Неопределенный интеграл. §1 Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), произведение которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на этом промежутке. Определение: Если на некотором промежутке выполняется равенство F’(x)=f(x), то функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на этом промежутке. 1 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx т.к. (Sinx)’=Cosx 2 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx+1000 т.к. (Sinx+1000)’=Cosx 1 3 для функции f(x)= 1 x 2 F(x)=Arctgx 1 т.к. (tgx)’= x 2 1 Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое. Доказательство: f (x) - некоторая функция F1 ( x) и F2 ( x) - первообразные т.е. F1 ' f ; F2 ' f F1 ' F2 ' F1 F2 C Следствие: Прибавляя к какой-нибудь первообразной F(x) для данной функции f(x), определенной на [a;b], все возможные const C, мы получим все первообразные для функции f(x). Определение: Выражение F(x)+C является общим выражением для всех первообразных заданной непрерывной функции f(x). Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (или от дифференциального выражения f(x)dx) и обозначается символом f ( x)dx f ( x)dx F ( x) C ,где F ' ( x) f ( x) Определение: Функция f(x) называется подынтегральной функцией. f(x)dx называется подынтегральным выражением. Правило: Найти неопределенный интеграл x)dx значит найти такую функцию, F(x) f (производная, которой была бы равна f(x) и к ответу прибавить const C. f ( x)dx F ' ( x)dx dF ( x) Ищем такую функцию F(x), дифференциал которой совпадет с подынтегральным выражением. §2 Свойства неопределенного интеграла. 1 ( f ( x)dx)' f ( x) 2 d ( f ( x)dx) f ( x)dx 3 dF ( x) F ( x) C 4 Af ( x)dx A f ( x)dx 5 ( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Пусть x - независимая переменная, y=f(x) - некоторая непрерывная функция на данном промежутке и F(x) ее первообразная. F ' ( x) f ( x) f ( x)dx F ( x) C u (x) - непрерывно дифференцируемая функция(и и ' непрерывны). Рассмотрим f ( x)du f (u )u ' dx Следовательно функция f (u ) F ( ( x)) является первообразной для подынтегральной функции f (u )u ' . Доказательство: В силу независимости дифференциала 1-го порядка df (u ) dF (u ) du dF (u ) f ' (u )du f (u )u ' f (u )u ' f (u )du F (u ) C , dx du dx ãäå F ' (u ) f (u ) §3 Общая таблица простейших интегралов. 1 2 3 n 1 u n u du n 1 C n 1 1 1 u du u du ln u C u a u a du ln a C 4 e u du e u C 5 6 7 8 9 Sinu du Cosu C Cosu du Sinu C du Cos 2u tgu C du Sin 2u ctgu C du 1 u 2 arctgu C 10 11 12 13 14 du 1 u a 2 u 2 a arctg a C du 1 u 2 arcSinu C arcCosu C du a2 u2 u u arcSin C arcCos C a a du 1 au a 2 u 2 2a ln a u C du 2 ln u u k C u2 k Полезные свойства, применяемые при вычислении интегралов. 1 2 3 1 dx dkx 2 dx d ( x a ) 1 dx dkx a k §4 Метод интегрирования. п.1 Метод разложения . Метод основан на свойствах неопределенного интеграла. 3 3 1 x 2 6Cosx x dx 1 x 2 dx 6Cosxdx xdx 1 2 3 dx 2x 2 3 6 Cosxdx x dx 3arctgx 6Sinx C 2 1 x 3 п.2 Метод подстановки, метод выделения новой переменной. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке a; b, а функция x ' ( x) непрерывна на ; причем ( ) a, ( ) b. Тогда, учитывая, что dx ' (t )dt неопределенный интеграл f ( x)dx записывается в виде: f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt. п.3 Метод интеграла по частям. u u (x), v v (x) - дифференциалы на некотором промежутке функции. Тогда d (uv) vdu udv udv d (uv) vdu Проинтегрировали обе части равенства по переменной х. Это можно сделать, т.к. функции u и v зависят от х. udv d (uv) vdu udv uv vdu - формула интегрирования по частям. uv' ( x)dx uv vu' dx §5 Классы интегрируемых функций. п.1 Функции интегрируемые по частям. По частям находят три вида интегралов. e kx а) интеграл вида: sin kx Pn ( x) cos kx d tg kx Pn - многочлен n-ой степени причем формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень многочлена. В этом случае за функцию u берется многочлен, а за dv берем все остальное. б) ln( x) arcsin kx P ( x ) n arccos kx dx arctgkx Интеграл находят по частям причем за u берут обратную функцию ln x arcsin kx u arccos kx arctgkx dv Pn (xdx) Функцию интегрируем столько раз, какова степень обратной функции. в) Смешанный тип: e kx sin txdx e kx tgtxdx sin(ln x)dx cos(ln x)dx Такого рода интеграла формула интегрирования по частям применяется дважды, в результате получаем уравнение относительно искомого интеграла u решение уравнения, находим ответ. п.2 Интегрирование рациональных дробей. Определение: Дробь вида P ( x ) , где Q ( x) Pn (x) и Qm (x), n=m многочлен соответствующая степень n и m наз. рациональной дробью. Определение: Если n m, дробь называется неправильной. Если n m дробь называется правильной. При интегрирование рациональных дробей, если дробь неправильная выделяют целую часть дроби и правильную дробь. n m Интегралы от правильных дробей. a ) A dx A dx A 1 d (kx) A 1 ln kx a C kx a kx a k kx a k á) Adx 1 A ax 2 bx c a A 1 a A 1 a A 1 a dx (e d ) 2 e 2 2edd 2 2 b c x x a a dx 2 2 b c b b x2 2x 2a 2a a 2a dx 2 2 b c b x 2a a 4a 2 k 0 du b d x u 2 (vk ) 2 2a du 2 k 0; b u 2 (vk) 2 x k 2a k 0; du u2 â) (mx n)dx ax 2 bx c 1 (mx n) 1 (mx n)dx 2 2 b c a x2 x a b b b b 2 x 2 x a a 2a 2a 2a a b b 2a m u n 1 (mx n)dx b 1 2a x u du 2 2 2 a 2a a u k b c b x dx du 2 a a 4a 2 u x 1 a bm n 1 mu k 1 mu 1 2a du 2 du 2 du u2 k a u k a u k u2 k mu u2 k t dt 1 mudu 1 du 1 1 du 2 l 2 dt 2udu m 2 l 2 a u k a u k a t a u k dt udu 2 1 m dt 1 du l 2 a 2 t a u k п.3 Дроби раскладываемые на сумму дробей. Для разложения дробей на простейшие применим метод неопределенного коэффициента . В общем случае дроби на простейшие получается P ( x) по формуле: ( x ) ( x ) ( x px q) ( x Sx t ) m 2 1 3 2 4 2 A1 A1 A2 ( x 1 ) 1 ( x 1 ) 1 1 x 1 B 2 B1 B2 2 2 1 (x 2 ) (x 2 ) x 2 3 x D 3 C1x D1 C2 x D2 2 2 x px q ( x px q ) 3 ( x 2 px q ) 3 1 M 4 x N 4 M N1 M 2x N 2 1x ( x Sx t ) 4 ( x 2 Sx t ) 4 1 x 2 Sx t Приводя дроби правой части равенства к общему знаменателю получаем разные дроби с одинаковыми знаменателями, следовательно можно приравнять друг к другу числители – многочлены. Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х. При одинаковых степенях х получим систему m+1 уравнение с m+1 неизвестными, которая всегда совместна и имеет единое решение. Решить систему, найдем значения коэф. стоящих в числителе в правой части разложения – в этом заключается метод неопределенного коэффициента. 1! Метод применяется для правильных дробей. Если дробь неправильная, то в дроби выделяется сначала целая часть. 2! Если многочлены равны, то равны значения многочленов при одних и тех же значения х. Приравнивая х (удачному) значению получим более простую систему уравнений для определения коэф. разложения. п.4 Интегрирование простейших иррациональностей. а) Если подынтегральная функция содержит n n ax b t , ax b , то производят замену выражая x находят dx тем самым приводят заданный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Adx б) Интеграл вида ax bx c находят выделением под корнем полного квадрата, и если a 0 , то данный интеграл является табличным – №14, а если a 0 , то табличный интеграл вида arcsin x. 2 в) Если подынтегральная функция являлось рациональной функцией от n x ; k x; s x ...b x , íîê ( n , k , s ... l ) то делают замену x t вычислить dx и в общем случае интеграл приводить к интегралу от рациональной дроби. п.5 Интегрирование тригонометрических функций. а) sin 2 x cos n xdx Если одно из чисел m или n четное, а другое не четное , то если m четное, то делаем замену sin x t , а cos x выражаем через sin x. Если n четное, то замена cos x t. Если m и n четные, то применяют формулы степени, а именно sin 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x ; cos 2 x . 2 2 Если m и n нечетные и n=m, то используют формулу двойного угла: sin 2x 2 sin x cos x Интеграл вида: sin mx sin nxdx sin mx cos nxdx cos mx cos nxdx Находят, применяя формулы выражения произведения тригонометрических функций к сумме. §6 Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралов. Теорема: Всякая непрерывная функция имеет первообразную (от всякой непрерывной функции существует неопределенный интеграл). Например: 1 dx ln x F ' ( x) C по теореме Коши, т.к. ф-ия ln x при x 0 и x 1 непрерывна. С другой стороны никакими известными способами не удается выразить F(x) в виде элементарной функции (т.е. в виде конечного числа основных элементарных функций или конечного числа сложной функции). В этом случаи интеграл такого рода называется «неберущимся». Ответ есть и он выражается через бесконечное число элементарных функций. К «неберущимся» интегралам относятся следующие интегралы: Sinx ln xdx Cosx ln xdx dx ln x e e x2 x 2 dx dx Cosx dx x Sinx x dx