МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению самостоятельных

Министерство общего и профессионального образования Свердловской
области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Свердловской области
«Екатеринбургский техникум отраслевых технологий и сервиса»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению самостоятельных работ
по дисциплине Математика для студентов 2 курса ,
Разработчик: преподаватель
ЕТОТС
Е.В.Костылева
Екатеринбург, 2014г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Самостоятельные работы по дисциплине «Математика» предназначены для
закрепления учебного материала по разделам программы.
В результате выполнения самостоятельных работ
студенты должны
иметь представление: о роли математических методов в решении задач
управления, организации и планирования;
знать:
- основные понятия линейной алгебры, аналитической геометрии;
- виды задач линейного программирования;
- основы теории вероятностей и математической статистики, общей теории
статистики.
уметь:
- решать системы линейных уравнений с несколькими переменными, системы
линейных неравенств с двумя переменными графическим методом;
- решать задачи линейного программирования, задачи теории вероятностей;
- рассчитывать и анализировать основные статистические показатели.
Самостоятельная работа студентов учитывает характер и специфику
закрепления изученного материала для будущей профессиональной подготовки
студента и включает в себя следующие этапы обработки информации:
1. Ориентировку в материале и усвоение последовательности действий при
решений математических задач;
2. Деятельность студентов, связанную с объектами изучения (направленность
на конкретную специальность);
3. Письменные и устные действия;
4. Выполнение действий студентами при решении задач;
5. Умственные действия самих студентов;
Содержание самостоятельных работ позволяет преобразовывать знания,
умения и навыки, находить системные связи с другими дисциплинами.
2
ПЕРЕЧЕНЬ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Тема самостоятельных работ
Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя
неизвестными
Графический метод решения системы линейных неравенств
Матрицы. Виды матриц. Определитель матриц и его свойства
Действия над матрицами. Обратная матрица
Методы решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Графический метод решения задачи линейного программирования
Решение транспортной задачи
Соединение комбинаторики
Определение вероятности события
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Случайные величины и их характеристики
Выборка и выборочное распределение. Прямая линия регрессии
Составление сводки и группировки статистических данных. Ряды
распределения
Построение графических изображений статистических данных
Расчет абсолютных и относительных показателей
Средние статистические показатели
Показатели вариации и их расчет
Показатели, характеризующие динамику процесса
3
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Тема: Методы решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными
Ход работы:
1. Решить системы уравнений тремя методами (методом подстановки, методом
алгебраического сложения, графическим методом)
x y x y

 10

2
2)  5
 x  y 10
 5 2
2 x  4 y  1
4) 
4 x  8 y   3
5 x  7 y  3
1) 
6 x  5 y  17
 3x  8 y  0
3x  8 y  0
3) 
2. Построить графики функций
1
3
2) y  2 x  4
1) y  x
3) y  3x
4) y   8 x  2
5) y  8 x
6) y   0,5 x  2
7) 3 x  4 y  8
8) 2 y  3
9)  5 x  y  6
10) 5 x 10
11) y   1
12) y  3
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 1
1) При решении системы уравнений методом подстановки необходимо из
одного уравнения выразить переменную х или у и подставить это выражение в
другое уравнение, решить систему и сделать проверку. Проверка делается путем
подстановки полученных данных в исходную систему уравнений.
2) При решении системы уравнений методом алгебраического сложения
необходимо уравнять коэффициенты перед неизвестными путем домножения или
деления, сложить или вычесть уравнения, решить полученное уравнение, затем
найти все переменные системы.
4
3) Для решения системы уравнений графическим методом необходимо
построить графики заданных прямых и найти координаты точки их пересечения,
согласно выбранному масштабу, и записать их в ответ. Для получения более точных
результатов решения, систему уравнений необходимо решить одним из
алгебраических методов (подстановки или сложения).
4) Чтобы построить графики прямых линий, необходимо задать числовые
значения х и вычислить значение у, результаты записать в виде таблицы и построить
графики. Для построения прямой достаточно двух точек.
5
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Тема: Графический метод решения системы линейных неравенств
Ход работы:
1. Решить неравенство и построить область его решения:
8x1
7  3 x
 2 10 x  3  12

 x  1  2x  2 1
2
 2
2. Решить системы неравенств графическим методом:
3 x  y  6
1) 3x  2 y  0
x  y  4

2) 
 x  2 y 1
2 x  y 1

3)  x  y  0
x  0

 y  0
5 x  3 y  15
0  x  11
4) 
 x  y  17
0  y  10
2 x  y  1
y  x1
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 2
1) При решении системы линейных неравенств графическим методом
необходимо найти на плоскости ХОУ множество переменных Х и У,
удовлетворяющее условно системы. Для этого надо построить графики линейных
функций и найти точки их пересечения.
Следует выполнить алгоритм:
1. Решить систему неравенств относительно у, применяя правила решения
числовых неравенств.
2. Записать вместо знака неравенства знак «=».
3. Построить графики линейных функций.
4. Определить точки пересечения графиков, путем решения системы уравнений.
5. Заштриховать часть плоскости выше или ниже графика функции цветными
ручками
или
карандашами,
соответственно
знаку
полученного
в
п. 1 неравенства. Если знак неравенства «>» или «  », то плоскость заштриховывают
выше прямой линии, если же знак неравенства «<» или «  », то плоскость
заштриховывают ниже прямой линии около точек пересечения построенных
прямых.
6. Часть плоскости, где пересекаются области решения всех неравенств,
определяет множество решений всей системы.
Границу этой области выделяют и указывают точки пересечения графиков
функций с помощью заглавных букв А, В, С и т.д.
6
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Тема: Матрицы. Виды матриц. Определитель матриц и его свойства
Ход работы:
Найти определители матриц:
0 1 2 


1) А =  3  1 4 
8 6 4


2

2) В =  2
4

 1  2 3


3) С =   4 5  6 
 7 8
9 

1 1  1 


4) D = 1 1  1 
 6 6  6


0

5) N = 1
3

 1  8  6 


6) K =   3  2  5 
 0
1
4 

1
0
7) F = 
1 3

3 0
6 0 
0
1
 1
 1



8) P = 
2 8

2 8
6 1 
2 

2 
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 3
1) Вычисляется по формуле:
 А
а11 а12
а21 а22
 а11  а22  а 21  а12 , результат вычисления – любое действительное
число.
2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют
правило треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную
формуле пункта 1.
«+»
«-»
7
Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс»,
элементы побочной диагонали и ее параллелей – со знаком «минус»,
тогда:
а11 а12
 А  а21 а22
а31 а32
а13
а23  а11  а22  а33  а 21  а32  а13  а12  а23  а31  а31  а22  а13  а32  а23  а11  а21  а12  а33
а33
8
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Тема: Действия над матрицами. Обратная матрица
Ход работы:
Найти матрицы, обратные данным:
0 1

1) A =  3  1
8 6

 1

3) C =   4
 7

2

4
4 
2
5
8
2

2) B =  2
4

3

6
9 
1
1
4) P = 
2
2
6
8

8
1 
 2

2 
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 4
1) Вычисляется по формуле:
 А
а11 а12
а21 а22
 а11  а22  а 21  а12 , результат вычисления – любое действительное
число.
2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют
правило треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную
формуле пункта 1.
«+»
«-»
Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс»,
элементы побочной диагонали и ее параллелей – со знаком «минус»,
тогда:
а11 а12
 А  а21 а22
а31 а32
а13
а23  а11  а22  а33  а 21  а32  а13  а12  а23  а31  а31  а22  а13  а32  а23  а11  а21  а12  а33
а33
3) Для вычисления матрицы, обратной данной, необходимо:
1. Найти определитель ∆ заданной матрицы по формулам пункта 1 и 2.
2. Найти алгебраические дополнения по формулам:
9
А11   1
а22 а23
А13   1
а21
а22
а31
а32
А21   1
а12 а13
А23   1
а11
а12
а31
а32
А31   1
а12
А33   1
а11
11
а32
1 3
2 1
а32
23
3 1
а33
1 2
,
а33
а13
,
а22 а23
3 3
А12   1
,
А22   1
2 2
А32   1
3 2
а21
а23
а31
а33
а11
а13
а31
а33
а11
а13
а21
а23
а12
а21 а22
 А11

3. Составить матрицу:  А21

 А31
А12
А22
А32
А13 

А23 

А33 
Транспортировать ее (строки и столбцы поменять местами)
 А11

А   А12
А
 13
Т
 А11

 
А
А1   12
 
 А13

 
А21
А22
А23
А21

А22

А23

А31 

А32  и найти обратную матрицу по формуле:
А33 
А31 

 
А23 

 
А33 

 
4. Проверка производится по формуле:
1 0

А А  Е   0 1
0 0

1
0 

0 .
1 
10
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Тема: Методы решения систем трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
Ход работы:
Решить системы уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса, матричным
способом. Сделать проверку:
x  2 y  z  7

1) 2 x  y  z  2
3x  5 y  2 z   7

x  y  z  2

2) 2 x  y  z  5
 x  y  2 z  3

2 x  2 y  z  0

4) 20 x 10 y  z  4
5 x 10 y  5 z 18

3x  2 y  z 10

3)  x  5 y  2 z  15
2 x  2 y  z  3

Методические рекомендации к самостоятельной работе № 5
1. При решении системы уравнений по формулам Крамера необходимо:
1) Найти определитель  матрицы системы, которая состоит из коэффициентов
при неизвестных x, y, z по правилу треугольника.
2) Составить матрицу-столбец свободных коэффициентов.
3) Найти определитель при первом неизвестном (х). Для этого нужно вместо
первого столбец матрицы системы подставить столбец свободных коэффициентов и
найти х .
4) Аналогично определить y и z .
5) Найти x, y, z по формулам x 
x
y
z
, y
, z
. Сделать проверку.
А
А
А
6) Если   0 , то система решений не имеет.
2. При решении системы методом Гаусса необходимо: на первое место поставить
уравнение, в котором коэффициент перед первым неизвестным самый наименьший, и
затем исключить переменные методом алгебраического сложения.
3. Произвести обратный ход метода и определить значение переменных x, y, z .
Сделать проверку.
4. При решении системы уравнений матричным способом применяют следующую
запись:
а11 х  а12 у  а13 z  b1 (1)

a21 x  a22 y  a23 z  b2 (2) , где
a x  a y  a z  b (3)
32
33
3
 31
 b1 
 
В   b2 
b 
 3
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23 
a

 31 a32 a33 
x
 
X   y
z 
 
и А·Х = В, тогда Х=А-1 ·В, А-1 – матрица, обратная матрице А.
Находят значения x, y, z , делают проверку.
11
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 6
Тема: Графический метод решения задачи линейного программирования
Ход работы:
1) Найти оптимизацию целевой линейной функции: F=x1+x2+1→min при
2 x1  x 2  10
 x  x  6
ограничениях:  1 2
 x1  0
 x 2  0
2) Составить оптимальный план достижения максимальной прибыли от
реализации изделий видов А и В. Данные производства приведены в таблице:
№
Норма сырья на 1 единицу, кг
Запрос
Вид сырья
п/п
сырья, кг
Изделие А
Изделие В
1
S1
15
6
7
2
S2
6
2
2
3
S3
10
1
6
Прибыль от реализации одного изделия, д.е.
15
20
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 6
1) Задачи линейного программирования (ЗЛП) решаются графическим методом.
2) Решение задачи разбивается на три этапа
I этап – выделение объекта исследования.
II этап – создание экономико-математической модели.
III этап – выбор метода решения, решения ЗЛП и формулировка вывода.
В выводе указывается при каких параметрах производительности, сбыта и т.п.
достигает оптимальное значение исследуемой целевой линейной функции F(x) при
заданных условиях.
3) Условие задач записывают в виде сводной таблицы.
4) Математическая модель представляет собой систему неравенств,
составленных по условию задачи.
12
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 7
Тема: Решение транспортной задачи
Ход работы:
Составить оптимальный план распределения поставок. Рассчитай экономию
денежных средств на перевозку на перевозку груза в условных денежных единицах.
№ п/п
Мощность
поставщиков, ед.
1
2
3
25
35
25
1
30
Потребители и их спрос, ед.
2
30
1
2
2
1
2
5
3
4
6
3
25
Методические рекомендации к практической работе № 7
1) Определить суммарную мощность поставщиков:
m
 ai  a1  a2 ..., i 1,2,3,...
i 1
Определить суммарную мощность (потребность, спрос) потребителей
n
 bj  b1  b2  ..., j  1,2,3,...
j 1
Если суммарная мощность поставщиков больше, чем спрос потребителей, то в
таблицу необходимо ввести фиктивного потребителя (добавить столбец), мощность
которого (спрос) составит:
m
n
i 1
j 1
 ai   b j
Коэффициенты затрат при этом считаются равными нулю.
Если суммарный спрос потребителей больше суммарной мощности поставщиков,
то в таблицу вводят фиктивного поставщика (добавляют строку), мощность которого
равна:
n
m
j 1
i 1
 bj   ai
Коэффициенты затрат при этом считаются равными нулю.
2) Составить первоначальное базовое распределение поставок (ПБРП) методом
«северо-западного» угла. Вычислить базовый размер затрат F0 (у.д.е).
3) Составить распределение поставок методом наименьших затрат, найти объем
затрат F7 (у.д.е).
4) Экономия затрат вычисляется по формуле:
F  F  F0 (у.д.е).
Если F  0 (отрицательна), то экономия достигнута. Если F  0 , то считается
оптимальным метод «северо-западного» угла.
Если F  0 (положительна), то экономии денежных средств нет.
13
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 8
Тема: Соединения комбинаторики
Ход работы:
1. Упростить:
1)
n 1 !
n!
2)
5!
3! 4 !
2)
1
1
1
 x x
x
C 4 C5 C 6
2. Найти x:
1) Ax5 18  Ax42
3. Решить задачи:
1) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 при условии,
что цифры в числе не повторяются?
2) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 при
условии, что цифры в числе не повторяются? Сколько среди них четных чисел
(нечетных чисел)?
3) Сколько перестановок букв можно сделать в словах: водолаз; абракадабра?
4. Выполнить действия над множествами:
A  8; 9; 6; 7,
В  4; 5; 6; 9
Найти:
АВ
АВ
А/ В
В/ А
А В
Методические указания к самостоятельной работе № 8
1. При выполнении работы следует применять формулы для перестановок,
размещений и сочетаний элементов.
2. Следует помнить, что внутри размещения элементы отличаются друг от
друга.
3. В задачах на вычисление могут получаться результаты, принадлежащие
множеству всех действительных чисел.
4. В комбинаторных задачах результаты должны быть положительными и
целыми.
5. При решении задачи можно применять схему:
1) анализ условия задачи;
14
2) выбор соединения элементов;
3) вычисление количества способов для данного соединения;
4) запись ответа.
6. При решении уравнения, содержащего соединения комбинаторики,
необходимо найти область допустимых значений переменной x или проверить
найденные значения x по смыслу. Значения x должно быть целое и положительное.
7. Количество всех элементов не может быть отрицательным или равным нулю.
Количество элементов в подгруппе не может быть отрицательным.
8. В задаче 3 варианта I и II-го применяется правило умножения.
15
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 9
Тема: Определение вероятности события
Ход работы:
Решить задачи:
1) Среди 100 ламп 5 испорченны. Какова вероятность того, что выбранные
наугад три лампы будут исправны?
2) При игре «Спортлото» 6 из 49 определили 6 выигрышных номеров. Какова
вероятность того, что среди купленных 6 билетов 3 окажутся выигрышными?
3) В коробке 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров. Вынимают один шар. Найти
вероятность того, что шар будет: 1. Белым; 2. Черным; 3. Желтым; 4. Красным.
4) Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших
очков равна 10.
5) Монету бросают три раза. Найти распределение выпадения герба.
Методические указания самостоятельной работе № 9
1. Вероятность события определяется по формуле p 
m
, где n – число всех
n
исходов; m – число благоприятных исходов.
2. При вычислении вероятности события следует помнить, что искомая
величина вероятности обладает свойствами:
1) 0  p  1; p выражают в %
2) p(N)  0  вероятность невозможного события
3) p(D)  1  вероятность достоверного события
3. Чтобы число выразить в процентах, его нужно поделить на 100%.
4. Чтобы проценты выразить в числах, количество процентов нужно умножить
на 100.
5. Если величина вероятности события получается равной дроби, то
необходимо числитель дроби поделить на знаменатель, значение округлить и
выразить в процентах, оставив два знака после запятой.
Например:
5
 0,8(3)  0,8333  83,33%
6
4
 0,57142...  57,14%
7
1
 0,(3)  0,3333  33,33%
3
16
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 10
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Ход работы:
Решить задачи:
1) В корзине 5 белых и 7 черных перчаток. Наугад берут пару перчаток. Найти
вероятность того, что взятая пара одноцветная.
2) В 1-й корзине 2 черных, 3 белых шара. Во 2-й корзине 5 черных, 6 белых
шаров. Из каждой корзины одновременно извлекают по одному шару. Найти
вероятность того, что оба шара черные.
3) В группе 5 человек учатся на отлично, 7 на хорошо и отлично, 15 –
удовлетворительно, 3 – неудовлетворительно. Определить вероятность того, что
вызванный наугад учащийся не имеет ни 2 ни 3.
4)
№ цеха
Объем продукции, %
Брак продукции, %
I
50 %
1%
II
30 %
2%
III
20 %
1,5 %
всего
Наугад берут одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное:
А) изделие бракованное;
Б) изделие стандартное;
В) изделие из третьего цеха стандартное.
5) Всхожесть пшеницы. Р=0,4. проводится 5 опытов. Найти вероятность того,
что из 5 семян взойдет:
А) не менее 3;
Б) 4 семени;
В) не более 3;
Г) все 5 семян.
Методические указания к практической работе № 10
1. При определении операции над событиями в рассуждениях следует
применять смысловые связки «и», «или». «И» для произведения событий; «или» для суммы.
17
2. Обязательно нужно рассматривать все прямые и обратные варианты
событий.
Например: I-й прибор работает A1 .
I-й прибор не работает A1 и их системы.
A1  A 2  A3  A1  A2  A3  ....
Вероятность прямого события обозначают буквой «p», обратного – «q».
3. Применяют формулы:
Сумма вероятностей прямого и обратного событий;
p  q 1
Вероятность суммы двух несовместных событий;
P ( A  B)  P ( A)  P ( B)
Вероятность произведения двух независимых событий;
P  ( A  B)  P  ( A)  P  ( B)
Вероятность суммы двух совместных событий;
P  ( A  B)  P  ( A)  P  ( B)  P  ( A  B)
4. В задачах на полную вероятность и формулу Байеса необходимо сначала
задать гипотезы, определить условную вероятность события при каждой гипотезе и
полную вероятность события.
18
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 11
Тема: Случайные величины и их характеристики
Ход работы:
Решить задачи:
1) Монетка подбрасывается 7 раз. Найти закон распределения числа выпадания
герба. Вычислить МХ, DX. Построить график распределения.
2) Случайная величина х – квадрат числа очков, выпавших при подбрасывании
игральной кости. Найти: закон распределения, МХ, DX. Построить график
распределения.
3) Выпущено 500 лотерейных билетов, на 40 билетов выпадает выигрыш – 100
руб., 10 билетов – 50 руб., 5 билетов – 200 руб. Остальные билеты проигрышные.
Купили один билет. Найти закон распределения выигрыша. Построить график
закона распределения.
4)
xi
pi
1
0,3
2
0,2
3
0,5
Найти МХ, DX. Построить график закона распределения.
5)
xi
pi
2
1/4
4
1/8
6
1/4
8
1/8
10
1/4
Найти МХ, DX. Построить график закона распределения.
Методические указания к практической работе № 11
1.
При составлении закона распределения случайной величины сначала
необходимо определить числовое значение случайных величин и вероятность их
появления, затем данные занести в таблицу:
xi
pi
2.
При построении графика закона распределения случайной величины для
наглядности по координатным осям задают соответствующие масштабы. График
изображают в системе координат xi О p i
3.
Математическое ожидание случайной величины
вычисляют по формуле:
k
MX   x  p  x  p  x  p  ... x  pk
i i
1 1
2 2
k
i 1
19
n – количество случайных величин.
4. Дисперсию случайной величины вычисляют по формуле:
k
ДX   (x  MX)2  p (x  MX)2  p (x  MX)2  p  ...(x  MX)
i
i
1
1
2
2
k
E 1
k – количество случайных величин.
5. Для случайных величин сопоставляют закон распределения и изображают
его на графике для оценки характера процесса.
6. Для биномиального распределения вероятность вычисляют по формуле
Бернулли Pn (k )  C nk  p k  q n  k , p – вероятность прямого события
n!
q – вероятность обратного события.
Сk 
n
7.
n
 pi
i 1
(n  k)!  k!
При
решении
задачи
всегда
 p 1  p 2  ...  p n  1
20
делают
проверку
по
формуле
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 12
Тема: Выборка и выборочное распределение. Прямая линия регрессии
Ход работы:
1) Дана выборка: 7, 7, 2, 7, 7, 5, 5, 7, 5, 7.
Найти: объем, размах, Х, S, S0. построить полигон частот, полигон
относительных частот.
2) 5, 2, 8, -2, 5, -2, 2, 2, 8, 8, 5, 5. Найти выборочное распределение Х, S, S0.
3) 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7. построить полигон относительных частот.
4)
x
0
3
5
10
i
ni
10
5
7
3
Найти Х, S, S0. Построить полигон частот.
5) xi=-60; -20; 0; 30; 80.
ni
1 3 1 1 1
 ; ; ; ;
n 10 20 2 5 20
Найти S, S0. построить полигон относительных частот.
6)
X
y
1
2
3
4
6
8
0
1
-1
7
Найти уравнение прямой линии регрессии. Сделать чертеж.
Методические указания к самостоятельной работе № 12
1.
Для определения характеристик выборки нужно четко разделить
количественные и качественные характеристики выборки.
2.
При построении полигонов по координатным осям задают
соответствующие масштабы для наглядного изображения.
Полигон – это ломаная линия.
3.
Выборочное распределение, статистический ряд должны быть в виде
таблиц.
Качественные характеристики выборки вычисляются по формулам:
Среднее выборочное
21
1 k
x    xi
n i 1
x
1 k
  xi  ni
n i 1
Выборочная дисперсия
1 k
S 0    ( x i  x )  ni
n i 1
Несмещенная выборочная дисперсия
S
n
 S0
n 1
22
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 13
Тема: Составление сводки и группировки статистических данных. Ряды
распределения
Ход работы:
Имеются данные успеваемости студентов по одной из дисциплин учебного
плана:
5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3
Построить группировку данных в ряды распределения по уровню успеваемости
(атрибутивный и вариационный: дискретный и интервальный).
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 13
1. При проведении группировки статистических данных следует выделить
основание группировки, вычислить количество групп по формуле Стерджесса
n  1  3,322 lg N , где
N – количество всех элементов совокупности.
n – количество групп.
2. В каждой группе следует выделить интервалы изменения группировочного
признака, применив формулу:
h
X max  X min
, где
n
h – количество интервалов.
n – количество групп.
X max, X min – наибольшее и наименьшее значение признака соответственно.
3. Данные группировки заносятся в таблицы. Таблица должна содержать:
номер, название, итоговую строку, расчет удельного веса группы в совокупности.
4. Удельный вес рассчитывается по формуле:

n
 100% , где
N
N – общее количество элементов в группах (итог).
n – количество элементов в определенной группе.
5. Таблица должна содержать:
 текущий номер и название.
 номер по порядку.
 наименование строк и столбцов.
 итоговую строку.
 строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
23
6. Расчет удельного веса производится по формуле:
ni
100% , где n i - количество единиц совокупности для i -го интервала
N
( i  1,2,3 …), N - объем исследуемой совокупности.

7. Ранжированный ряд строится по убыванию (возрастанию) единиц
совокупности.
8. Для построения дискретного ряда необходимо определить варианты
(количество баллов), частоту их повторения и удельный вес единиц совокупности.
9. Для построения интервального ряда необходимо вычислить: число
интервалов по формуле Стерджесса: n  1 3,322 lg N , где N - объем исследуемой
совокупности; величину интервала (пределы изменения варианта) по формуле:
xmax  xmin
, где xmax - наибольшее значение варианта; xmin - наименьшее значение
n
варианта; n - число интервалов.
h
24
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 14
Тема: Построение графических изображений статистических данных
Ход работы:
Задача 1.
Имеются данные по вкладам населения, тыс. руб.:
Сумма вклада, тыс. руб.
Число вкладчиков, чел.
10-30
1
30-50
3
50-70
10
70-90
30
90-110
60
110-130
7
Построить полигон и гистограмму данных.
Задача 2.
Имеются данные распределения деталей по размеру, мм.:
Размер, мм.
Количество деталей, шт.
1
16
2
15
3
17
4
18
5
18
6
11
7
6
8
29
9
20
10
13
Построить полигон и гистограмму данных.
Методические указания к практической работе № 14
1. Полигон распределения строится по дискретному вариационному ряду. Для
такого ряда строится в решении задачи таблица, таблице присваивается текущий
номер и название.
2. Гистограмма распределения строиться по интервальному вариационному
ряду. Для такого ряда в решении задачи проводятся расчеты количества интервалов
и пределов изменения варианта по формулам:
 количество интервалов: n  1  3.322 lg N , где N - объем данной совокупности.
 величина интервала: h 
x max  x min
;
n
n
- количество интервалов. Данные
заносятся в таблицу. Таблице присваивается текущий номер и название.
Дискретный ряд распределения…
Таблица 1.
Наименование варианта
Частота
Хi
Fi
Интервальный ряд распределений…
Таблица 2.
Интервал варианта
Х1-Х2
F1
Х2-Х3
F2
25
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 15
Тема: Расчет абсолютных и относительных показателей
Ход работы:
Имеются данные ввода в эксплуатацию жилых домов по городу:
Год
Количество домов, шт.
1999
18
2000
17
2001
19
2002
20
2003
21
2004
20
2005
22
2006
23
Рассчитать абсолютные и относительные показатели. Построить полигон
данных.
Методические указания к практической работе № 15
1. Таблица статических данных должна содержать:
 номер;
 название;
 столбец: номера по порядку;
 содержание строк и столбцов;
 итоговую строку (столбцов);
 строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
2. Полигон распределения строится по дискретному вариационному ряду. Для
такого ряда строится в решении задачи таблица, таблице присваивается текущий
номер и название.
3. Гистограмма распределения строиться по интервальному вариационному
ряду. Для такого ряда в решении задачи проводятся расчеты количества интервалов
и пределов изменения варианта по формулам:
 количество интервалов: n  1  3.322 lg N , где N - объем данной совокупности.
 величина интервала: h 
x max  x min
;
n
n
- количество интервалов. Данные
заносятся в таблицу. Таблице присваивается текущий номер и название.
4. Расчет ОПД (темпов роста) производится по формуле: iдин 
iтек
 100% , где:
iбаз
iтек - показатель текущего периода.
iбаз - показатель базисного периода (база сравнения). ОПД выражается в
процентах. Базовые показатели принимаются за 100 %.
1. Расчет темпа роста производится по формуле iт. р.  iдин  iбаз , где
26
iдин - показатель текущего периода.
iбаз - показатель базисного (базового) периода, величина темпов роста
выражается в процентах.
5. Расчет ОПС производится по формуле Si 
ni
 100 , где
N
ni - показатель единицы совокупности.
N - объем всей совокупности, ОПС выражается в процентах.
27
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 16
Тема: Средние статистические показатели
Ход работы:
Задача 1.
Имеются данные веса изделий, г.:
Вес, г.
100 102 98 95 103
Количество изделий, шт. 5
4
4 3
2
Вычислить средний вес изделия. Построить полигон данных.
Задача 2.
Имеются данные о возрасте студентов.
Возраст, лет
До 18 18-20 20-22 22-24 Свыше 24
Число студентов, чел 20
170
240
260
60
Вычислить средний возраст студентов. Построить гистограмму данных.
Методические указания к практической работе № 16
1. Таблица статических данных должна содержать:

номер;

название;

столбец: номера по порядку;

содержание строк и столбцов;

итоговую строку (столбцов);

строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
2. Полигон распределения строится по дискретному вариационному ряду. Для
такого ряда строится в решении задачи таблица, таблице присваивается текущий
номер и название.
3. Гистограмма распределения строиться по интервальному вариационному
ряду. Для такого ряда в решении задачи проводятся расчеты количества интервалов
и пределов изменения варианта по формулам:
 количество интервалов: n  1  3.322 lg N , где N - объем данной совокупности.
 величина интервала: h 
x max  x min
;
n
n
- количество интервалов. Данные
заносятся в таблицу. Таблице присваивается текущий номер и название.
4. Для решения некоторых задач необходимо построить таблицу данных.
28
Типовая таблица (название таблицы)
№ п/п
1
2
…
Табельный номер
Заработная плата, руб.
…
…
Итого:
Средняя заработная плат, руб.
Таблица 1
Удельный вес, % к итогу
…
Таблице присваивается текущий номер и название.
5. При вычислении средних арифметических показателей применяют формулы:
1 к
хариф.пр.    хi - средний арифметический простой показатель
N i 1
1 к
хариф.dpd / .    хi  f i - средний арифметический взвешенный показатель
N i 1
N - количество данных
xi - значение варианта
f i - частота повторения варианта. Если частоты равны или отсутствуют, то
арифметический взвешенный показатель считается как простой.
6. В задачах применяется хариф.в зв. , для его вычисления необходимо найти
х  х0
середины интервалов: хсер . 
, где х0 - начало интервала; х - конец интервала
2
за частоту повторения f i нужно принять численность и долю населения.
7. При формулировке вывода указать с учетом каких фактов вычисляются
средние арифметические показатели.
29
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 17
Тема: Показатели вариации и их расчет
Ход работы:
Имеются данные получения дохода коммерческими фирмами города, тыс. руб.:
Сумма, тыс. руб.
40-42 42-44 44-46 46-48 48-50
Количество фирм, шт.
7
24
38
19
12
Рассчитать средний доход, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
данной выборки. Построить гистограмму данных.
Методические указания к практической работе № 17
1. Расчетная таблица имеет следующую структуру в зависимости от формул
вычисления показателя и вида ряда распределения.
Таблица 1
Сере№ Вари- дина ин- X  F
i
i
п/п ант Х тервала xi
1
2
Xi  X

Xi  X
X
X  X i f2
 X
2
i
X
 X  fi
2
i
Итого
Таблице присваивается текущий номер и название. Показатели вариации
рассчитываются после таблицы. При вычислениях указывают виды показателей,
формулы расчета показателей, результаты, единицы измерения. После расчета
составляется вывод по условию задачи. В название таблицы указывают место и
время исследования.
2. Абсолютные показатели вариации
Рассчитываются по формулам.
k
1)
Объем (N) – количество данных. N   f i  f1  f 2  ... f k
i 0
2) Размах (R): R=X max  X min где X max , X min - наибольшее и наименьшее значение
варианта, соответственно.
3) Линейное отклонение d :
к
d взв 
X
i 1
=
к
f
i 1
4)
i
к
X
X 1  X  X 2  X  ...  X к  X
f1  f 2  f 3  ...  f k
i
Дисперсия
30
или d взв 
X
i 1
i
N
X
k
, гдеN   f i
i 1
 X
к
(
2
взв
):  =
2
в зв
i 1
 X  fi
2
i
k
f
i 1
2
или  взв

X

 X 2 f1  X 2  X  f 2  ...  X k  X  f k
f1  f 2  ...  f k
2
1
2
i
k
Z ik1 ( X i  X ) f i
, гдеN   f i  f1  f 2  ...  f k
N
i 1
5) Среднее квадратическое отношение ( 
взв
): 
взв
= 2
3.Относительные показатели вариации (%)
Вычисляются по формулам:
1) Относительный размах (К р ): К р =
R
 100%
X
2) Относительные линейные отклонение (Кf): K d 
3) Коэффициент вариации (V): V 
d
 100%
x
F
 100%
X
4) Коэффициент равномерности (Р): Р=100-V.
4. Гистограмма распределения строиться по интервальному вариационному
ряду. Для такого ряда в решении задачи проводятся расчеты количества интервалов
и пределов изменения варианта по формулам:
 количество интервалов: n  1  3.322 lg N , где N - объем данной совокупности.
 величина интервала: h 
заносятся в таблицу.
x max  x min
;
n
31
n
- количество интервалов. Данные
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 18
Тема: Показатели, характеризующие динамику процесса
Ход работы:
Имеются данные по объединению о производстве промышленной продукции,
млн. руб.:
Год
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Объем продукции, млн. руб. 67
73
75
77
82
84
Рассчитать показатели вариации. Построить график динамики процесса.
Методические рекомендации к практической работе № 18
1)
При проведении тренда, рассчитывают основные показатели:
абсолютный прирост, темпы роста, темпы прироста, применив формулы:
Аб  У i  У 0 ; Ацеп  У i  У i 1 ; Т р.б . 
Т р.ц 
Уi
 100% ;
У0
Уi
 100% ; Т пр.б .  Т р.б .  100% ; Т пр.ц .  Т р.ц .  100% ,
У i 1
где Аб – базисный абсолютный прирост выражается в тоннах; Ацеп – цепной
абсолютный прирост (тонны); У0 – базисный уровень, т; Уi - текущий уровень, т; Уi1 – предыдущий уровень, т; Тр.б. – базисный темп роста, %; Тр.ц. – цепной темп роста,
%; Тпр.б. - базисный тесп прироста, %; Тпр.ц. – цепной темп прироста, %;
2) Графики базисных и цепных темпов роста строят на одном чертеже разными
цветами в виде полигона. В вершине звена указываются величина темпа роста. При
этом применяются оси координат вида
Темпы роста, %
30
20
дни
10
1 2 3
3) Пример расчетной таблицы показателей динамики. (Таблице присваиваются
название и текущий номер, в конце должна быть итоговая срока.) Расчет остальных
показателей динамики заменяются расчетом удельного веса единиц совокупности. В
названии таблицы указывают место и время исследования: Основные показатели
динамики отгруженных материалов завода …. за …. месяц…. года.
32
№ Дата
п/п
1
2
Отгружено
материалов,
т
Абсолютный
прирост, т
Базис- Цепный
ной
Таблица 1
Темп роста,
Темпы
Удельный
%
прироста, %
вес, % к
итогу
Базис- Цеп- Базис- Цепные
ные
ные
ные
01…
112
02…
112
Итого:
4) Средний уровень отгруженных материалов вычисляется как средняя
n
арифметическая простая величина по формуле: У 
У
i 1
n
i

y1  y2  y3 ...  yn
, где уi –
n
текущий уровень (т), n – количество уровней в совокупности.
5) Полигон распределения строится по дискретному вариационному ряду. Для
такого ряда строится в решении задачи таблица, таблице присваивается текущий
номер и название.
33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. –
М.: Наука,2005.
2. Башмаков М.И. Математика. – М.: Высшая школа,2006.
3. Богомолов Н.В. практические занятия по математике: Учебное пособие для
техникумов. – М.: Высшая школа,2000.
4. Валуцэ И.И. Дилигур Г.Д. Математика для техникумов на базе средней
школы. – Наука,2001.
5. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса, учебное
пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.:
Просвещение, 2005.
6. Замков О., Толстопятко А., Черемных Ю. Математические методы в
экономике. – М.: ДИС, 2007.
7. Исследование операций в экономике/ учебное пособие для ВУЗов (под ред.
Н.Ш. Кремера). – М.: Банки и биржи ЮНИТИ, 2009.
8. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика, Учеб. для студ.
сред. спец. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2010.
9. Кожухарь Л.И. Основы общей теории статистики. – М.: Финансы и
статистика, 2001.
10. Курс высшей математики для экономистов. – М.: Высшая школа, 2009.
11. Малик Г.С. Основы экономики и математические методы в планировании.
Учебник. – М.: Высшая школа, 2008.
12. Общая теория статистики. Учебник/ под ред. Елисеевой И.И.. – М.:
Финансы и статистика, 2000.
13. Общая теория статистики. Учебник/ под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. –
М.: Финансы и статистика, 2010.
14. Теория статистики. Учебник/ под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и
статистика, 2010.
15. Толстик Н.В., Матегорина Н.М. Статистика. Учебное пособие. – М.: Ростовна-Дону: Феникс, 2006.
16. Шипачев В.С. Высшая математика, Учеб. для ВУЗов. – М.: Высшая школа,
2008.
34