ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ ПО ОПТИЧЕСКИМ ВОЛОКНАМ Физические процессы в волоконных световодах Передача по волоконным световодам осуществляется в оптическом диапазоне волн f=1014 – 1015 Гц (=3 – 0,3мкм) Диаметр сердцевины и оболочки 6 – 50 и 125 – 500 мкм. Точное описание процесса распространения световых воли в волоконных световодах возможно лишь на основе уравнений электродинамики, т.е. методами волновой теории. Основные положения лучевой оптики при распространении света в волоконных световодах отр n1 sin n2 sin пр пр n2 n2 n1 n1 отр а кр кр б Рис. Падение плоской волны на границу двух сред при n1>n2 n1 1 n2 2 n2 кр arcsin n1 r n0 z n1 2a Рис. Двухслойная модель световода n2 n1 >кр Рис. Прохождение косого луча в ступенчатом световоде n 2 2 n1 sin n1 2 2 n0 кр max n1 1 Рис. Прохождение меридиональных лучей по диэлектрическому стержню n0 sin n1 sin 1 2 1 sin cos1 2 n0 n1 n0 2 cos1 1 sin 1 1 sin n1 2 2 n0 n0 2 1 sin n1 n1 или 2 n1 2 sin 1 n0 sin 1 2 2 n1 2 n0 n1 2 n0 1 2 3 n2 n1 Рис. Оптическое волокно: 1 сердцевина; 2 оболочка; 3 защитное покрытие n0 3 n0 n2 2 n1 1 n2 n1 Рис. Распространение лучей в ступенчатом волоконном световоде. 1 мода сердцевины (направляемые моды); 2 моды оболочки; 3 моды излучения n1 n2 n1 n n1 Δn=10-2 – 10-3 NA n0 sin max NA n n n1 2 2 1 2 2 n1 n2 n1 1 n1 n2 2n1 Основные положения волновой теории для ступенчатых волоконных световодов Уравнения электромагнитного поля для ступенчатого световода r n2 2b z 2a n1 Рис. Двухслойная модель ступенчатого волоконного световода D rot H t B rot E t D a E B a H a 0 a 0 Для монохроматических гармонических полей, для которых E Em e jt rot H ja E rot E ja H Примем следующие условия 1. Считаем, что поле на внешней поверхности оптической оболочки пренебрежимо мало, т.е. можно считать, что оболочка в радиальном направлении простирается до бесконечности (b). Это существенно упрощает решение задачи и позволяет получить результаты, которые могут быть использованы на практике для реальных световодов. Указанное допущение сводит задачу к рассмотрению модели световода, у которой сердцевина с n1 радиуса а окружена средой (бесконечной оболочкой) с n2 2. Известно, что на поверхности раздала двух диэлектрических сред с различными значениями граничные условия для векторов электромагнитного поля имеют следующий вид: E1t E 2 t H1t H 2 t D1n D2 n B1n B2 n 3. При анализе решений поставленной задачи следует иметь в виду, что функции, описывающие поведение поля в сердцевине и оболочке, исходя из физической сущности процесса, должны иметь разный характер. Функции для сердцевины (0<r<a) должны быть конечными по величине, а для оболочки (r>a) долины описывать спадающее в радиальном направлении поле. 4. Принимаем цилиндрическую систему координат r, , z, причем ось z совмещаем с осью световода. Распространяющиеся вдоль оси z световода моды, удовлетворяющие уравнениям (1.11), представляются обычно в виде изменяющихся по оси z функций E (r , , z ) E (r , ) e z H (r , , z ) H (r , ) e z Определение составляющих электромагнитного поля. Дисперсионное уравнение уравнение Максвелла в цилиндрической системе координат j Ez 1 H z Er 2 0 g1 r r j 1 Ez 1 H z E 2 0 g1 r r r j 1 Ez H z H r 2 a g1 r r j Ez 1 H z H 2 a g1 r r g a 0 n k k 2 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 g1 – поперечная составляющая волнового числа в сердцевине; – коэффициент распространения в световоде; k1 – волновое число сердцевины световода показателем преломления n1 k0 0 0 волновое число вакуума. 2 k1 a1 a1 0 0 11 k0 1 k0n1 1 0 0 C0 C0 f n1 2 f n1 2 n1 k1 k0 n1 n1 0 0 C0 C0 Ez 1 Ez 1 Ez 2 2 g1 Ez 0 2 2 r r r r 2 2 H z 1 H z 1 H z 2 g H 0 1 z 2 2 2 r r r r 2 2 для сердцевины E z An J n ( g1 r )e e jn z H z Bn J n ( g1 r )e e 2 2 2 2 2 g1 n1 k0 k1 0 jn z Для оболочки Ez 1 Ez 1 Ez 2 2 g1 Ez 0 2 2 r r r r 2 2 H z 1 H z 1 H z 2 2 g1 H z 0 2 2 r r r r 2 2 поперечная составляющая волнового числа в оболочке световода g2 k n k 2 2 0 2 2 k2 k0 n2 n2 0 0 2 2 1 2 n2 Ez Сn H ( jg 2 r )e e (/) jn z H z Dn H n ( jg 2 r )e e (/) n jn z g2 n k 0 2 2 2 2 0 Ez1 a Ez 2 a ; E 1 a E 2 a H z1 a H z 2 a ; H 1 a H 2 a для коэффициента распространения , которое носит название дисперсионного уравнения 1 J g1a j H jg 2a J g1a j a 2 H jg 2a (/) g2 H n jg 2a g1 J n ( g1a) g 2 H jg 2a g1 J n g1a 1 2 2 1 n 2 2 g1 a g 2 a / n (/)/ n (/)/ 2 2 / a1 n 2 (/)/ n Характеристики распространения и типы направляемых волн Для симметричных волн 1 J1 ( g1a ) 1 H ( jg 2 a) для волн Hom g1a J 0 ( g1a) jg 2 a H ( jg 2 a) 2 2 (/) n1 J1 ( g1a ) n2 H1 ( jg 2 a) для волн Eom (/) g1a J 0 ( g1a) jg 2 a H 0 ( jg 2 a) (/) 1 (/) 0 Для несимметричных дипольных волн (/) 1 J n1 ( g1a ) 1 H n1 ( jg 2 a) для волн HEnm (/) g1a J n ( g1a ) g 2 a H n ( jg 2 a ) (/) 1 J n1 ( g1a) 1 H n1 ( jg 2 a) для волн EHnm g1a J n ( g1a ) g 2 a H n(/) ( jg 2 a) П Еz П Еz П Еz Рис.Уменьшение продольной составляющей Еz с уменьшением угла наклона вектора направления распространения волны к оси световода a k б k g g n1n2 k Ez0 n1n2 k Ez0 Рис. Составляющие волны в общем случае (а) и линейно-поляризованной (LP) волны (б) Характеристическое уравнение для LP мод имеет весьма простую форму J n1 ( g1a) g1 n1 J n ( g1a) g2 K n1 ( g 2 a) n1 K n ( g 2 a) Для одномодовой системы, которая работает на гибридной волне НЕ11, получаем J1 ( g1a) K1 ( g 2 a) g1 g2 J 0 ( g1a) K 0 ( g 2 a) Коэффициент распространения может быть рассчитан по формуле 2 n1 f0 n2 1 1 2 C0 f n1 2 В предельных случаях при критической частоте (f0) и больших расчётных частотах имеем n2 n1 C0 C0 k0 n2 k2 при f f 0 k0 n1 k1 при f g g k k 2 1 2 2 2 1 g g k n n 2 1 2 2 2 0 2 1 определим критическую частоту световода: g1C0 f0 2 2 2 n1 n2 2 2 2 2 g1 a C0 f0 2 2 d n1 n2 критическая длина волны C0 d 2 2 0 n1 n2 f 0 g1 a Значение корней Бесселевых функций Pnm g1a=V0 m Типы волн n 1 2 3 0 2,405 5,520 8,654 Еот, Нот 1 0,000 3,832 7,016 НЕ11 1 3,832 7,016 10,173 ЕН1т 2 2,405 5,538 8,665 НЕ2т 2 5,136 8,417 11,620 ЕН2т нормированная частота V 2 a n n 2 1 2 2 Значения нормированной частоты и тип соответствующей моды V Моды V Моды 0 – 2,405 НЕ11 5,520 – 6,380 Н02, Е02, НЕ22 2,405 – 3,832 Н01, Е01, НЕ21 6,380 – 7,016 ЕН31, НЕ51 3,832 – 5,136 НЕ12, ЕН11, НЕ31 ЕН21, НЕ41 7,016 – 7,588 НЕ13, ЕН12, НЕ32 ЕН41, НЕ31 5,136 – 5,520 7,588 – 8,417 При значении g1а=2,405 критическая частота использования одномодового волокна 2,405 f0 2 2 2 a 0 0 n1 n2 Число типов волн в световоде зависит от диаметра сердцевины d=2a и длины волны и определяется по выражению: N V 2 2 21 u r nr n0 1 2 a Обычно n1 n2 n1 n2 2n1 n1 и лежит в пределах =0,003 – 0,01 u Для градиентного световода, имеющего параболический профиль показателя преломления и=2 получается r nr n0 1 2 a 2 Для ступенчатого профиля показателя преломления показатель степени и, т.е. получается известное выражение n2 n1 1 число мод для ступенчатого волокна 1 2 1 2 a 2 2 N V n1 n2 2 2 2 для градиентного 1 2 1 2 a 2 2 N V n1 n2 4 4 2 Фазовая и групповая скорости. Волновое сопротивление Vф Vф k2 a 2 a 2 V2 V2 k2 1 a 2 a 2 Vф C 0 g g 2 2 g1 n g n1 2 1 2 2 Vф C0 Vф C0 n2 n1 2 2 2 2 V2 V1 С0 C0 Vф n1 n2 Групповая скорость распространения по световоду определяется выражением Vгр C0 dn n d Волновое сопротивление световода Er ZВ H ZВ E Hr предельное значения волнового сопротивления сердцевины Z В1 оболочки Z В2 Z0 Z0 n1 n2 Z0 0 0 376,7 В реальных условиях волновое сопротивление световода имеет промежуточное значение Z0 n1 ZВ Z0 n2 численно составляет примерно 250 – 260 Ом