Лекция 12 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

Лекция 12
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
Ввиду наличия заряженной и нейтральной компонент плазма обладает
большим числом колебаний и волн, некоторые из которых свойственны также
газообразным средам, а другие присуще исключительно плазме. Наиболее
простые колебания заряженных частиц в плазме были открыты Ленгмюром.
Колебания и волны в плазме, находящейся магнитном поле имеют свою
специфику и отличия. Изучение распространения электромагнитных волн в
плазме и их отражения от поверхности плазмы представляют собой важные
проблемы, необходимые для успешной радиосвязи как в пределах Земли, так
и с космическими аппаратами. От присутствия колебательных и волновых
процессов во многом зависит устойчивость плазмы в ряде термоядерных
установок и газоразрядных устройств. Большой интерес исследователей
привлекают нелинейные волны – солитоны, обнаруженные в плазменных
средах.
Рассмотрим наиболее простой вид электронных колебаний в плазме –
ленгмюровские колебания. Предположим, что температура плазмы мала, и
тепловым движением заряженных частиц можно пренебречь. Пренебрежем также
столкновениями частиц между собой.
отсутствие
электронов
избыток
электронов
x
0
x’
Рис.1
x0
x
невозмущенная
плазма
Будем считать ионы неподвижными, и допустим, что произошло смещение
электронного слоя (рис.1). Избыточный заряд в возмущенном слое выразится в
виде:
q   e n0 Sx
Где n0 – невозмущенная электронная концентрация, S – площадь данного слоя.
Для возмущенного электронного слоя справедливо уравнение Пуассона:

divE  4
В одномерном случае уравнение запишется в форме:
dE
 4en0
dx
После интегрирования данного выражения напряженность электрического поля в
промежутке от 0 до x0 запишется в виде:
E ( x ' )  4en0 x
Запишем уравнение движения электрона под действием электрической силы:
mx   e E  4e 2 n0 x
Если поделить все выражение на массу электрона, то можно прийти к уравнению
колебаний:
4n0 e 2
x  
x
m
Колебания происходят с частотой плазменных или ленгмюровских колебаний p:
 4e n0 

 m 
p  
2
1
2
В более сложном выводе с использованием уравнений гидродинамики
присутствует концентрация плазмы в виде:
n  n0  n '
n '  n0
Где n’ – возмущенное значение концентрации при наличии колебаний. Для
уравнения относительно n’ также получается уравнение колебаний с плазменной
частотой p:
 2n'
4e 2 n0 '

n
t 2
m
Данные продольные колебания электронной плотности можно наблюдать в
различных видах газовых разрядов при подаче на один из электродов импульса
возбуждения.
В некоторых случаях в плазме могут возбуждаться продольные волны,
имеющие схожесть с волнами в газовых средах, поэтому приведем краткое
описание вывода волн в газе. В качестве исходных обычно используются
уравнение непрерывности и уравнение Эйлера:

v
p
 
 (v  )v  
t



 div( v )  0
t

Где  -плотность газа, v -его скорость, p -давление

v  grad
Окончательные уравнения записываются для данного потенциала, или для
возмущенного значения давления p’ ( p  p  p ):
'
0
 2
 vзв2   0
2
t
2 p'
 v зв2 p '  0
2
t
В одномерном случае приходят к волновому уравнению для возмущенного
значения давления:
1 2 p' 2 p'
 2 0
vзв2 t 2
x
Для скорости звука в газе записывается выражение:
vзв  (
p
RT
kT
)s  
 


m0

CP
CV
Где m0 –масса атома, Cp –теплоемкость при постоянном давлении, CV –
теплоемкость при постоянном объеме.
Рассмотрим теперь волны в плазме при учете теплового движения электронов.
Пренебрежем электрон-ионными столкновениями. Запишем уравнение движения
электрона при наличии слагаемого, учитывающего градиент давления:
mx   e E 
P
n
При использовании выражения для давления идеального газа, слагаемое с
градиентом давления будет записано в виде:
P 
dP
dn
 kT
dx
dx
P  nkT
Для электрического поля в одномерном случае, как и при ленгмюровских волнах,
можно записать:

divE  4
E  4enx
Также используется уравнение непрерывности в одномерном случае:


 divv  0
t
v n '
n 
x t
n  n0  n '
Окончательный вид уравнения для возмущенного значения концентрации плазмы
n’ будет следующий:
 2n'
4e 2 n ' kTe  2 n '

n 
t 2
m
m x 2
Полученное выражение является уравнением типа Клейна–Гордона, в котором
присутствует плазменная частота p и множитель сходный с тепловой скоростью
электронов ve :
4e 2 n
p 
m
2
ve2 
3kTe
m
Решение данного уравнения ищется в виде:
n '  Ae i (t kx )
Где  -частота и k –волновое число.
После подстановки в волновое уравнение можно прийти к следующему
дисперсионному соотношению:
 2   p2 
3kTe 2
k   p2  ve2 k 2
m
Обычно выражение данного типа устанавливает связь между частотой и
волновым вектором в волне. С помощью дисперсионного уравнения можно
найти выражения для фазовой и групповой скоростями волны. Фазовая скорость
волны определяется по формуле:
 2   p2
k
vф 
ve

k

ve
 2   p2
Для групповой скорости записывается выражение:
dk 
d
ve  2   p2
vгр 
d ve

 2   p2
dk 
Показатель преломления и диэлектрическая проницаемость плазмы выражается
в виде:
n
c
vф
2
2
2
 p2
c 2 с (   p ) c 2
 n  2 
 2 (1  2 )
vф
 2 ve2
ve

2
Следует заметить, что последнее выражение имеет смысл только при частотах
больших плазменной частоты  >p .
Рассмотрим распространение электромагнитных волн через плазму.
Предположим, что плазма однородная и пренебрежем электрон-ионными
столкновениями. Допустим, что на границу плазмы из вакуума падает плоская
поляризованная электромагнитная волна (рис.2).
вакуум
Ex
x
Рис.2
By
плазма
волна
kz
z
y
Уравнение движения электрона в поле волны можно записать в виде:
mx   e E
Электрическое поле в волне представляется в виде:
E  E 0 e i t
Подставим выражение для поля в уравнение движения:
mx   e E0 eit
Зависимость для координаты электрона запишется следующим образом:
x
e E0 it
e  x0 e it
2
m
В результате электрон будет совершать колебательные движения с частотой
электрического поля волны.
Представим электрический дипольный момент единицы объема:
P   e x0 n
d  ex0
Его связь с электрическим полем и диэлектрической проницаемостью будет
следующей:
P
 1
E
4
Запишем выражение для диэлектрической проницаемости:
p
4 e x0 n
4P
4e 2 n
  1
 1
 1

1

E
E
me 2
2
 p2
4e 2 n
2
p 
  1 2
m

2
Показатель преломления выражается в виде:
 p2
n    1 2

Ввиду данных формул для диэлектрической проницаемости плазмы и ее
показателя преломления можно выделить два случая:
1)    - в плазме распространяются электромагнитные волны и диэлектрическая
проницаемость принимает значения в диапазоне от 0 до 1 (рис.3), что
свойственно исключительно плазменным средам. Следует напомнить, что
выражение для показателя преломления в оптически прозрачных твердых средах
больше единицы.
p
=n2
1
0
2)
p

Рис.3
   - волны в плазме затухают и распространяются на глубину скин-слоя:
p

c
p
Величина электрического поля в плазме при этом будет уменьшаться по закону:
E  E0 e

x

От границы плазмы в этом случае происходит отражение электромагнитной
волны. Данный эффект имеет большое значение при отражении радиоволн от
ионосферы.
Найдем дисперсионное соотношение и скорости электромагнитных волн
(фазовую и групповую). Запишем выражение для волнового вектора:
k

n
c
Подставим его в соотношение для диэлектрической проницаемости плазмы:
 p2
n  2    1 2


c 2 k 2   2   p2
2
c2k 2
В результате дисперсионное уравнение будет иметь вид:
 2   p2  c 2 k 2
Для фазовой и групповой скоростей можно получить соотношения:

c
vф  
k
 2   p2
d c
vгр 

 2   p2
dk 
k
 2   p2
c
d
dk 
c  2   p2
При сравнении с подобными выражениями для волн в плазме можно обратить
внимание, что вместо тепловой скорости ve в данных формулах присутствует
скорость света с.