − 𝑧 = 2 Домашнее задание х + у + 4𝑧 + 3𝑡 = 2; х − у + 12𝑧 + 6𝑡 = 6; { 4х + 4у − 4𝑧 + 3𝑡 = 0; 2х + 2у + 8𝑧 − 3𝑡 = 1 33 Примерный вариант контрольной работы Задание 1. 1 0 Даны матрицы: А= ( 4 5 Найти а) А+В; 1 3 −1 ) и В= ( 1 −1 4 0 5 12 ). −2 1 2 б) 4А-2В; в) ВТ. Задание 2. 0 1 −3 4 −1 Даны матрицы А= ( 5 6 4 ) и В=(5 2 −1 0 2 0 1 0 −2). 3 Найти А∙В и В∙А. Задание 3. −3 Вычислить определители: а) | 10 1 3 −1 | ; б) |−1 2 −6 0 3 Задание 4. 1 Найти А , если А=| 5 −1 -1 −2 6 4 0|. 0 1 Задание 5. 3х + 2𝑦 + 𝑧 = 5 Решить СЛУ методом Крамера: : { 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + у + 2𝑧 = 11 Задание 6. 3х − 𝑦 = 5 Решить СЛУ методом Гаусса: : { −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 15 34 2 4 |. −2