Случайная функция

Основы теории управления
Лекция 7
Случайные воздействия в линейных САУ
Случайные воздействия
• В многих случаях вид функции, описывающей
входной сигнал, заранее неизвестен. Значение
входного сигнала в каждый момент времени есть
случайная величина, при этом вид функции
случайным образом изменяется от опыта к опыту.
• При случайном характере входных воздействий
нецелесообразно при проектировании САУ
ориентироваться на наиболее неблагоприятный
случай.
• Поэтому исследование влияния случайных
воздействий проводится методами теории
вероятностей.
Основные понятия
теории вероятностей
•
•
•
•
•
•
Теория вероятностей – это раздел математики, занимающийся
изучением массовых случайных явлений или процессов.
Случайные явления – это явления, которые при многократном
повторении протекают каждый раз несколько иначе.
Случайная величина – это величина, значение которой определяется
не контролируемыми нами причинами и поэтому не может быть точно
предсказано.
Дискретные случайные величины принимают отдельные, заранее
известные численные значения.
Непрерывные случайные величины принимают любое значение в
определённых пределах.
Случайное событие – любое событие, которое может произойти или
не произойти.
Частота события – отношение числа наступлений этого события в
испытаниях к числу испытаний.
Вероятность события – частота события при условии бесконечного
количества испытаний (0 P 1).
Вероятностные характеристики
случайных величин
•
1.
2.
•
•
•
•
Для полного описания случайной величины необходимо знать:
Все возможные значения, которые она может принимать в условиях
данного опыта.
Вероятность каждого отдельного значения.
Закон распределения случайной величины – зависимость между
значениями случайной величины и соответствующими им
вероятностями.
Для дискретных случайных величин каждый из исходов имеет
соответствующую вероятность такого исхода.
Для непрерывных случайных величин, которые могут принимать
бесчисленное множество значений, вероятность каждого отдельного
значения бесконечно мала, и можно говорить только о конечной
вероятности нахождения величины в определенном интервале в
некой окрестности определенного исхода. Поэтому для описания
распределения непрерывных случайных величин вводится понятие
плотности вероятности f(x).
Непрерывная случайна величина характеризуется законом
распределения плотности вероятностей.
Числовые характеристики
случайных величин
•
•
•
•
•
•
Закон распределения полностью характеризует случайную величину.
Однако на практике в ряде случаев удаётся узнать о случайной
величине значительно меньше, имеются лишь так называемые
числовые характеристики.
Числовые характеристики случайной величины – это постоянные
числа, которые получаются по определённым правилам из функций
(законов) распределения случайных величин.
Математическое ожидание (среднее значение) M(X) случайной
величины X - числовая характеристика распределения вероятностей
случайной величины.
Центрированная случайная величина – отклонение случайной
величины от её математического ожидания.
Дисперсия D(X) - мера рассеивания случайной, т. е. отклонения от
среднего значения.
Среднеквадратичное отклонение  (X) – квадратный корень, взятый
от дисперсии.
Характеристики системы
случайных величин
• Функция распределения системы случайных величин
называется вероятность совместного выполнения
вероятностных неравенств каждой из случайных величин.
• Случайные величины являются независимыми, если функция
распределения каждой из них не зависит от того, какое
значение приняла другая величина. В противном случае
случайные величины называются зависимыми.
• Для системы из двух случайных величин с известными
математическими ожиданиями вводят понятие корреляционного
момента.
• Для характеристики тесноты связи между случайными
величинами используют коэффициент корреляции.
Если случайные величины независимы, то коэффициент
корреляции равен нулю.
• Для определения числовых характеристик требуется
знание законов распределения.
Случайные функции
• Воздействия в САУ являются случайными величинами,
зависящими от времени, т.е. случайными функциями.
• Случайная функция – это функция неслучайного аргумента,
которая при каждом фиксированном значении аргумента
является случайной величиной.
• Случайный процесс – это случайная функция, где в роли
аргумента выступает время.
• Конкретный вид случайно функции в данном опыте называется
реализацией случайной функции.
Реализация является неслучайной функцией, равной которой
может оказаться случайная функция в результате испытания.
Случайную функцию можно рассматривать как совокупность её
возможных реализаций.
• Сечение случайной функции – случайная величина,
соответствующая фиксированному значению аргумента
случайной функции.
Основные характеристики
случайно функции
•
•
•
•
•
Математическое ожидание случайной функции – неслучайная функция mx(t),
значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно
математическому ожиданию сечения, соответствующего этому фиксированному
значению аргумента.
Дисперсия случайной функции – неслучайная неотрицательная функция Dx(t),
значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равна
дисперсии сечения, соответствующего этому фиксированному значению
аргумента. Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных реализаций
вокруг математического ожидания случайной функции.
Часто вместо дисперсии рассматривается среднее квадратичное отклонение
случайной функции.
Корреляционная функция случайной функции – неслучайная функция Kx(t1,t2)
(двух независимых аргументов), значение которой при каждой паре
фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений,
соответствующих этим значениям аргументов.
Взаимная корреляционная (автокорреляционная) функция двух случайных
функций X(t) и Y(t) называют неслучайную функцию Rxy(t1,t2) (двух независимых
аргументов), значение которой при каждой паре фиксированных значений
аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих функций,
соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов.
Случайные функции некореллированны, если их автокорреляция равна нулю.
Стационарные случайные
функции
•
Случайная функция является стационарной в широком смысле, если ей
математическое ожидание постоянно при всех значениях аргумента, а
корреляционная функция зависит только от разности аргументов.
Случайная функция является стационарной в узком смысле, если все
характеристики этой функции зависят только от разности аргументов и не
зависят от положения интервала этой разности в области изменения аргумента.
•
Корреляционная функция стационарной случайно функции есть функция одного
аргумента Kx(t1-t2)=Kx(), а её дисперсия постоянна при всех значениях
аргумента и равна значению корреляционной функции при нулевом аргументе
Dx(t)=Kx(0).
•
Среди стационарных случайных функций выделяют класс функций, для которых
характерно свойство эргодичности, которое состоит в тот, что все
усреднённые статистические характеристики одинаковы для всех сечений и все
они эквивалентны статистическим характеристикам одной реализации,
достаточно длинной по времени.
Спектральное представление
стационарной случайной функции
• Одними из важнейших характеристик САУ являются частотные
характеристики, которые определяют поведение системы при
гармонических воздействиях различной частоты.
• В связи с тем, что по известной частотной характеристике
можно найти весовую переходную функцию (t-) и
передаточную функцию W(p) системы, для исследования
поведения САУ при случайных воздействиях очень полезным
оказывается спектральное представление случайной функции.
• Спектральное разложение стационарной случайной функции –
представление этой функции в виде суммы гармонических
колебаний различных частот со случайными амплитудами и
фазами.
• Дискретный спектр стационарной случайной функции –
совокупность дисперсий всех составляющих ей гармоник.
Спектральная плотность
стационарной случайной величины
• Если число частот гармоник спектрального разложения
бесконечно, то частоты разложения изменяются непрерывно,
соседние ординаты спектра сближаются и в пределе мы имеем
непрерывный спектр, при этом каждой частоте  соответствует
ордината S(), называемая спектральной плотностью
стационарной случайной величины.
• Спектральная плотность есть коэффициент
пропорциональности между длиной малого интервала частот и
отвечающей ему комплексной амплитудой гармонического
сигнала с частотой. Этот коэффициент означает, что вклад в
амплитуду дают в равной мере положительные и отрицательные
частоты, образующие окрестности точек.
Принципиально важно, что спектральная плотность —
комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая
информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных
синусоид.
Преобразование стационарной случайной
функции стационарной линейной
динамической системы
• Стационарная линейная динамическая система –
САУ, которая описывается дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами.
• Стационарные случайные воздействия x(t) вызывают
стационарные случайные изменения выходной
величины y(t) системы автоматического управления.
• В общем случае случайное воздействие состоит из
среднего значения и центрированной случайной
составляющей.
• Сигнал на выходе линейной системы y(t) выражается
через сигнал на входе x(t) и импульсную переходную
функцию (t) при помощи интеграла Дюамеля.
Статистическая проверка гипотез
•
Статистическая гипотеза – любое предположение о законе
распределения наблюдаемых случайных величин.
•
Нулевая (основная) гипотеза – выдвинутая гипотеза.
Конкурирующая (альтернативная) гипотеза противоречит
основной гипотезе.
•
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.
• Правильное решение может быть получено в двух случаях:
1. Гипотеза принимается, и она в действительности правильная.
2. Гипотеза не принимается, и она в действительности неверна.
Литература
Лотош М.М. «Основы теории
автоматического управления»
www.knigainformatika.com/rule/rule.html